自由度系统的强迫振动.ppt

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1、第三章第三章第三章第三章 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 本本章章将将主主要要讨讨论论振振动动系系统统由由外外部部持持续续激激励所产生的振动，称为励所产生的振动，称为强迫振动强迫振动。系系统统对对外外部部激激励励的的响响应应取取决决于于激激励励的的类类型，依照从简单到复杂的次序，外部激励分为型，依照从简单到复杂的次序，外部激励分为:简谐激励；简谐激励；叠叠加加原原理理：对对于于线线性性系系统统，可可以以先先分分别别求求出出对对所所给给定定的的许许多多各各种种激激励励的的响响应应，然然后后组组合合得得出总响应。出总响应。非周期性激励。非周

2、期性激励。周期性激励；周期性激励；3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应 如如图图所所示示的的二二阶阶线线性性有有阻阻尼尼的的弹弹簧簧-质质量量系系统统。这这一一系系统统的的运动微分方程为运动微分方程为 这这个个单单自自由由度度强强迫迫振振动动微微分分方方程程的的全全部部解解包包括括两两部部分分。一一是是通通解解x1，二是特解，二是特解x2，即，即在在小小阻阻尼尼情情况况下下，通通解解x1为为衰衰减减振振动动，称称为为瞬瞬态态振振动动；特特解解x2表表示示系系统统在在简简谐谐激激励励下下产产生生的的强强迫迫振动振动，它是一种持续等幅振动，称为，它是一种

3、持续等幅振动，称为稳态振动稳态振动。(3.1-1)图 3.1-1微分方程及解的形式微分方程及解的形式3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应微分方程的求解微分方程的求解式式中中X为为强强迫迫振振动动的的振振幅幅，为为相相位位差差，是是两两个个待定常数待定常数。将式将式(3.1-2)代入式代入式(3.1-1)，得得为了便于比较，把上式右端的为了便于比较，把上式右端的F0sint改写如下改写如下设特解为设特解为(3.1-2)(3.1-3)(3.1-4)3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应微分方程的求解微分方程的求解

4、将式将式(3.1-4)代回式代回式(3.1-3)，整理后得，整理后得 该方程对于任意时间该方程对于任意时间t都应恒等于零，有都应恒等于零，有由此可得由此可得(3.1-5)(3.1-6)3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应微分方程的求解微分方程的求解 为了便于进一步讨论，把式为了便于进一步讨论，把式(3.1-5)与与式式(3.1-6)的分子分母同除以的分子分母同除以k，得如下变化形式，得如下变化形式 (3.1-7)式中式中 。(3.1-8)得特解为得特解为这就是在简谐激励作用下系统的这就是在简谐激励作用下系统的位移响应位移响应。(3.1-9)3.1 3

5、.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：(1)在在简简谐谐激激励励作作用用下下，强强迫迫振振动动是是简简谐谐振振动动，振振动动的的频频率率与与激激励励频频率率相相同同，但但稳稳态态响响应应的的相相位位滞后于激励相位。滞后于激励相位。(2)强强迫迫振振动动的的振振幅幅X和和相相位位差差都都只只决决定定于于系系统统本本身身的的物物理理性性质质和和激激励励的的大大小小与与频频率率，与与初初始始条条件无关。件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。初始条件只影响系统的瞬态振动。(3)强强迫迫振

6、振动动振振幅幅的的大大小小在在工工程程实实际际问问题题中中具具有有重重要要意意义义。如如果果振振幅幅超超过过允允许许的的限限度度，构构件件中中会会产产生生过过大大的的交交变变应应力力，而而导导致致疲疲劳劳破破坏坏，或或者者影影响机器及仪表的精度。响机器及仪表的精度。3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应关于解的讨论关于解的讨论可以将式可以将式(3.1-7)写成无量纲的形式写成无量纲的形式(3.1-10)(3.1-11)引入符号：引入符号：频率比；频率比；振动系统零频率挠度；振动系统零频率挠度；放大因子。放大因子。3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激

7、励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应关于解的讨论关于解的讨论幅频特性曲线幅频特性曲线放大因子放大因子与频率比与频率比的关系：的关系：当当频频率率比比1时时，趋趋于于零零，振幅可能非常小。振幅可能非常小。当当激激励励频频率率与与振振动动系系统统频频率率很很接接近近时时，即即1时时，定定义义为为共共振振，强强迫迫振振动动的的振振幅幅可可能能很很大大，比比X0大大很很多多倍倍，唯唯一一的的限限制制因因素是阻尼。素是阻尼。图 3.1-23.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应关于解的讨论关于解的讨论共振共振由式由式(3.1-10)可见，在可见，在=1时，有时

8、，有 实际上，当有阻尼作用时，实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在振幅最大并不在=n处处，而发生在而发生在 (3.1-12)(3.1-13)(3.1-14)将式将式(3.1-10)对对(或或)进行微分，令结果等于零进行微分，令结果等于零,即即3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应关于解的讨论关于解的讨论共振共振 据此，放大因子与振幅为据此，放大因子与振幅为（振幅最大时）（振幅最大时）(3.1-15)(3.1-16)有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率，有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率，也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共

9、振。也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共振。3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应关于解的讨论关于解的讨论相频频特性曲线相频频特性曲线 相位差相位差与频率比与频率比的关系：的关系：在在1时时，相相位位差差，即即在在高高频频范范围围内内，响响应应与与激激励励接接近于反相位。近于反相位。在在=1，即即共共振振时时，相相位位差差/2，这这时时与与阻阻尼尼大大小小无无关关，这是共振时的一个重要特征。这是共振时的一个重要特征。图 3.1-33.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应关于解的讨论关于解的讨论共振时的响

10、应共振时的响应 再研究当激励频率再研究当激励频率与系统固有频率与系统固有频率n相等相等(即共振即共振)时的响应情况。在方程时的响应情况。在方程(3.1-1)中，中，令c=0，=n，有，有 根据微分方程理论可知：根据微分方程理论可知：当当=n时，微分方程时，微分方程(3.1-17)的的特解为特解为 (3.1-17)(3.1-18)这就说明在共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限这就说明在共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限地增大，如图所示。地增大，如图所示。图 3.1-43.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：无阻尼强迫振动微分方程例题：无阻尼强迫振动微分

11、方程（例（例3.1-1)共共振振现现象象是是工工程程中中需需要要研研究究的的重重要要课课题题，工工程程中中通通常常取取0.75 的的区区间间为为共共振振区区，在在共共振振区区内内振振动动都都很很强强烈烈，会会导导致致机机器器或或结结构构的的过过大大变变形形而而造造成成破破坏坏，但但同同样样可可以以利用振动为人类服务。利用振动为人类服务。例例3.1-1 在在一一弹弹簧簧-质质量量系系统统上上作作用用一一简简谐谐力力 ，如如图图3.1-5所所示示。初初始始瞬瞬时时x(0)=x0，试试求求系系统的响应。统的响应。解：解：系统的振动微分方程为系统的振动微分方程为其解为其解为式中式中A1和和A2是由初始

12、条件确定的常数。是由初始条件确定的常数。图 3.1-53.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：无阻尼强迫振动微分方程例题：无阻尼强迫振动微分方程（例（例3.1-1)代入初始条件代入初始条件x(0)=x0，得得把把A1和和A2值代入解中，得值代入解中，得当当t=0时，时，x0=0，上式简化为，上式简化为3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：无阻尼强迫振动微分方程例题：无阻尼强迫振动微分方程（例（例3.1-1)在在有有阻阻尼尼的的情情况况下下，后后一一种种自自由由振振动动在在一一段段时时间间内内逐渐衰减，

13、系统的振动逐渐变成稳态振动，如图所示。逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动，如图所示。强迫振动的初始阶段的解由三部分组成：强迫振动的初始阶段的解由三部分组成：第一项是初始条件产生的第一项是初始条件产生的自由振动自由振动；第二项是简谐激励产生的第二项是简谐激励产生的强迫振动强迫振动；第三项是不论初始条件如何都第三项是不论初始条件如何都伴随强迫振动而产伴随强迫振动而产生的自由振动生的自由振动。同时，系统中不可避免地存在着阻尼，。同时，系统中不可避免地存在着阻尼，自由振动将不断的衰减。自由振动将不断的衰减。图 3.1-63.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应

14、例题：不平衡质量激发的强迫振动例题：不平衡质量激发的强迫振动（例）（例）例例3.1-2 作作为为承承受受简简谐谐激激励励的的一一个个例例子子，考考虑虑图图所所示示的的不不平平衡衡转转子子激激发发的的振振动动。两两个个偏偏心心质质量量m/2以以角角速速度度按按相相反反方方向向转转动动，这这样样可可以以使使两两个个偏偏心心质质量量激激励励的的水水平平分分量量相相互互抵抵消消，铅铅垂垂分分量量则则相相加加起起来来。设设转转子子的的偏偏心心矩矩为为e，机器总质量为，机器总质量为M，求系统的响应。，求系统的响应。解：解：系统的振动微分方程为系统的振动微分方程为上式可以写成上式可以写成3.1 3.1 对简

15、谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：不平衡质量激发的强迫振动例题：不平衡质量激发的强迫振动（例）（例）设响应为设响应为 根据方程根据方程（）的稳态响应的的稳态响应的幅值幅值为为 式式中中 ，而而 。根根据据方方程程（3.1-8）的的稳稳态态响响应应的的相位角相位角 同样响应的幅值也可以变换为同样响应的幅值也可以变换为3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：不平衡质量激发的强迫振动例题：不平衡质量激发的强迫振动（例）（例）因而，在这种情况下，无量纲比为因而，在这种情况下，无量纲比为 用幅频响应曲线表示如图所示用幅频响应曲

16、线表示如图所示 在在 低低 频频1时时，则则MX/me趋趋 近近 于于 1，即即Xme/M，而而不不趋趋向向于零。于零。3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：支承激励引起的强迫振动例题：支承激励引起的强迫振动（例）（例）解解：取取铅铅垂垂坐坐标标轴轴x与与y，分分别别以以物物体体与与支支承承静静止止时时的的平平衡衡位位置置为为原原点点，向向上为正。其运动微分方程为上为正。其运动微分方程为或者改写成为或者改写成为例例3.1-3 作作为为承承受受简简谐谐激激励励的的另另一一个个例例子子，是是当当支支承承产产生生简简谐谐运运动动的的情情况况。在在许许多

17、多情情况况下下，系系统统产产生生强强迫迫振振动动是是由由于于支支承承的的运运动动。如如图图3.1-8所所示示的的系系统统，假假定定物物体体m只只能沿铅垂方向运动，支承可以上下运动，其规律为，能沿铅垂方向运动，支承可以上下运动，其规律为，求系统的响应。求系统的响应。3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：支承激励引起的强迫振动例题：支承激励引起的强迫振动（例）（例）设设支支承承的的位位移移y与与振振动动系系统统中中的的质质量量m的的强强迫迫振振动动响响应应x表示为表示为 把上面的式子代入振动微分方程得把上面的式子代入振动微分方程得为了便于比较，把上式

18、右端项改写为为了便于比较，把上式右端项改写为3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：支承激励引起的强迫振动例题：支承激励引起的强迫振动（例）（例）代回整理得代回整理得这这个个方方程程对对于于任任意意时时间间t都都应应恒恒等等于于零零，所所以以sin（t-）和和cos（t-）前前面面括括号号内内的的量量都都必必须须分分别别等等于于零零，有有因此因此3.1 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应对简谐激励的响应例题：支承激励引起的强迫振动例题：支承激励引起的强迫振动（例）（例）以以为为横横坐坐标标，X/Y为为纵纵坐坐标标，可可以以作作出出不不同同阻阻尼尼系系数数情情况况下下的的幅幅频频响响应应曲曲线线，如如图图所所示示。它它与与简简谐谐激激振振力力F0sint作用下的响应曲线基本相同。作用下的响应曲线基本相同。只只是是在在频频率率比比=处处，不不论论相相对对阻阻尼尼系系数数等等于于多多少少，振振幅幅X都都等等于于支支承承运运动动振振幅幅Y。而而当当 时时，振振幅幅X就就小小于于支支承承运运动动振振幅幅Y，而而且且阻阻尼尼大大的的系系统统比比阻阻尼尼小小的的振振幅幅反反而而要要稍稍大大些。些。