线性代数课件第5章相似矩阵.ppt

《线性代数课件第5章相似矩阵.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件第5章相似矩阵.ppt（40页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第5章 相似矩阵 本章主要介绍方阵的特征值与特征向量、相似矩阵、向量的内积和正交化方法、对称矩阵的相似矩阵。通过本章的学习，读者应该掌握以下内容：方阵的特征值与特征向量的定义及计算 相似矩阵的定义与性质 方阵的相似对角化 向量的内积、长度 正交和正交向量组与正交矩阵的概念 施密特正交化方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法1的特征值，非零列向量 称为方阵5.1 方阵的特征值与特征向量 5.1.1 方阵的特征值与特征向量 定义1 设是一个 阶方阵,如果存在数 及 维非零列向量 使得,那么,这样的数 称为方阵的对应于(或属于)特征值的特征向量2是方阵 的特征值,是对应的特征向量(此为 个未知

2、数 个方程的齐次线性方程组)是方阵 的特征值是对应于 的特征向量是齐次线性方程组的非零解(右式称为 的特征多项式,记为 ,称为特征方程)3(设 )求方阵的特征值与特征向量的步骤 计算 的特征多项式求出特征方程的所有根（重根按重数计算）：对每个特征值 ,求出相应的齐次线性方程组 的一个基础解系为对应于 的全部特征向量.不全为零)则4例例1 求矩阵的特征值与特征向量 解解 所以的特征值为 对于特征值解方程,由得同解方程组通解为一基础解系为 所以对应于的全部特征向量为5 对于特征值解方程,由得同解方程组通解为一基础解系为所以对应于的全部特征向量为6例例3 求矩阵的特征值与特征向量解解 所以有2重特征

3、值，有单特征值 对于特征值，解方程，得同解方程组故得通解所以对应于特征值的全部特征向量为由7对于特征值，解方程.由得同解方程组故得通解对应于特征值的全部特征向量为8重特征值算作阶方阵是可逆方阵5.1.2 特征值的性质性质性质1 若的全部特征值为（个特征值）则：性性质质2 设的一个特征值，为对应的特征是的一个特征值，为对应向量,且则特征向量;9是方阵性性质质3 设的一个特征值，为对应的特征是的一个特征值，为对应特征向量;向量,则是一个正整数,是方阵性性质质4 设的一个特征值，为对应的特征是的一个特征值，为对应特征向量;向量,若则10的特征值都不为零，知可逆，故例例5 设3阶矩阵 的特征值为 ,求

4、 解解 因为.而所以把上式记作，则 故的特征值为：于是11的互不相同的特征值，特征向量的性质 是方阵性性质质1 设的一个特征值，为对应的特征向量,若又有数，则性质性质2 设是方阵是对应于的特征向量,则向量组即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关线性无关12的相似矩阵，或称方阵5.2 相似矩阵定义定义2 设都是阶方阵，若有可逆矩阵,使,则称是与相似，记作，有，从而即 如5.2.1 相似矩阵的概念13的对应于与的某个特征值，若是相似矩阵的性质性质性质1（因为性质性质2 若则性质性质3 若则性质性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同；性质性质5 设是是的特征向量，则的对应于的

5、特征向量14 （3）可以证明，对应于 的每一个 重特征值若正好有 个线性无关的特征向量,即 则 必有 个线性无关的特征向量，从而一定可以对角化 定理定理1 阶方阵 与对角矩阵相似（即 能对角化）的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量推论推论（能对角化的充分条件）如果 阶方阵的 个特征值互不相等，则 与对角矩阵相似注意（1）推论的逆命题未必成立（2）当 有重特征值时，就不一定有线性无关的特征向量，从而 不一定能对角化15的特征多项式为例例8 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以对角化,求可逆矩阵使之对角化解解（1）的特征值为1，3，是两个不同的特征值，所以可以对角化16对，解方程,由于同解方程

6、组为 通解为 一基础解系为 对，解方程,由于同解方程组为 通解为 一基础解系为 令 则17的特征多项式为（2）因此,的特征值为1，1，3对，解方程,由于同解方程组为 通解为,一基础解系为18对，解方程,由于同解方程组为 通解为 一基础解系为 有三个线性无关的特征向量，所以 可以对角化令 则195.3 向量的内积、正交化方法向量的内积 定义定义3 设有 维向量,令,称其为与 的内积 向量的内积具有下列性质（其中 都是列向量，为实数）：性质性质1 性质性质2 性质性质3 性质性质4,当20向量的长度 定义定义4 设有 维向量 令称为维向量的长度（或范数）当=1时，称为单位向量向量的长度具有下列性质

7、：性质性质1 非负性：当 时,性质性质2 齐次性：为实数)性质性质3 三角不等式：21的夹角当时，称为维向量与当,记,称非零向量单位化.当 时，称向量 与显然，零向量与任何向量都正交 正交22正交向量组定义定义5 一组两两正交的非零向量组，称为正交向量组设 是正交向量组，则若两两正交且都为单位向量，则称 为单位正交向量组记作 23正交向量组有下列性质：性质性质1 若 是正交向量组,则线性无关.性质性质2 设 为标准正交向量组，的任一向量，若存在数 为同维数,使则24正交化方法 找到与线性无关向量组等价的单位正交向量组的方法如下：设 为一线性无关向量组（1）正交化：取 依次类推，一般的，有 可以

8、证明,两两正交,且 与 等价25（2）规范化：令 则 为单位正交向量组，且与 等价 上述从线性无关向量组导出等价正交向量组的方法称为施密特（Schimidt）正交化过程它不仅满足 与 等价，还满足对任何实数 与 等价26例例13 已知,求一组非零向量,使两两正交 解解 应该满足 即 其同解方程组为它的通解为 一基础解系为 27把基础解系正交化，即为所求取于是得 即为所求.28正交矩阵定义定义6 如果阶矩阵满足,那么称为正交矩阵，简称正交阵 例如 都是正交矩阵29为正交阵，那么 正交矩阵有下列性质：性质性质1 若 是可逆阵,且 或;为正交阵，那么 性质性质2 若 是正交阵;为正交阵性质性质3 性

9、质性质4 若 为同阶正交矩阵,则 也是正交矩阵 30是5.4 实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的性质性质性质1 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为 实向量；性质性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 相互正交；性质性质3 设 阶实对称矩阵,是的则齐次线性方程组 重特征根,的系数矩阵的秩,从而 的对应于特征值 性无关的特征向量恰有 的线个.31是定理定理2 设 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵 使,其中 为对角矩阵,且 元素是矩阵 对角线上的的个特征值.实对称矩阵的相似对角形 根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似 32寻找正交矩阵,使 成为对角阵的步骤如下：1根据特征方程,求出

10、矩阵 的特征值 的所有不同及它们的重数 2对每一个特征值,解齐次线性方程组,求得它的一个基础解系 3利用施密特正交化方法，把向量组 正交单位化得单位正交向量组 从而得到 个两两正交的单位特征向量组:33的个4令 则 为正交矩阵,且为对角矩阵，且 对角线上的元素含 恰好是矩阵 个特征值.其中 的主对角元素 的重数为 顺序与,并且排列排列顺序相对应 中正交向量组的34例例14 设,求一个正交矩阵,使 为对角矩阵 解解 由 得的特征值为 对应于,解方程,由 35得同解方程组 通解为 一基础解系为,单位化得 对应于,解方程 由 得同解方程组 通解为 36一基础解系为 取单位化,得,令则有 37注意 上例中若令 可逆,则 38例例15 设,求 解解 为实对称矩阵所以 可以对角化,即存在可逆矩阵,使 为对角矩阵.于是 从而 由 得 的特征值为 于是 对于,由 得 对于,由 得 39令,再求出,于是 一般地，为正整数).40