第一章 函数 极限 连续.doc
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1、第一章 函数 极限 连续一函数1 函数的概念(定义、定义域、对应法则、值域)2 函数的性态1)单调性 定义:单调增: 单调不减: 判定:(1)定义: (2)导数:设在区间上可导,则 a) 单调不减; b) 单调增;2)奇偶性 定义:偶函数 奇函数 判定:(1)定义: (2)设可导,则:a)是奇函数 是偶函数; b)是偶函数 是奇函数; (3)连续的奇函数其原函数都是偶函数;连续的偶函数其原函数之一是奇函数。3)周期性 定义: 判定:(1)定义; (2)可导的周期函数其导函数为周期函数; (3)周期函数的原函数不一定是周期函数; 4)有界性 定义:若则称在上有界。 判定:(1)定义: (2)在上
2、连续在上有界; (3)在上连续,且存在在上有界; (4)在区间(有限)上有界在上有界;3复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)4基本的初等函数与初等函数基本初等函数: 常数,幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形.初等函数:由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数. 题型一 复合函数例1设的定义域为,则的定义域为 (A) (B) (C) (D) 例2已知且求及其定义域。 例3设, 试求. ( ) 题型二 函数性态例1 函数在下列哪个区间内有界。 (A) (B) (0,1) (C) (D) (2,3) 例2 以
3、下四个命题中正确的是 (A)若在内连续,则在内有界; (B)若在内连续,则在内有界; (C)若在内有界,则在内有界; (D)若在内有界,则在内有界。例3 设是恒大于零的可导函数,且时,有 (A) (B)(C) (D)例4 设函数则存在,使得 (A)内单调增加; (B)内单调减少;(C)对任意的; (D)对任意的。注:1) 在的某邻域内单调增; 2) 当时,;当时,。二极限1极限概念1)数列极限: :,当时.2)函数极限:(1)自变量趋于无穷大时函数的极限 : ,当时. 和的定义与类似。 (2)自变量趋于有限值时函数的极限: ,当时。右极限:.左极限:.几个值得注意的极限:,2。极限性质1)有界
4、性: 收敛数列必有界;2)有理运算性质: 若.那么: ; 两个常用的结论:1)存在, 2) 3)保号性: 设(1) 如果,则存在,当时,.(2) 如果当时,那么.4)函数值与极限值之间的关系:. 其中 3。极限存在准则 1)夹逼准则: 若存在,当时,且则 2)单调有界准则:单调有界数列必有极限。4。无穷小量1)无穷小量的概念: 若,称为无穷小量(或).2) 无穷小的比较: 设.(1)高阶: 若; 记为(2)同阶: 若;(3)等价: 若;记为(4)无穷小的阶: 若,称是的阶无穷小.5。无穷大量1) 无穷大量的概念: 若,称为时的无穷大量。2)无穷大量与无界变量的关系: 无穷大量无界变量3)无穷大
5、量与无穷小量的关系: 无穷大量的倒数是无穷小量;非零的无穷小量的倒数是无穷大量。 题型一 求极限方法1. 利用有理运算法则求极限例1 例2 解1:原式例3.设 ,求 解: 方法2. 利用基本极限求极限 常用的基本极限, , , , 例.; 方法3.利用等价无穷小代换求极限1.常用等价无穷小 当时,, 2。等价无穷小代换一般只能用在乘、除关系,而不能用在加、减关系。例1.求极限 .解:原式=例2. 。解1.罗必达法则(繁)解2.原式 注:利用拉格朗日中值定理。例3. 若 , 求 例4. ; 方法4. 洛必达法则: 若 1) 2)和在的某去心邻域内可导,且 3)存在(或); 则 例1. 例2. 例
6、3. 例4 例5 方法5 泰勒公式泰勒公式:(皮亚诺余项) 设在处阶可导,那么 其中 。例1.若 ,则等于(A) 0; (B)6; (C)36; (D)解1 解2 则 例2 ; 解: ; 例3已知其中二阶可导,求及 解: ,方法6 利用夹逼准则求极限例1.求 例2 求极限其中。 例3 设 求 方法7 利用单调有界准则求极限(先证明极限存在,再求出极限)例1. 设证明:数列极限存在并求此极限。 例2.设 ,求极限。 例3. 设数列满足。 1)证明存在,并求该极限; 2)计算 方法8 利用定积分的定义求极限例1. 求 . 例2求; 例3. 求 题型二 已知极限确定参数例1. 若 求 .解:由于分式
7、极限存在,分母趋于零,则分子趋于零,从而 由罗必达法则知:, 则 。例2. 若 求.解:原式 例3. 若 求.原式例4. 设,求及. (题型三 无穷小量阶的比较例1.当时,与是等价无穷小,则=由 例2.若时,是的几阶无穷小由 即是的9阶无穷小.例3.已知时,与等价无穷小,求. 解1 对极限用洛比达法则。解2 ;三连续1。 连续的定义: 若,称在处连续,左右连续定义: 若称在左连续若称在右连续连续左连续且右连续2。间断点及其类型1)第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点可去间断点:左极限=右极限的间断点跳跃间断点:左极限右极限的间断点2)第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在的间断点无穷
8、间断点: 时,振荡间断点: 时,振荡 3。连续函数的性质1) 连续函数的和,差,积,商(分母不为零)及复合仍连续性;2) 初等函数在其定义区间内处处连续;3) 闭区间上连续函数的性质 (1)有界性:若在上连续,则在上有界。(2)最值性:若在连续, 则在上必有最大值和最小值。(3)介值性:若在连续, 则在上可取到介于它在 上最小值与最大值之间的一切值.(4)零点定理:若在连续,且,则必,使。题型一:求间断点并判定类型例1. 讨论下列函数 的连续性并指出间断点的类型;例2. 求函数 的间断点并指出其类型。解: 函数在处没定义,这些点都是间断点。 为无穷间断点;时,故为可去间断点;时,为可去间断点;
9、时, , 为跳跃间断点。例3 求极限,记此极限为,求函数的间断点并指出类型. 例4. 求函数的间断点并指出其类型。 (可去;跳跃)题型二 介值定理、最值定理及零点定理的证明题例1设在内非负连续,且,证明存在使.例2. 在连续,非负,求证: .其中.证: 令 使即例3. 在连续, 求证: 使证:令 相加得: 反证: 若无根,不妨设,那么4个相加同矛盾,故必有一根,即使 。例4设在上连续,且,试证存在 使.证: 令, 则 由极限的保号性知,存在当时,取则从而有第二章 一元函数微分学一。导数与微分1。导数定义: =; 左导数:; 右导数:; 可导 左右导数都存在且相等2。微分定义: 若,则称在处可微
10、。 3。导数与微分的几何意义: (会求曲线的切线和法线方程).4。连续,可导,可微之间的关系5。求导法则1。有理运算法则:2。复合函数求导法:3。隐函数求导法:4。反函数的导数:5。参数方程求导法:6。对数求导法:7。高阶导数:题型一可导性的讨论(导数定义)例1. 设函数在处连续,下列命题错误的是 (A)若. (B)若. (C)若存在.(D)若存在。例2 设,则在点可导的充要条件为 A) 存在 B) 存在 C) 存在 D) 存在 例3. 函数不可导的点的个数是 (A)3. (B)2. (C)1. (D)0.例4设在点处可导,则函数在点处不可导的充分条件是 A) 且 B) 且 C) 且 D) 且
11、例5.设函数 (A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 例6. 设在上二阶可导,, 1) 确定使在上连续.2) 证明对以上确定的,在上有连续一阶导数.题型二 复合函数导数定理:设在处可导,在对应点处可导,则复合函数在处可导,且 例1.设则 。 例2.已知,则 ( )例3.设 函数可导,求的导数。 题型三 隐函数的导数例1 设由所确定.试求.例2 设函数由所确定,试求 ( )例3 设可导函数由方程所确定,其中可导函数,且,求. ()题型四 参数方程的导数 公式: ; 方法: 一阶导数代公式,二阶导数利用;例1设,又,求. 例2设由所确定,求。 ( )
12、题型五 对数求导法 对数求导法适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等。例1.设,求.例2. 设,求题型六 高阶导数常用方法: 1)代公式; 2)求一阶、二阶,归纳阶导数; 3)利用泰勒级数; 常用公式: 1) 2) 3) 例1.设,求 例2. 设,求 ( 例3. 设,求. 例4.求函数在处的阶导数。 例5. 设,求. (法一:莱布尼兹公式。法二:幂级数)二。微分中值定理罗尔定理: 设在连续,在内可导,且,那么至少,使.拉格朗日定理: 设在连续,在可导,那么至少存在一个,使.柯西定理:设在上连续, 在内可导,且,那么至少存在一个,使 .泰勒定理:(拉格朗日余项)设在区间I上阶可导,,那么,至少
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