线性系统的能控性和能观测性.ppt

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1、第第3章章线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性3.13.1能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念3.23.2线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性3.33.3线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性3.43.4线性系统能控性与能观测性的对偶关系线性系统能控性与能观测性的对偶关系线性系统能控性与能观测性的对偶关系线性系统能控性与能观测性的对偶关系3.53.5线性离散系统的能控性与能观测性线性离散系统的能控性与能

2、观测性线性离散系统的能控性与能观测性线性离散系统的能控性与能观测性 3.63.6传递函数中零极点对消与状态能控能观测性传递函数中零极点对消与状态能控能观测性传递函数中零极点对消与状态能控能观测性传递函数中零极点对消与状态能控能观测性与性之间的关系与性之间的关系与性之间的关系与性之间的关系3.73.7线性系统结构按能控性、能观测性分解线性系统结构按能控性、能观测性分解线性系统结构按能控性、能观测性分解线性系统结构按能控性、能观测性分解3.83.8线性定常系统的最小实现线性定常系统的最小实现线性定常系统的最小实现线性定常系统的最小实现13.1能控性和能观测性的直观理解能控性和能观测性的直观理解能控

3、性：能控性：能控性：能控性：输入能否控制状态的变化？输入能否控制状态的变化？输入能否控制状态的变化？输入能否控制状态的变化？线性系统的能控性和能观测性是描述系统内线性系统的能控性和能观测性是描述系统内线性系统的能控性和能观测性是描述系统内线性系统的能控性和能观测性是描述系统内在特性的基本概念。判别系统能控性和能观测性在特性的基本概念。判别系统能控性和能观测性在特性的基本概念。判别系统能控性和能观测性在特性的基本概念。判别系统能控性和能观测性的基本依据就是系统的状态空间表达式。的基本依据就是系统的状态空间表达式。的基本依据就是系统的状态空间表达式。的基本依据就是系统的状态空间表达式。能观测性：能

4、观测性：能观测性：能观测性：状态的变化能否由输出反映出来？状态的变化能否由输出反映出来？状态的变化能否由输出反映出来？状态的变化能否由输出反映出来？2例例例例 如图所示电路。系统状态变量为系统端如图所示电路。系统状态变量为系统端如图所示电路。系统状态变量为系统端如图所示电路。系统状态变量为系统端电压电压电压电压x x，输入为电源，输入为电源，输入为电源，输入为电源u(t)u(t)，输出为电压，输出为电压，输出为电压，输出为电压y y。状态不能控和状状态不能控和状状态不能控和状状态不能控和状态不能观测的态不能观测的态不能观测的态不能观测的例例例例 如图所示的电路。如图所示的电路。如图所示的电路。

5、如图所示的电路。状态能控和状态状态能控和状态状态能控和状态状态能控和状态完全能观测的完全能观测的完全能观测的完全能观测的y3(1)(1)对于状态空间表达式对于状态空间表达式对于状态空间表达式对于状态空间表达式状态变量状态变量状态变量状态变量x x1 1不能控，状态变量不能控，状态变量不能控，状态变量不能控，状态变量x x2 2不能观。不能观。不能观。不能观。22u4状态变量状态变量状态变量状态变量x x1 1和和和和x x2 2 既能控又能观测既能控又能观测既能控又能观测既能控又能观测(2)(2)对于状态空间表达式对于状态空间表达式对于状态空间表达式对于状态空间表达式2u只有少数简单系统可以从

6、状态变量图或原理图只有少数简单系统可以从状态变量图或原理图只有少数简单系统可以从状态变量图或原理图只有少数简单系统可以从状态变量图或原理图中直接判断出系统的能控中直接判断出系统的能控中直接判断出系统的能控中直接判断出系统的能控/能观测性。如果系统结能观测性。如果系统结能观测性。如果系统结能观测性。如果系统结构及参数复杂，只有借助于数学方法才能获得系统构及参数复杂，只有借助于数学方法才能获得系统构及参数复杂，只有借助于数学方法才能获得系统构及参数复杂，只有借助于数学方法才能获得系统能控能控能控能控/能观测性分析的正确结论。能观测性分析的正确结论。能观测性分析的正确结论。能观测性分析的正确结论。5

7、3.2线性定常系统的能控性线性定常系统的能控性 1 1、能控性定义、能控性定义、能控性定义、能控性定义 能控性定义：能控性定义：能控性定义：能控性定义：对于线性定常系统对于线性定常系统对于线性定常系统对于线性定常系统，如，如，如，如果存在一个分段连续的输入果存在一个分段连续的输入果存在一个分段连续的输入果存在一个分段连续的输入u(u(t t)，能在，能在，能在，能在 t t0 0，t tf f 有限有限有限有限时间区间内使得系统的某一初始状态时间区间内使得系统的某一初始状态时间区间内使得系统的某一初始状态时间区间内使得系统的某一初始状态x(x(t t0 0)转移到指转移到指转移到指转移到指定的

8、任一终端状态定的任一终端状态定的任一终端状态定的任一终端状态x(x(t tf f)，则此状态是能控的。，则此状态是能控的。，则此状态是能控的。，则此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。状态完全能控的，或简称系统是能控的。状态完全能控的，或简称系统是能控的。状态完全能控的，或简称系统是能控的。6 2 2、能控性判据、能控性判据、能控性判据、能控性判据 定理定理定理定理3.13.1 线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常

9、系统其状态完全能控的充要条件是由其状态完全能控的充要条件是由其状态完全能控的充要条件是由其状态完全能控的充要条件是由A A，B B阵所构成阵所构成阵所构成阵所构成的能控性判别矩阵的能控性判别矩阵的能控性判别矩阵的能控性判别矩阵满秩，即满秩，即满秩，即满秩，即,n n是该系统的维数。是该系统的维数。是该系统的维数。是该系统的维数。(1)(1)能控性秩判据能控性秩判据能控性秩判据能控性秩判据7易知易知易知易知例例例例 考察如下系统的能控性考察如下系统的能控性考察如下系统的能控性考察如下系统的能控性8其秩为其秩为其秩为其秩为3 3，该系统是，该系统是，该系统是，该系统是状态完全能控状态完全能控状态完

10、全能控状态完全能控的，或者简称的，或者简称的，或者简称的，或者简称系统是系统是系统是系统是能控能控能控能控的。的。的。的。从而从而从而从而9例例例例3.43.4已知三阶双输入系统的状态方程，已知三阶双输入系统的状态方程，已知三阶双输入系统的状态方程，已知三阶双输入系统的状态方程，试判别其能控性。试判别其能控性。试判别其能控性。试判别其能控性。由于由于由于由于的第的第的第的第1 1行和第行和第行和第行和第3 3行完全相同行完全相同行完全相同行完全相同 因此系统是因此系统是因此系统是因此系统是状态不完全能控状态不完全能控状态不完全能控状态不完全能控的，或者简称系统的，或者简称系统的，或者简称系统的

11、，或者简称系统是是是是不能控不能控不能控不能控的。的。的。的。解：解：解：解：10如果系统的阶次如果系统的阶次如果系统的阶次如果系统的阶次n n和输入维数和输入维数和输入维数和输入维数r r都比较大，判别都比较大，判别都比较大，判别都比较大，判别MMc c的秩是比较困难的。考虑到的秩是比较困难的。考虑到的秩是比较困难的。考虑到的秩是比较困难的。考虑到其中其中其中其中是是是是MMc c的转置矩阵，故可以通过计算的转置矩阵，故可以通过计算的转置矩阵，故可以通过计算的转置矩阵，故可以通过计算的秩的秩的秩的秩来确定来确定来确定来确定MMc c的秩。因为的秩。因为的秩。因为的秩。因为是一个是一个是一个是

12、一个n n n n 的方阵，确的方阵，确的方阵，确的方阵，确定其秩是比较方便的。定其秩是比较方便的。定其秩是比较方便的。定其秩是比较方便的。对于例，由对于例，由对于例，由对于例，由容易看出，容易看出，容易看出，容易看出，所以系统是不能控的。，所以系统是不能控的。，所以系统是不能控的。，所以系统是不能控的。11(2)(2)能控性约当标准型判据能控性约当标准型判据能控性约当标准型判据能控性约当标准型判据定理定理定理定理3.23.2 设线性定常系统设线性定常系统设线性定常系统设线性定常系统具有互不相同的特征值，则其状态完全能控的充分具有互不相同的特征值，则其状态完全能控的充分具有互不相同的特征值，则

13、其状态完全能控的充分具有互不相同的特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型:中中中中,阵不包含元素全部为零的行。阵不包含元素全部为零的行。阵不包含元素全部为零的行。阵不包含元素全部为零的行。系统的能控性是系统的内在特性，坐标变换并系统的能控性是系统的内在特性，坐标变换并系统的能控性是系统的内在特性，坐标变换并系统的能控性是系统的内在特性，坐标变换并不能改变这种特性。不能改变这种特性。不能改变这种特性。不能改变这种特性。12系统系统系统系统2 2系

14、统不能控系统不能控系统不能控系统不能控 某些具有重特征值的矩阵，也能化成对角线某些具有重特征值的矩阵，也能化成对角线某些具有重特征值的矩阵，也能化成对角线某些具有重特征值的矩阵，也能化成对角线标准型，对于这种系统不能应用这个判据，应采标准型，对于这种系统不能应用这个判据，应采标准型，对于这种系统不能应用这个判据，应采标准型，对于这种系统不能应用这个判据，应采用能控性矩阵用能控性矩阵用能控性矩阵用能控性矩阵MMc c来判别。来判别。来判别。来判别。系统系统系统系统1 1系统能控系统能控系统能控系统能控 13具有重特征值具有重特征值具有重特征值具有重特征值 则系统状态完全能控的充分必要条件是，经非

15、奇异则系统状态完全能控的充分必要条件是，经非奇异则系统状态完全能控的充分必要条件是，经非奇异则系统状态完全能控的充分必要条件是，经非奇异变换后的约当标准型：变换后的约当标准型：变换后的约当标准型：变换后的约当标准型：中与每一个约当小块中与每一个约当小块中与每一个约当小块中与每一个约当小块最后一行相对应的最后一行相对应的最后一行相对应的最后一行相对应的所有那些行，其元素不全为零。所有那些行，其元素不全为零。所有那些行，其元素不全为零。所有那些行，其元素不全为零。),2,1(kiJiL=定理定理定理定理3.33.3 若线性定常系统若线性定常系统若线性定常系统若线性定常系统14(a)(a)(b)(b

16、)(c)(c)(d)(d)15(3)(3)能控性能控性能控性能控性PBHPBH秩判据秩判据秩判据秩判据 线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统完全能控的充分必要条件为完全能控的充分必要条件为完全能控的充分必要条件为完全能控的充分必要条件为或等价地或等价地或等价地或等价地式中，式中，式中，式中，为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵A A的所有特征值，的所有特征值，的所有特征值，的所有特征值，C C为复数为复数为复数为复数域。域。域。域。16例例例例 已知线性定常系统的状态方程为已知线性定常系统的状态方程为已知线性定常系统的状态方程为已知线性定常系统的状态方程为解：根据状态方程可写出解：根据状态方程

17、可写出解：根据状态方程可写出解：根据状态方程可写出试判别系统的能控性。试判别系统的能控性。试判别系统的能控性。试判别系统的能控性。17求出求出求出求出A A的特征值为：的特征值为：的特征值为：的特征值为：当当当当时：时：时：时：当当当当时：时：时：时：18当当当当时：时：时：时：计算结果表明，系统满足计算结果表明，系统满足计算结果表明，系统满足计算结果表明，系统满足PBHPBH秩判据的能控性条秩判据的能控性条秩判据的能控性条秩判据的能控性条件，所以系统完全能控。件，所以系统完全能控。件，所以系统完全能控。件，所以系统完全能控。19(4)(4)线性定常系统输出能控性判据线性定常系统输出能控性判据

18、线性定常系统输出能控性判据线性定常系统输出能控性判据 输出可控性定义输出可控性定义输出可控性定义输出可控性定义如果能构造一个无约束的控制向量如果能构造一个无约束的控制向量如果能构造一个无约束的控制向量如果能构造一个无约束的控制向量u u(t t)，在有限，在有限，在有限，在有限的时间间隔的时间间隔的时间间隔的时间间隔内，使任一给定的初始输出内，使任一给定的初始输出内，使任一给定的初始输出内，使任一给定的初始输出转移转移转移转移到任一最终输出到任一最终输出到任一最终输出到任一最终输出，那么称系统为输出完全可控的。，那么称系统为输出完全可控的。，那么称系统为输出完全可控的。，那么称系统为输出完全可

19、控的。输出可控性判据输出可控性判据输出可控性判据输出可控性判据 输出完全可控的充分必要条件为：输出完全可控的充分必要条件为：输出完全可控的充分必要条件为：输出完全可控的充分必要条件为：的秩等于输出变量的维数的秩等于输出变量的维数的秩等于输出变量的维数的秩等于输出变量的维数mm，即，即，即，即系统的状态空间描述为：系统的状态空间描述为：系统的状态空间描述为：系统的状态空间描述为：20例例例例3.63.6已知系统的状态方程和输出方程，试已知系统的状态方程和输出方程，试已知系统的状态方程和输出方程，试已知系统的状态方程和输出方程，试判断系统的状态可控性和输出可控性。判断系统的状态可控性和输出可控性。

20、判断系统的状态可控性和输出可控性。判断系统的状态可控性和输出可控性。解：系统状态能控性矩阵为解：系统状态能控性矩阵为解：系统状态能控性矩阵为解：系统状态能控性矩阵为状态不完全能控状态不完全能控状态不完全能控状态不完全能控系统状态可控性和输出可控性是两个不同的系统状态可控性和输出可控性是两个不同的系统状态可控性和输出可控性是两个不同的系统状态可控性和输出可控性是两个不同的概念，两者没有什么必然的联系。概念，两者没有什么必然的联系。概念，两者没有什么必然的联系。概念，两者没有什么必然的联系。输出完全能控输出完全能控输出完全能控输出完全能控 213.3线性定常连续系统的能观测性判据线性定常连续系统的

21、能观测性判据 1 1、能观测性定义、能观测性定义、能观测性定义、能观测性定义能观测性定义：能观测性定义：能观测性定义：能观测性定义：如果在有限的时间区间如果在有限的时间区间如果在有限的时间区间如果在有限的时间区间内，根据测量到的输出向量内，根据测量到的输出向量内，根据测量到的输出向量内，根据测量到的输出向量y(t)y(t)和输入向量和输入向量和输入向量和输入向量u(t)u(t)，能够唯一确定系统在，能够唯一确定系统在，能够唯一确定系统在，能够唯一确定系统在 时刻的状态时刻的状态时刻的状态时刻的状态，则称，则称，则称，则称在在在在上是可观测的；若系统所有状态上是可观测的；若系统所有状态上是可观测

22、的；若系统所有状态上是可观测的；若系统所有状态都在都在都在都在上可观测，则称系统是完全可观测的，也称系上可观测，则称系统是完全可观测的，也称系上可观测，则称系统是完全可观测的，也称系上可观测，则称系统是完全可观测的，也称系统是可观测的。统是可观测的。统是可观测的。统是可观测的。通过对输出量的有限时间的量测，能否把通过对输出量的有限时间的量测，能否把通过对输出量的有限时间的量测，能否把通过对输出量的有限时间的量测，能否把系统的状态识别出来。系统的状态识别出来。系统的状态识别出来。系统的状态识别出来。22 2 2、能观测性判据、能观测性判据、能观测性判据、能观测性判据(1)(1)能观测性秩判据能观

23、测性秩判据能观测性秩判据能观测性秩判据状态完全能观测的充要条件是其能观测判别矩阵状态完全能观测的充要条件是其能观测判别矩阵状态完全能观测的充要条件是其能观测判别矩阵状态完全能观测的充要条件是其能观测判别矩阵满秩，即满秩，即满秩，即满秩，即 定理定理定理定理3.43.4 线性定常系线性定常系线性定常系线性定常系统统统统若系统是能观测的，简称若系统是能观测的，简称若系统是能观测的，简称若系统是能观测的，简称AA，CC为能观测对。为能观测对。为能观测对。为能观测对。23例例例例3.73.7已知系统的状态空间描述已知系统的状态空间描述已知系统的状态空间描述已知系统的状态空间描述,判别其能观测性。判别其

24、能观测性。判别其能观测性。判别其能观测性。解：解：解：解：由于由于由于由于MMo o为奇异矩阵，系统是不能观测的。为奇异矩阵，系统是不能观测的。为奇异矩阵，系统是不能观测的。为奇异矩阵，系统是不能观测的。24(2)(2)能观测性约当标准型判据能观测性约当标准型判据能观测性约当标准型判据能观测性约当标准型判据定理定理定理定理3.53.5 线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统 A A阵具有两两互不相同的特征值。则其状态完全阵具有两两互不相同的特征值。则其状态完全阵具有两两互不相同的特征值。则其状态完全阵具有两两互不相同的特征值。则其状态完全能观测的的充分必要条件是系统经非奇异变换后能观

25、测的的充分必要条件是系统经非奇异变换后能观测的的充分必要条件是系统经非奇异变换后能观测的的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角线标准型：的对角线标准型：的对角线标准型：的对角线标准型：中中中中,阵不包含元素全部为零的列。阵不包含元素全部为零的列。阵不包含元素全部为零的列。阵不包含元素全部为零的列。25系统能观测系统能观测系统能观测系统能观测 系统不能观测系统不能观测系统不能观测系统不能观测 26定理定理定理定理3.63.6 线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统 具有重特征值，具有重特征值，具有重特征值，具有重特征值，则系统状态完全能观测的充分必要条件是，经非奇则系统状态完全能观测

26、的充分必要条件是，经非奇则系统状态完全能观测的充分必要条件是，经非奇则系统状态完全能观测的充分必要条件是，经非奇异变换后的约当标准型：异变换后的约当标准型：异变换后的约当标准型：异变换后的约当标准型：中与每一个约当小块中与每一个约当小块中与每一个约当小块中与每一个约当小块首列相对应的所有那些列，首列相对应的所有那些列，首列相对应的所有那些列，首列相对应的所有那些列，其元素不全为零。其元素不全为零。其元素不全为零。其元素不全为零。27系统能观测系统能观测系统能观测系统能观测 系统不能观测系统不能观测系统不能观测系统不能观测 28(3)(3)能观测性能观测性能观测性能观测性PBHPBH秩判据秩判据

27、秩判据秩判据 线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统完全能观完全能观完全能观完全能观测测测测的充分必要条件为的充分必要条件为的充分必要条件为的充分必要条件为或等价地或等价地或等价地或等价地式中，式中，式中，式中，为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵A A的所有特征值，的所有特征值，的所有特征值，的所有特征值，C C为复数为复数为复数为复数域。域。域。域。29例例例例 已知线性定常系统的状态空间表达式为已知线性定常系统的状态空间表达式为已知线性定常系统的状态空间表达式为已知线性定常系统的状态空间表达式为试判别系统的能观试判别系统的能观试判别系统的能观试判别系统的能观测测测测性。性。性。性。30解：

28、根据状态空间表达式可写出解：根据状态空间表达式可写出解：根据状态空间表达式可写出解：根据状态空间表达式可写出求出求出求出求出A A的特征值为：的特征值为：的特征值为：的特征值为：31当当当当时：时：时：时：当当当当时：时：时：时：32当当当当时：时：时：时：计算结果表明，系统满足计算结果表明，系统满足计算结果表明，系统满足计算结果表明，系统满足PBHPBH秩判据的能观秩判据的能观秩判据的能观秩判据的能观测测测测性性性性条件，所以系统完全能观条件，所以系统完全能观条件，所以系统完全能观条件，所以系统完全能观测测测测。333.4线性系统能控性与能观测性的对偶关系线性系统能控性与能观测性的对偶关系对

29、偶系统对偶系统对偶系统对偶系统 系统系统系统系统状态完全能控的充要条件和系统状态完全能控的充要条件和系统状态完全能控的充要条件和系统状态完全能控的充要条件和系统状态状态状态状态完全能观测的充要条件相同；完全能观测的充要条件相同；完全能观测的充要条件相同；完全能观测的充要条件相同；系统系统系统系统状态完全能观测的充要条件与系统状态完全能观测的充要条件与系统状态完全能观测的充要条件与系统状态完全能观测的充要条件与系统完完完完全能控的充要条件相同。全能控的充要条件相同。全能控的充要条件相同。全能控的充要条件相同。对偶原理对偶原理对偶原理对偶原理34对偶系统结构图：互为对偶的系统意味着输对偶系统结构图

30、：互为对偶的系统意味着输对偶系统结构图：互为对偶的系统意味着输对偶系统结构图：互为对偶的系统意味着输出端与输入端互换，信号传送方向的反向；信号出端与输入端互换，信号传送方向的反向；信号出端与输入端互换，信号传送方向的反向；信号出端与输入端互换，信号传送方向的反向；信号引出点和相加点互换，对应的矩阵转置。引出点和相加点互换，对应的矩阵转置。引出点和相加点互换，对应的矩阵转置。引出点和相加点互换，对应的矩阵转置。35对偶系统对偶系统对偶系统对偶系统的传递函数矩阵的关系的传递函数矩阵的关系的传递函数矩阵的关系的传递函数矩阵的关系 对偶系统对偶系统对偶系统对偶系统的特征方程相同的特征方程相同的特征方程

31、相同的特征方程相同 对偶关系建立了系统的能观测性与能控性之对偶关系建立了系统的能观测性与能控性之对偶关系建立了系统的能观测性与能控性之对偶关系建立了系统的能观测性与能控性之间的内在关系，从而也沟通了控制问题与估计问间的内在关系，从而也沟通了控制问题与估计问间的内在关系，从而也沟通了控制问题与估计问间的内在关系，从而也沟通了控制问题与估计问题之间的内在联系。题之间的内在联系。题之间的内在联系。题之间的内在联系。363.5线性定常离散系统的能控性与能观测性线性定常离散系统的能控性与能观测性 一、线性定常离散系统的能控性定义及判据一、线性定常离散系统的能控性定义及判据一、线性定常离散系统的能控性定义

32、及判据一、线性定常离散系统的能控性定义及判据定义定义定义定义 对于对于对于对于n n阶线性定常离散系统阶线性定常离散系统阶线性定常离散系统阶线性定常离散系统若存在控制作用序列若存在控制作用序列若存在控制作用序列若存在控制作用序列，能使某个，能使某个，能使某个，能使某个初始状态初始状态初始状态初始状态x(0)=xx(0)=x0 0在第在第在第在第i i步上到达零状态，即使系统步上到达零状态，即使系统步上到达零状态，即使系统步上到达零状态，即使系统从任意非零初始状态经有限步转移到零状态，即从任意非零初始状态经有限步转移到零状态，即从任意非零初始状态经有限步转移到零状态，即从任意非零初始状态经有限步

33、转移到零状态，即x(x(i i)=0)=0，则称此系统是状态完全可控的，简称系，则称此系统是状态完全可控的，简称系，则称此系统是状态完全可控的，简称系，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。统是可控的。统是可控的。统是可控的。37定理定理定理定理(线性定常离散系统能控性判别准则线性定常离散系统能控性判别准则线性定常离散系统能控性判别准则线性定常离散系统能控性判别准则)线性定常离散系统线性定常离散系统线性定常离散系统线性定常离散系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵状态完全能控的充分必要条件是能控

34、性判别矩阵满秩，即满秩，即 。38例例例例3.123.12已知离散系统的状态方程的已知离散系统的状态方程的已知离散系统的状态方程的已知离散系统的状态方程的GG，HH为：为：为：为：试判别其能控性。试判别其能控性。试判别其能控性。试判别其能控性。解：能控性矩阵解：能控性矩阵解：能控性矩阵解：能控性矩阵离散系统是能控的。离散系统是能控的。39二、线性定常离散系统的能观测性定义及判据二、线性定常离散系统的能观测性定义及判据二、线性定常离散系统的能观测性定义及判据二、线性定常离散系统的能观测性定义及判据定义定义定义定义 对于对于对于对于n n阶线性定常离散系统阶线性定常离散系统阶线性定常离散系统阶线性

35、定常离散系统若能根据有限个采样瞬间测得的若能根据有限个采样瞬间测得的若能根据有限个采样瞬间测得的若能根据有限个采样瞬间测得的可以惟一地确定出系统任意初始状态可以惟一地确定出系统任意初始状态可以惟一地确定出系统任意初始状态可以惟一地确定出系统任意初始状态x(0)=xx(0)=x0 0，则，则，则，则称此系统是状态完全能观测的，简称系统是能观称此系统是状态完全能观测的，简称系统是能观称此系统是状态完全能观测的，简称系统是能观称此系统是状态完全能观测的，简称系统是能观测的。测的。测的。测的。40定理定理定理定理(线性定常离散系统能观测性判别准则线性定常离散系统能观测性判别准则线性定常离散系统能观测性

36、判别准则线性定常离散系统能观测性判别准则)线性定常离散系统线性定常离散系统线性定常离散系统线性定常离散系统状态完全能观测的充分必要条件是能观测矩阵状态完全能观测的充分必要条件是能观测矩阵状态完全能观测的充分必要条件是能观测矩阵状态完全能观测的充分必要条件是能观测矩阵满秩，即满秩，即满秩，即满秩，即 。41例例例例3.133.13已知离散系统状态方程的已知离散系统状态方程的已知离散系统状态方程的已知离散系统状态方程的GG，C C为：为：为：为：试判别其能观测性。试判别其能观测性。试判别其能观测性。试判别其能观测性。解：能观测解：能观测解：能观测解：能观测矩阵矩阵矩阵矩阵离散系统是能观测的。离散系

37、统是能观测的。423.6传递函数中零极点对消与状态能控性和传递函数中零极点对消与状态能控性和能观测性之间的关系能观测性之间的关系 定理定理定理定理 单变量系统能控又能观测的充分必要单变量系统能控又能观测的充分必要单变量系统能控又能观测的充分必要单变量系统能控又能观测的充分必要条件是传递函数条件是传递函数条件是传递函数条件是传递函数G G(s s)中没有零极点对消现象。中没有零极点对消现象。中没有零极点对消现象。中没有零极点对消现象。两个结论两个结论两个结论两个结论:(1)(1)一个系统的传递函数所表示的仅是该系一个系统的传递函数所表示的仅是该系一个系统的传递函数所表示的仅是该系一个系统的传递函

38、数所表示的仅是该系统既能控又能观测的那一部分子系统，因而传统既能控又能观测的那一部分子系统，因而传统既能控又能观测的那一部分子系统，因而传统既能控又能观测的那一部分子系统，因而传递函数是系统的一种不完全描述。递函数是系统的一种不完全描述。递函数是系统的一种不完全描述。递函数是系统的一种不完全描述。(2)(2)一个系统的传递函数若有零极点对消现一个系统的传递函数若有零极点对消现一个系统的传递函数若有零极点对消现一个系统的传递函数若有零极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能象，则视状态变量的选择不同，系统或

39、是不能控的，或是不能观测的，或是既不能控又不能控的，或是不能观测的，或是既不能控又不能控的，或是不能观测的，或是既不能控又不能控的，或是不能观测的，或是既不能控又不能观测的。观测的。观测的。观测的。43例例例例3.163.16设某系统状态方程如下设某系统状态方程如下设某系统状态方程如下设某系统状态方程如下:试判别其状态是否完全能控且完全能观测。试判别其状态是否完全能控且完全能观测。试判别其状态是否完全能控且完全能观测。试判别其状态是否完全能控且完全能观测。解解解解:方法方法方法方法 通过能控阵及能观测阵求解通过能控阵及能观测阵求解通过能控阵及能观测阵求解通过能控阵及能观测阵求解系统不能控系统不

40、能控系统不能控系统不能控 系统能观测系统能观测系统能观测系统能观测 结论：该系统不是状态完全能控且完全能观测的。结论：该系统不是状态完全能控且完全能观测的。结论：该系统不是状态完全能控且完全能观测的。结论：该系统不是状态完全能控且完全能观测的。44方法方法方法方法 通过传递函数来判别通过传递函数来判别通过传递函数来判别通过传递函数来判别 结论：该系统不是状态完全能控且完全能观测的。结论：该系统不是状态完全能控且完全能观测的。结论：该系统不是状态完全能控且完全能观测的。结论：该系统不是状态完全能控且完全能观测的。45例例例例 设系统传递函数如下设系统传递函数如下设系统传递函数如下设系统传递函数如

41、下:第第第第1 1个实现：个实现：个实现：个实现：能控标准形能控标准形能控标准形能控标准形一定能控一定能控一定能控一定能控第第第第1 1个实现个实现个实现个实现不能观测不能观测不能观测不能观测第第第第2 2个实现：个实现：个实现：个实现：能观测标准形能观测标准形能观测标准形能观测标准形一定能观测一定能观测一定能观测一定能观测第第第第2 2个实个实个实个实现不能控现不能控现不能控现不能控46第第第第3 3个实现：个实现：个实现：个实现：第第第第3 3个实现既不能个实现既不能个实现既不能个实现既不能控又不能观测控又不能观测控又不能观测控又不能观测结论：结论：结论：结论：传递函数中有零极点对消现象，

42、系传递函数中有零极点对消现象，系传递函数中有零极点对消现象，系传递函数中有零极点对消现象，系统状态或者是不完全能控的，或者是不完全能统状态或者是不完全能控的，或者是不完全能统状态或者是不完全能控的，或者是不完全能统状态或者是不完全能控的，或者是不完全能观测的，或者是既不能控又不能观测的。观测的，或者是既不能控又不能观测的。观测的，或者是既不能控又不能观测的。观测的，或者是既不能控又不能观测的。473.7线性系统结构按能控性、能观测性分解线性系统结构按能控性、能观测性分解 一个不能控、不能观测的系统，可以将其状一个不能控、不能观测的系统，可以将其状一个不能控、不能观测的系统，可以将其状一个不能控

43、、不能观测的系统，可以将其状态空间划分为四部分：态空间划分为四部分：态空间划分为四部分：态空间划分为四部分：能控且能观测子空间、能能控且能观测子空间、能能控且能观测子空间、能能控且能观测子空间、能控但不能观测子空间、不能控但能观测子空间、控但不能观测子空间、不能控但能观测子空间、控但不能观测子空间、不能控但能观测子空间、控但不能观测子空间、不能控但能观测子空间、不能控且不能观测子空间。不能控且不能观测子空间。不能控且不能观测子空间。不能控且不能观测子空间。把系统的状态空间分把系统的状态空间分把系统的状态空间分把系统的状态空间分解成上述四部分就称为系统的规范结构分解。解成上述四部分就称为系统的规

44、范结构分解。解成上述四部分就称为系统的规范结构分解。解成上述四部分就称为系统的规范结构分解。48一系统按能控性分解一系统按能控性分解一系统按能控性分解一系统按能控性分解 定理定理定理定理 设一个不完全能控系统的动态方程为设一个不完全能控系统的动态方程为设一个不完全能控系统的动态方程为设一个不完全能控系统的动态方程为:若系统能控性矩阵的秩为若系统能控性矩阵的秩为若系统能控性矩阵的秩为若系统能控性矩阵的秩为r r(r r n n)，则存在一个非奇异，则存在一个非奇异，则存在一个非奇异，则存在一个非奇异变换变换变换变换 将系统变换为能控性结构分解标准型将系统变换为能控性结构分解标准型将系统变换为能控

45、性结构分解标准型将系统变换为能控性结构分解标准型49从能控性矩阵从能控性矩阵从能控性矩阵从能控性矩阵 中选出的中选出的中选出的中选出的r r个线个线个线个线性无关的列向量性无关的列向量性无关的列向量性无关的列向量 为任意选取的为任意选取的为任意选取的为任意选取的(n n-r r)个个个个n n维列向量，使它维列向量，使它维列向量，使它维列向量，使它与与与与线性无关。线性无关。线性无关。线性无关。50能控性结构分解后的系统结构图能控性结构分解后的系统结构图能控性结构分解后的系统结构图能控性结构分解后的系统结构图从图中明显看出，输入信号从图中明显看出，输入信号从图中明显看出，输入信号从图中明显看出

46、，输入信号u u是通过能控子是通过能控子是通过能控子是通过能控子系统传递到能控状态系统传递到能控状态系统传递到能控状态系统传递到能控状态，而对不能控子系统确毫，而对不能控子系统确毫，而对不能控子系统确毫，而对不能控子系统确毫无影响。该系统属于结构不完全能控系统。无影响。该系统属于结构不完全能控系统。无影响。该系统属于结构不完全能控系统。无影响。该系统属于结构不完全能控系统。51例例例例3.173.17已知线性定常系已知线性定常系已知线性定常系已知线性定常系统状态空间描述，判别其能统状态空间描述，判别其能统状态空间描述，判别其能统状态空间描述，判别其能控性，若不是完全能控，试控性，若不是完全能控

47、，试控性，若不是完全能控，试控性，若不是完全能控，试将该系统按能控性分解。将该系统按能控性分解。将该系统按能控性分解。将该系统按能控性分解。状态不完全能控状态不完全能控状态不完全能控状态不完全能控 解解解解:系统的能控性矩阵为系统的能控性矩阵为系统的能控性矩阵为系统的能控性矩阵为52能控子系统能控子系统能控子系统能控子系统 不能控子系统不能控子系统不能控子系统不能控子系统 输出量分解输出量分解输出量分解输出量分解y=yy=y1 1+y+y2 253-1-2-2ux1x2x3_54二二二二.系统按能观测性分解系统按能观测性分解系统按能观测性分解系统按能观测性分解 若系统能观测矩阵的秩为若系统能观

48、测矩阵的秩为若系统能观测矩阵的秩为若系统能观测矩阵的秩为r r(r r n n)，则存在一个非奇异，则存在一个非奇异，则存在一个非奇异，则存在一个非奇异线性变换线性变换线性变换线性变换定理定理定理定理 设一个不完全能观测系统的动态方程为设一个不完全能观测系统的动态方程为设一个不完全能观测系统的动态方程为设一个不完全能观测系统的动态方程为:能将系统变换为能观测性结构分解标准型能将系统变换为能观测性结构分解标准型能将系统变换为能观测性结构分解标准型能将系统变换为能观测性结构分解标准型55从能观测性矩阵从能观测性矩阵从能观测性矩阵从能观测性矩阵中选出中选出中选出中选出的的的的r r个线性无关的行向量

49、个线性无关的行向量个线性无关的行向量个线性无关的行向量 在确保在确保在确保在确保是非奇异的条是非奇异的条是非奇异的条是非奇异的条件下完全是任意的件下完全是任意的件下完全是任意的件下完全是任意的 r r维能观测子系统维能观测子系统维能观测子系统维能观测子系统(n n-r r)维不能观测子系统维不能观测子系统维不能观测子系统维不能观测子系统 56能观测性结构分解后的系统结构图能观测性结构分解后的系统结构图能观测性结构分解后的系统结构图能观测性结构分解后的系统结构图从图中看出，能观测子系统的状态可以由输从图中看出，能观测子系统的状态可以由输从图中看出，能观测子系统的状态可以由输从图中看出，能观测子系

50、统的状态可以由输出出出出y y反映出来，而不能观测子系统与输出反映出来，而不能观测子系统与输出反映出来，而不能观测子系统与输出反映出来，而不能观测子系统与输出y y没有必没有必没有必没有必然联系，不能由输出观测到。然联系，不能由输出观测到。然联系，不能由输出观测到。然联系，不能由输出观测到。57解：系统能观测判别阵解：系统能观测判别阵解：系统能观测判别阵解：系统能观测判别阵为：为：为：为：状态不完状态不完状态不完状态不完全能观测全能观测全能观测全能观测 例例例例3.183.18已知线性定常系已知线性定常系已知线性定常系已知线性定常系统状态空间描述，判别其能观统状态空间描述，判别其能观统状态空间