线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵对角化.ppt

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1、 第二节第二节 相似矩阵和矩阵对角化相似矩阵和矩阵对角化n n本节目的：利用相似变换把一个矩阵化成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的条件和相似变换阵的求解方法。1相似矩阵的定义n n定义定义3 3 已知矩阵已知矩阵 ，是两个是两个 阶方阵如果存阶方阵如果存在一个满秩矩阵在一个满秩矩阵 使得使得 n n则称则称 ，相似，记作相似，记作n n相似关系满足以下性质：相似关系满足以下性质：n n（1 1）自反性：）自反性：；n n（2 2）对称性：）对称性：；n n（3 3）传递性）传递性：2一些有用的定理n n 定理定理3 3 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的

2、特征值。相同的特征值。n n证明证明 ：因为：因为 相似，所以存在可逆阵相似，所以存在可逆阵 使使得得n n n n 3推论 如果 阶方阵 与对角矩阵 相似，则 ；也是的特征值。n n若方阵若方阵 能与一个对角阵相似，则称能与一个对角阵相似，则称 可对可对角化角化n n方阵方阵 可对角化的判定条件可对角化的判定条件n n定理4 阶方阵 可以与一个对角型矩阵 相似的充分必要条件是，有 个线性无关的特征向量。4n n证明 假设存在可逆矩阵假设存在可逆矩阵 ，使得，使得 n n为对角阵为对角阵 ，n n设设 ，则由，则由n n即即5n n于是于是n n可见可见 ，是，是 的特征值，的特征值，向量 就

3、是矩阵 关于特征值 的特征向量 n n反之，设反之，设 恰有恰有 个特征值，并可对应个特征值，并可对应 个个特征向量特征向量 ，并且它们线性无关。，并且它们线性无关。n n令令 即是要找的相似变换。即是要找的相似变换。n n定理定理4 4不仅给出了一个方阵可对角化的充要条不仅给出了一个方阵可对角化的充要条件，而且也给出了求解相似变换阵的方法。件，而且也给出了求解相似变换阵的方法。6n n定理定理5 5 如果矩阵如果矩阵 的特征值的特征值 ，则与它们，则与它们对应的特征向量对应的特征向量 和和 线性无关线性无关。n n推论推论 若若 阶方阵阶方阵 有有 个互异的特征值个互异的特征值 n n则则

4、可对角化，且可对角化，且 n n注意上述命题的逆命题不成立，例如单位阵7n n定理定理6 6 设设 是是 的的 个互异的特征个互异的特征值，值，是是 的属于的属于 的的 个线性无个线性无关的特征向量，关的特征向量，则，则n n也线性无关。也线性无关。n n定理定理6 6是说当是说当 有多重特征值时，若每个特征有多重特征值时，若每个特征值有足够多的线性无关的特征向量的话，则其值有足够多的线性无关的特征向量的话，则其也可以对角化。也可以对角化。8n n定理定理7 7 设设 是是 的一个的一个 重特征值，对应的重特征值，对应的特征向量线性无关的最大个数为特征向量线性无关的最大个数为 ，则，则n n也

5、就是说线性无关的特征向量的个数不超过其也就是说线性无关的特征向量的个数不超过其对应的特征值的重数。对应的特征值的重数。n n定理定理8 8 阶矩阵阶矩阵 可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 的每个的每个 重特征值重特征值 对应有对应有 个相形无关的个相形无关的特征向量。即特征向量。即9例题n n例1 设 试问 可否对角n n化？若能，求出相应的矩阵 。n n解：由 可得 的特征值为n n （二重）n n求解特征向量，分别求解10n n可得可得 对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为n n即即 由三个线性无关的特征向量，从而由定理由三个线性无关的特征向量，从而由定理4 4，可以对角化。可

6、以对角化。n n令令11n n则有n n若令n n则也有12n n但是若令n n则应有13例2 设 ，而 问 可否对角化？解 因为即 是 的 重特征值。而由知 ，即 的线性无关的特征向量的个数不超过 个，因此，由定理8知，不可以对角化。14例3 设 （1）问 可否对角化？若能，求出相应的 ，使得 为对角阵。（2）求 。解 由15 显然 由两个不同的特征值1，2，所以可以对角化。当 时，解方程组解得其基础解系为当 时，解方程组16n n解得其基础解系为n n令n n则有 17n n（2）当 较大时，直接计算 时不容易的，如果记n n则由 ，可得n n于是18n n而因为n n所以19n n当 可对角化时，总是可以利用此方法来求 得高阶次幂。20