D101二重积分概念z.ppt

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1、第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、问题的提出一、问题的提出二、二重积分的概念二、二重积分的概念 二重积分的概念与性质 第十章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底：xOy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”目录 上页 下页 返回 结

2、束 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”令目录 上页 下页 返回 结束 2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片,在 xOy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.度为设D 的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小块.目录 上页 下页 返回 结束 2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量目录 上页 下页 返回 结束

3、 两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的概念二、二重积分的概念定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可积可积,在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,目录 上页 下页 返回 结束 引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D,因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 目录 上页 下页 返回 结束 对二重积分定

4、义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，是柱体的体积的负值一般地，是一般地，是有向体积有向体积思考思考:教材P136 第2题三、二重积分的性质三、二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束（与定积分有类似的性质）与定积分有类似的性质）特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）7.(二重积分的中值定理)证证:由性

5、质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注：在求有：在求有二重积分参与的极限二重积分参与的极限时常用到此定理。时常用到此定理。例例1.比较下列积分的大小:其中解解:积分域 D 的边界为圆周它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线从而而域 D 位于直线的上方,故在 D 上机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 补充性质补充性质8 8 （对称性）（对称性）（以下假设（

6、以下假设f(x,y)f(x,y)在积分区域在积分区域D D上连续，并记上连续，并记I I ）1、若若D D关于关于x x轴对称，轴对称，f(x,y)f(x,y)关于关于y y是是奇奇函数函数,则则I0；若若D D关于关于x x轴对称，轴对称，f(x,y)f(x,y)关于关于y y是是偶偶函数函数(f(x,-y)=f(x,y),则则I 。目录 上页 下页 返回 结束 2、若若D关于关于y轴对称，轴对称，f(x,y)关于关于x是奇函数是奇函数,则则I0若若D关于关于y轴对称，轴对称，f(x,y)关于关于x是偶函数是偶函数,则则I 。注：注：在运用对称性时在运用对称性时要兼顾要兼顾被积函数被积函数和

7、和积分区域积分区域两个方面，不可误用两个方面，不可误用在第一象限部分,则有目录 上页 下页 返回 结束 性质性质9 9 （积分变量的轮换不变性）（积分变量的轮换不变性）若积分区域若积分区域D关于直线关于直线y=x对称，则对称，则说明：性质说明：性质8、9可化简重积分计算。可化简重积分计算。轮换不变性是轮换不变性是多元函数多元函数积分所独有的性质积分所独有的性质目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算其中D 由所围成.解解:令(如图所示)显然,内容小结内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同,且非负,思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为()提示:因 0 y 1,故故在D上有机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.证明:其中D 为解解:利用题中 x,y 位置的对称性,有又 D 的面积为 1,故结论成立.第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束