中职数学基础知识汇总.doc

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1、|中职数学基础知识汇总预备知识：1.完全平方和（差）公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2.平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)3.立方和（差）公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)第一章 集合1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图） 。3. 常用数集：N（自然数集） 、Z（整数集） 、Q（有理数集） 、R （实数集） 、N +（正整数集）4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：（1） 元素与集合是“ ”与“ ”

2、的关系。（2） 集合与集合是“ ” “ ”“ ”“ ”的关系。=/注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。 （做题时多考虑 是否满足题意）（2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有 2n 个，真子集有 2n-1 个，非空真子集有 2n-2 个。5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（1） ： 与 的公共元素组成的集合|ABxB=且 A（2） ： 与 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次） 。|或（3） ： 中元素去掉 中元素剩下的元素组成的集合。CU注： ()UABC()UUABC=6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。7.

3、充分必要条件: 是 的条件 是条件， 是结论pqpq如果 p q，那么 p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件.如果 p q，那么 p 是 q 的充要条件第二章 不等式1. 不等式的基本性质：（略）注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。（2）不等式两边同时乘以负数要变号！（3）同向的不等式可以相加（不能相减） ，同正的同向不等式可以相乘。2. 重要的不等式：（1） ，当且仅当 时，等号成立。ab22ba（2） ，当且仅当 时，等号成立。 （3）),(R注： （算术平均数） （几何平均数）3. 一元一次不等式的解法（略）4. 一元二次不等式的解法（1

4、） 保证二次项系数为正|（2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法） ，目的是求根：（3） 定解：（口诀）大于取两边，小于取中间。5. 绝对值不等式的解法若 ，则0aaxax或|分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为 0.第三章 函数1. 函数（1）定义：设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则 ,对 A 内任一个元素 x,在 B 中总有一个且只f有一个值 y 与它对应,则称 是集合 A 到 B 的函数,可记为: :AB,或 :xy.其中 A 叫做函数 的定义域.函f f数 在 的函数值,记作 ,函数值的全体构成的集合 C(CB),叫做函数的值域.fax)(

5、a（2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。 注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则（1） 定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的 的取值范围x主要依据：分母不能为 0，偶次根式的被开方式 0，特殊函数定义域： ,xy Rxayx),1(,且),1(logaa且（2） 值域的求法： 的取值范围y 正比例函数： 和 一次函数： 的值域为kxbkxyR 二次函数： 的值域求法：配方法。如果 的取值范围不是 则还需画图像cbay2 x 反比例函数： 的值域为x10|y 另求值域的方法：换元法、不等式法、数形结合法、

6、函数的单调性等等。（3） 解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。3. 函数图像的变换（1） 平移)()(axfyaxfy个 单 位向 左 平 移 )()(axfyaxfy个 单 位向 右 平 移ff )()(个 单 位向 上 平 移 ff )()(个 单 位向 下 平 移（2） 翻折|)()( xfyxfy上 、 下 对 折轴沿 |)(|)( xfyxfy下 方 翻 折 到 上 方轴 上 方 图 像保 留4. 函数的奇偶性（1） 定义域关于原点对称（2） 若 奇 若 偶)()(xff)(xff注：若奇函数在 处有意义，则00)(f常值函数 （ ）为偶函数axf)( 既是

7、奇函数又是偶函数f5. 函数的单调性对于 且 ，若,21bax、 21x上 为 减 函 数在称 上 为 增 函 数在称 ,)(,)(21baxfff增函数： 值越大，函数值越大； 值越小，函数值越小。减函数： 值越大，函数值反而越小； 值越小，函数值反而越大。6. 二次函数（1）二次函数的三种解析式一般式： （ ）cbxaxf2)(0a顶点式： （ ） ，其中 为顶点hk) ),(hk两根式： （ ） ，其中 是 的两根()(21xxf 21x、 0)(f（2）图像与性质二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： 开口 开口向上 开口向下 0a0a 对称轴： 顶点坐标：bx2)4,2(2b

8、c 与 轴的交点： 根与系数的关系：（韦达定理）无 交 点交 点有有 两 交 点01 acxb21 为偶函数的充要条件为cbxaxf2)( 0b二次函数（二次函数恒大（小）于 0）0)(f轴 上 方图 像 位 于 x 轴 下 方图 像 位 于 xaxf0)(若二次函数对任意 都有 ，则其对称轴是 。x)()(tftft|第四章 指数函数与对数函数1. 指数幂的性质与运算（1）根式的性质： 为任意正整数， 当 为奇数时， ；当 为偶数时，nna)(nann|an零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。（2） 零次幂： 10)(（3） 负数指数幂： na),0*N（4） 分数指数幂： m)1,

9、(n且（5） 实数指数幂的运算法则： )R nma mna)( nnba(2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的 次方。n3. 幂函数 ） 上 单 调 递 减，在 （时 ，当 ） 上 单 调 递 增，在 （时 ，当 00aaxyxy4. 指数与对数的互化： 、 bNablog)1(a且 )0(N5. 对数基本性质： 1la1alogaNlog 互 为 倒 数与balogl bbaa lllogl bmnaall6. 对数的基本运算：NMNaaalogl)(log NMaaalogllog7. 换底公式： ball)10(b且8. 指数函数、对数

10、函数的图像和性质指数函数 对数函数定义 )1,0(的 常 数ayx )1,0(log的 常 数axya|图像性质(1) 0,yRx(2) 图像经过 点)1(（3） 上 为 减 函 数 。在上 为 增 函 数 ；在 Rayx,10(1) Ryx,0(2) 图像经过 点)1(（3） 上 为 减 函 数在 上 为 增 函 数 ；在 ),0(log,10xyaa9. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用中间值 0，1 来过渡。10. 指数方程和对数方程：指数式和对数式互化 同底法 换元法 取对数法注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失

11、根。第五章 数列等差数列 等比数列每一项与前一项之差为同一个常数 每一项与前一项之比为同一个常数12adan 123 qaan1231 )0(定义注：当公差 时，数列为常数列0d注：等比数列各项及公比均不能为 0；当公比为 1 时，数列为常数列通项公式 nan)1(nq推论（1） md（2） dnan)(（3）若 ，则qpqpnmaa（1） mna（2） nnq（3）若 ，则pqpnma中项公式三个数 成等差数列，则有cb、 22a三个数 成等比数列，则有cb、 a2前项n和公式dnaSnn )1()(11 （qaSnnn1)(1 ）|1. 已知前 项和 的解析式，求通项nSna1nna)2(

12、2. 弄懂等差、等比数通项公式和前 项和公式的证明方法。 （见教材）n第六章 三角函数1. 弧度和角度的互换弧度 弧度 弧度 弧度o180180o1745.11857)0(o2. 扇形弧长公式和面积公式（记忆法：与 类似）r|扇L2|2rLrS扇 ahSABC23. 任意三角函数的定义：= = =斜 边对 边sinry斜 边邻 边cosrx邻 边对 边tanxy4. 特殊三角函数值 0036045063092sin2124co43120tan0313不存在5. 三角函数的符号判定（1） 口诀：一全二正弦，三切四余弦。 （三角函数中为正的，其余的为负）（2） 图像记忆法6. 三角函数基本公式（可

13、用于化简、证明等）cosinta（可用于已知 求 ；或者反过来运用）1si22sinco7. 诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。解释：指 ，若 为奇数，则函数名要改变，若 为偶数函数名不变。)(Zk k7. 已知三角函数值求角 :(1) 确定角 所在的象限; (2) 求出函数值的绝对值对应的锐角 ; (3) 写出满足条件的 的角; (4) 加上周期（同20终边的角的集合）8. 和角、倍角公式| 和角公式： 注意正负号相同sincosin)si(注意正负号相反ccotan1t)tan( 二倍角公式： cosi2si 2222 sin1cossincos tan1ta 半角公式： 2cssi

14、n2cs1cos9. 三角函数的图像与性质性 质函数 图像定义域 值域 同期 奇偶性 单调性xysinRx1,2T奇2,2k3xycosRx1,2T偶2,k9. 正弦型函数 )sin(xAy)0,(A(1)定义域 ，值域R,（2）周期： 2T（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将 的系数提出来，再看是怎样平移的。x（4） xbaycossin)sin(2xba10. 正弦定理（ 为 的外接圆半径）RCBAsiisi ABC|其他形式：（1） （注意理解记忆，可只记一个）ARasin2Bbsin2CRcsin2（2） Ccb:i:11. 余弦定理（注意理解记忆，可只记一个）a

15、os22bca2cos12. 三角形面积公式（注意理解记忆，可只记一个）BaAbCSABC sin21sisin2113. 海伦公式： （其中 为 的半周长， ）)()(cPbPSAB ABC2cbaP第七章 平面向量1. 向量的概念（1） 定义：既有大小又有方向的量。（2） 向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为 A，终点为 B 的向量表示为 。AB（3） 向量的模（长度）： |aAB或（4） 零向量：长度为 0，方向任意。单位向量：长度为 1 的向量。向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。2. 向量的运算（1） 图形法则三角形法则 平形四边形

16、法则（2）计算法则加法： 减法：ACBCAB（3）运算律：加法交换律、结合律 注：乘法（内积）不具有结合律3. 数乘向量： （1）模为： （2）方向： 为正与 相同； 为负与 相反。a|aaa4. 的坐标：终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标。 ),(AByx5. 向量共线（平行）： 唯一实数 ，使得 。 （可证平行、三点共线问题等）b6. 平面向量分解定理：如果 是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量 ，都存在唯一21,e a的一对实数 ，使得 。21,x2xa|7. 注意 中，重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点） 、内心（内切圆圆心：三角平分ABC

17、线交点） 、垂心（三高线的交点）8. 向量的内积（数量积）（1） 向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围 。,0（2） 内积公式： baba,cos|9. 向量内积的性质：（1） （夹角公式） （2） |,cosbaab0（3） （长度公式）a|2或10. 向量的直角坐标运算： （1） ),(AByxA（2）设 ，则 ),(),(21yxby 2121ba),(1yxa21yxba11.中点坐标公式：若 A ,B ,点 M(x,y)是线段 AB 的中点,则12 21212.向量平行、垂直的充要条件：设 ，则),(),(21yxy （相对应坐标比值相等）ab21yx （两个向量垂直则它们的内

18、积为 0）0021yx11. 长度公式（1） 向量长度公式：设 ，则),(a2|yxa（2） 两点间距离公式：设点 ，则 ),(21ByxA 2121)()(| yxAB12. 向量平移（1） 平移公式：点 平移向量 ，则 记忆法：“新=旧+ 向量”),(P),(),(21yxPa到21ay（2）图像平移： 的图像平移向量 后得到的函数解析式为：xfy,21 )(1axf第八章 平面解析几何1. 曲线 上的点与方程 之间的关系：C0),(yF（1） 曲线 上点的坐标都是方程 的解；),(x（2） 以方程 的解 为坐标的点都在曲线 上。),(yxyC|则曲线 叫做方程 的曲线，方程 叫做曲线 的

19、方程。C0),(yxF0),(yxFC2. 求曲线方程的方法及步骤： (1) 设动点的坐标为（x，y） ；(2) 写出动点在曲线上的充要条件；(3) 用 的关系yx,式表示这个条件列出的方程；（4） 化简方程（不需要的全部约掉） ；（5）证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。4. 直线：(1) 倾斜角 ：一条直线 向上的方向与 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是lx ),0(2) 斜率：倾斜角为 的直线没有斜率； （倾斜角的正切） 09tank经过两点 的直线的斜率 ),(),(21yxP12xy

20、K)(2(3) 直线的方程 两点式： 斜截式： 1212xybky 点斜式： 一般式： )(00k 0CBAx注：1.若直线 方程为 3x+4y+5=0，则与 平行的直线可设为 3x+4y+C=0；与 垂直的直线可设为 4X-3Y+C=0l l l2.求直线的方程最后要化成一般式。(4) 两条直线的位置关系11:bxkyl22:bxkyl 0:11xBAl 0:22CxBAl与 平行1l22且 22C与 重合 211k且 1与 相交1l22 2BA 1k 01注：系数为 0 的情况可画图像来判定。(5)点到直线的距离点 到直线 的距离：),(0yxP0CByAx 20|BACyxd5. 圆的方程（1） 标准方程： （ ）其中圆心 ，半径 。22)()(rba),(bar（2） 一般方程： （ ）0FEyDxy 042FE