二面角的计算方法精讲(共8页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二面角的计算方法精讲二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的三种基本计算方法，供同学们学习参考。一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的平面角的途径有：图1 定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；三垂线法：如图1，C是二面角的面内的一个点，于O，只需作ODAB于D，连接CD，用三垂线定理可证明CDO就是所求二面角的平面角。 垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面，使垂直于二面角的棱，则 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二

2、面角的平面角。 例1 如图2，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形, 平面VAD底面ABCD （1）证明AB平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 解：（1）证明： （2）解：取VD的中点E，连结AF，BE，VAD是正三形，四边形ABCD为正方形， 由勾股定理可知， AEVD，BEVD，AEB就是所求二面角的平面角.又在RtABE中，BAE=90，AE=AD=AB，因此，tanAEB=即得所求二面角的大小为例2 如图3，AB平面BCD，DCCB，AD与平面BCD成30的角，且AB=BC. （1）求AD与平面ABC所成的角的大小； （2）求二面角

3、C-AD-B的大小； （3）若AB=2，求点B到平面ACD的距离。解：(1) AB平面BCD ， ADB 就是AD与平面BCD所成的角,即ADB=300,且CDAB， 又DCBC，, CD平面ABC， AD与平面ABC所成的角为DAC ， 设AB=BC=a,则AC=， BD=acot300=,AD=2a, , tanDAC=, ,即，AD与平面ABC所成的角为450. (2)作CEBD于E，取AD的中点F，连CF， AB面BCD， 面ABD面BCD， 又 面ABD面BCD=BD，CEBD， CE面ABD，又AC=BC=，AF=FD，ADEF，有三垂线定理的逆定理可知，CFE就是所求二面角的平面

4、角. 计算可知, ， ，CFE=arcsin.故，所求的二面角为arcsin例3如图4，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O.（1）证明； （2）求面与面所成二面角的大小。解：（1）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形， P在平面ABC内的射影为O， PO平面ABF， AO为PA在平面ABF内的射影； 又 O为BF中点，为等腰三角形， AOBF， 有三垂线定理可知,PABF.（2）O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ， A、O、D共线，且直线ADBF， PO平面ABF，, 由三垂线定理可知, ADPB,过O在平面PBF内作OHPB于H，连A

5、H、DH， 则 PB平面AHD,所以为所求二面角平面角。又正六边形ABCDEF的边长为1，。， ；故,所求的二面角为二、面积射影法： 如图5，二面角为锐二面角, ABC在半 平面内, ABC在平面内的射影为A1B1C1，那么二面角的大小. 例4 如图6，矩形ABCD中,AB=6,BC=,沿对角线BD将折起,使点A移至点P,且P在平面BCD内的射影为O,且O在DC上. （1）求证:PDPC； （2）求二面角P-DB-C的平面角的余弦值； （3）求CD与平面PBD所成的角的正弦值.解: （1）证明: PC在面BCD内的射影为OC, 且OCBC，由三垂线定理可知，BCPC，又PB=6，BC=，PC=

6、而PD=，DC= 36=DC， PDPC.（2） . 设OC=x,则OD=6-x , , 设二面角P-DB-C的大小为，则 三、空间向量法： I、先用传统方法作出二面角的平面角，再利用向量的夹角公式进行计算。 例5 如图7，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE（1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离。解：（1） 二面角D-AB-E为直二面角，AB为棱，CBAB， CB平面EAB，进而可得，CBAE， 又 BF平面ACE， AEBF， 而AE平面BCE. （2）连结BD交AC于点O

7、，连结OF，由于ABCD为正方形，所以OBAC，又因为BF平面ACE，由三垂线定理的逆定理可知，OFAC， BOF就是所求二面角的平面角.在平面ABE内作AxAB,以A为原点，分别以Ax、AB、AD为x轴、y轴、z轴，建立 如图7的空间直角坐标系，易知AEB为等腰直角三角形，所以，A ( 0, 0, 0), O ( 0, 1 , 1), B(0, 2, 0), C(0 , 2, 2 ) , E( 1 ,1 ,0 ),设F（m, n, t ）， C、E、F三点共线， 又 BFAC， 故，所求的二面角为arccos II、直接求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求的夹角，再根据法向量分别相对于二面

8、角的方向确定出二面角的大小。一般地，当法向量都是从二面角的内部向外部（或外部向内部）穿行时，二面角的大小就是的夹角的补角；当法向量一个从二面角的内部向外部穿行，另一个从二面角的外部向内部穿行时，二面角的大小就是的夹角。例6 （2006年四川卷）如图8，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，（）求证：面；（）求二面角的大小。（）求三棱锥的体积。解：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则 分别是的中点（1） 取，显然面 又， 而面 面 （2）显然，是平面ABCD的一个法向量；设是平面PAE的一个法向量，则而 可取 又法向量是从二面角的外部向内部穿行的，法向量是从二面角的内部向外部穿行的 .故，所求二面角为 （3）设为平面的法向量，则 又 即 可取 点到平面的距离为 ， 专心-专注-专业