D110闭区间上连续函数的性质(IV).ppt

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1、第十节第十节 闭区间上连续函闭区间上连续函数的性质数的性质 闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。比较明显的。闭区间上的连续函数闭区间上的连续函数:回顾：回顾：一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义:例如例如,定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上

2、连连续续的的函函数在该区间上有界且一定能取得其最大值和最小值数在该区间上有界且一定能取得其最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理定义定义:几何解释几何解释:证证由零点定理由零点定理,abABMmC几何解释几何解释:例例1 1证证由零点定理由零点定理,推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.例例1.证明方程一个根.证证:显然又故据零点定理,至少存在

3、一点使即说明说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有则则例例2 2证证由零点定理由零点定理,例例3 证证由零点定理知由零点定理知总之总之上连续,且恒为正,例例2.设在对任意的必存在一点证证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:注注方程方程f(x)=0的根的根函数函数f(x)的零点的零点有关闭区间上连续函数命题的证明方法有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理再利用零

4、点定理辅助函数的作法辅助函数的作法（1）将结论中的）将结论中的(或或x0或或c)改写成改写成x（2）移项使右边为）移项使右边为0，令左边的式子为，令左边的式子为F(x)则则F(x)即为所求即为所求 区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证余下只须验证F(x)在所讨论的区间上在所讨论的区间上连续，连续，再比较再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。在所论闭区间上的最大值与最小值之间。*三三.一致连续一致连续性性已知函数在区间 I 上连续

5、,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义定义:对任意的都有在在 I 上一致连续上一致连续.显然:例如例如,但不一致连续.因为取点则 可以任意小但这说明在(0,1 上不一致连续.定理定理.上一致连续.(证明略)思考思考:P74 题 7提示提示:设存在,作辅助函数显然三、小结三、小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数1.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:作业作业P74 题 3;4;5备用题备用题 至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.练练 习习 题题