函数的单调性、极值与最值.ppt

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1、上页下页铃结束返回首页4-3 4-3 函数的单调性、极值与最值函数的单调性、极值与最值一、函数的单调性一、函数的单调性 1 1、定理、定理1 1：设设设设 f f(x x)在闭区间在闭区间在闭区间在闭区间a,ba,ba,ba,b上连续，在开区上连续，在开区上连续，在开区上连续，在开区间间间间(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)内可导，则有内可导，则有内可导，则有内可导，则有 （1 1 1 1）若在（）若在（）若在（）若在（a a，b b）内，）内，）内，）内，f f(x x)0000，则，则，则，则 f f(x x)在在在在aa，bb上单调递增；上单调递增；上单调递增；上单调递增；（2 2

2、 2 2）若在（）若在（）若在（）若在（a a，b b）内，）内，）内，）内，f f(x x)000”“”和和和和“”“”号也可改为号也可改为号也可改为号也可改为“”“”和和和和“”号，号，号，号，结论同样成立结论同样成立结论同样成立结论同样成立.2、分段单调函数：、分段单调函数：Def 1：若函数在某些子区间上单调递增，而在另一些子若函数在某些子区间上单调递增，而在另一些子区间上单调递减，则称该函数为分段单调函数区间上单调递减，则称该函数为分段单调函数.3、驻点：、驻点：Def 2：上页下页铃结束返回首页 4 4、利用导数性质来判断函数的性质，它包含三个典利用导数性质来判断函数的性质，它包含

3、三个典利用导数性质来判断函数的性质，它包含三个典利用导数性质来判断函数的性质，它包含三个典型的问题型的问题型的问题型的问题（1）求函数单调区间）求函数单调区间 求求求求 f f(x x)单调区间的步骤：单调区间的步骤：单调区间的步骤：单调区间的步骤：1 1求求求求 f f(x x)在其定义域内的全部驻点和不可导点；在其定义域内的全部驻点和不可导点；在其定义域内的全部驻点和不可导点；在其定义域内的全部驻点和不可导点；2 2用这些驻点及不可导点将定义域分为若干个子区间；用这些驻点及不可导点将定义域分为若干个子区间；用这些驻点及不可导点将定义域分为若干个子区间；用这些驻点及不可导点将定义域分为若干个

4、子区间；3 3列表，在每个子区间上用列表，在每个子区间上用列表，在每个子区间上用列表，在每个子区间上用ThTh1 1判断判断判断判断 f f(x x)的单调性的单调性的单调性的单调性.上页下页铃结束返回首页例例例例1 1：讨论：讨论：讨论：讨论 f f(x x)=2)=2x x3 3-9-9x x2 2+12+12x x-3-3的单调性的单调性的单调性的单调性.解：解：x（-,1）（1,2）（2,+）f(x)+f (x)上页下页铃结束返回首页例例例例2 2：讨论：讨论：讨论：讨论 的单调性的单调性的单调性的单调性.解：解：上页下页铃结束返回首页x（-,-1）（-1,0）（0 0,1）（1,+）

5、f(x)+f (x)综上述：综上述：上页下页铃结束返回首页练习练习利用定理利用定理1判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性上页下页铃结束返回首页（2 2）证明不等式，通常是两项不等式）证明不等式，通常是两项不等式）证明不等式，通常是两项不等式）证明不等式，通常是两项不等式例例例例3 3：证明证明证：证：上页下页铃结束返回首页（3 3）证明方程只有一个根）证明方程只有一个根）证明方程只有一个根）证明方程只有一个根例例例例4 4：证明方程：证明方程：证明方程：证明方程 sin sin x x=x x 只有一个根只有一个根只有一个根只有一个根.证：证：上页下页铃结束返回首页二、函数的极值二、函数的

6、极值1 1、定义：、定义：、定义：、定义：设函数设函数设函数设函数 f f(x x)在在在在x x0 0的某个邻域内有定义，如果的某个邻域内有定义，如果的某个邻域内有定义，如果的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点对于该邻域内的任意一点对于该邻域内的任意一点对于该邻域内的任意一点 x x ，只要，只要，只要，只要 x x x x0 0 ，就一定满足，就一定满足，就一定满足，就一定满足 f f(x x)f f(x x0 0)（或（或（或（或 f f(x x)f f(x x0 0)）,则称则称则称则称f f(x x0 0)为函数为函数为函数为函数f f(x x)的一个的一个的一个的一个极大

7、值（或极值），而点极大值（或极值），而点极大值（或极值），而点极大值（或极值），而点x x0 0称为函数称为函数称为函数称为函数f f(x x)的极大值（或极的极大值（或极的极大值（或极的极大值（或极小值）点。小值）点。小值）点。小值）点。注：注：注：注：函数的极值函数的极值函数的极值函数的极值是函数的一个局是函数的一个局是函数的一个局是函数的一个局部最大部最大部最大部最大 值或局部值或局部值或局部值或局部最小值，它通常最小值，它通常最小值，它通常最小值，它通常并不等于函数的并不等于函数的并不等于函数的并不等于函数的整体最大值或最整体最大值或最整体最大值或最整体最大值或最小值。小值。小值。小值

8、。yx0 x0ab上页下页铃结束返回首页2 2、极值的必要条件、极值的必要条件、极值的必要条件、极值的必要条件定理定理 2 设函数设函数 f(x)在在 I 内连续，内连续，点点 x0 不是不是 I 的断点，的断点，若函数在若函数在 x0 处取得极值，则处取得极值，则 x0 或是函数的不可导点，或是函数的不可导点，或是可导点；当或是可导点；当 x0 是是 f(x)的可导点，那么的可导点，那么 x0 必是函必是函数的驻点，即数的驻点，即 f (x0)=0.推论：推论：推论：推论：设函数设函数 f(x)在点在点 x0可导，则函数可导，则函数 f(x)在点在点 x0 取得极值的必要条件是取得极值的必要

9、条件是 f (x0)=0.注注注注1 1 1 1：极值点有可能是可导点，也有可能是极值点极值点有可能是可导点，也有可能是极值点极值点有可能是可导点，也有可能是极值点极值点有可能是可导点，也有可能是极值点.上页下页铃结束返回首页xyOabx2x4Ax0 x1x3x5 x6x7BC注注注注2 2 2 2：f f(x x)的驻点不一定是其极值点，而的驻点不一定是其极值点，而的驻点不一定是其极值点，而的驻点不一定是其极值点，而f f(x x)的极的极的极的极值值值值 点也不一定是其驻点点也不一定是其驻点点也不一定是其驻点点也不一定是其驻点.注注注注3 3 3 3：f f(x x)的不可导点不一定是其极

10、值点，如点的不可导点不一定是其极值点，如点的不可导点不一定是其极值点，如点的不可导点不一定是其极值点，如点C C.例如：点例如：点例如：点例如：点B B是驻点，但不是极值点；点是驻点，但不是极值点；点是驻点，但不是极值点；点是驻点，但不是极值点；点A A是极值点是极值点是极值点是极值点A A，但不是驻点，但不是驻点，但不是驻点，但不是驻点.上页下页铃结束返回首页3 3、极值的充分条件、极值的充分条件、极值的充分条件、极值的充分条件定理定理3（第一充分条件）（第一充分条件）设函数设函数 f(x)在点在点 x0的去心邻的去心邻域内可导，在点域内可导，在点 x0处连续，则有如下结果：处连续，则有如下

11、结果：（1）当）当 x x0 时，有时，有 f (x)0；当；当 x x0 时，时，有有 f (x)0；则函数在点；则函数在点 x0处取得极大值。处取得极大值。（2）当）当 x x0 时，有时，有 f (x)0；当；当 x x0 时，有时，有 f (x)0；则函数在点；则函数在点 x0处取得极小值。处取得极小值。（3）如果在）如果在 x0 的两侧，导数的两侧，导数 f (x)不变号，则不变号，则函函数在点数在点 x0处不能取得极值。处不能取得极值。上页下页铃结束返回首页证明证明（1 1）在在在在 x x0 0 某领域内任取一点某领域内任取一点某领域内任取一点某领域内任取一点x x，在以，在以，

12、在以，在以 x x 和和和和x x0 0 为端点的闭区间上，对函数为端点的闭区间上，对函数为端点的闭区间上，对函数为端点的闭区间上，对函数 f f(x x)应用拉格朗日中值定应用拉格朗日中值定应用拉格朗日中值定应用拉格朗日中值定理，得理，得理，得理，得 f f(x x)f f(x x0 0)=)=f f ()()(x xx x0 0)，(在在在在 x x 和和和和 x x0 0 之间之间之间之间)当当当当 x x x x0 0 时时时时 x x 0)0，所以所以所以所以 f f(x x)f f(x x0 0)=)=f f ()()(x xx x0 0)0)0，即即即即 f f(x x)x x0

13、 0 时时时时 x x0 0 x x，由已知条件知，由已知条件知，由已知条件知，由已知条件知 f f ()0)0，所以所以所以所以 f f(x x)f f(x x0 0)=)=f f ()()(x xx x0 0)0)0，即即即即 f f(x x)f f(x x0 0)；合之，对合之，对合之，对合之，对x x0 0附近的任意附近的任意附近的任意附近的任意x x，都成立，都成立，都成立，都成立 f f(x x)f f(x x0 0)由极值由极值由极值由极值定义，定义，定义，定义，x x0 0 是是是是 f f(x x)的极大值点的极大值点的极大值点的极大值点 类似地可证明类似地可证明类似地可证明

14、类似地可证明(2)(2)，(3)(3)上页下页铃结束返回首页定理定理定理定理4 4（第二充分条件）（第二充分条件）（第二充分条件）（第二充分条件）设函数设函数设函数设函数 f f(x x)在点在点在点在点 x x0 0 有二阶导有二阶导有二阶导有二阶导数，且数，且数，且数，且 f f (x x0 0)=0)=0，f f (x x0 0)0 0，则点，则点，则点，则点 x x0 0必定是函数必定是函数必定是函数必定是函数 f f(x x)的极值点，且的极值点，且的极值点，且的极值点，且 （1）若若 f (x0)0，则函数，则函数 f(x)在点在点 x0 处取得极处取得极大值；大值；（2）若若f

15、(x0)0，则函数，则函数 f(x)在点在点 x0 有极小值。有极小值。（3）如果如果f (x0)=0，无法判断，无法判断 注：注：注：注：比较两个判定方法，显然定理比较两个判定方法，显然定理比较两个判定方法，显然定理比较两个判定方法，显然定理3 3适用于驻点和适用于驻点和适用于驻点和适用于驻点和 不可导点，而定理不可导点，而定理不可导点，而定理不可导点，而定理4 4只能对驻点判定只能对驻点判定只能对驻点判定只能对驻点判定 上页下页铃结束返回首页4 4 4 4、求函数、求函数、求函数、求函数f f(x x)的极值的步骤：的极值的步骤：的极值的步骤：的极值的步骤：（1）确定函数确定函数f(x)的

16、考察范围，即定义域；的考察范围，即定义域；（2）求出函数求出函数f(x)的导数的导数 f (x)；（3）求出函数求出函数 f(x)的所有驻点及不可导点，即求的所有驻点及不可导点，即求出出f (x)=0的根和的根和 f (x)不存在的点；不存在的点；（4 4）列表，利用定理）列表，利用定理3或定理或定理4，判定上述驻点或不，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值 上页下页铃结束返回首页例例例例5 5：求函数求函数求函数求函数f f(x x)=()=(x x+2)+2)2 2(x x1)1)3 3的极值的极值的极值的极值 解：解：（1）

17、(-，+)；（2）f (x)=2(x+2)(x1)3+3(x+2)2(x1)2=(x+2)(x1)2(5x+4)；（3）令令f (x)=0，即，即(x+2)(x1)2(5x+4)=0f(x)没有不可导点；没有不可导点；（4）利用定理利用定理3，判定驻点是否为函数的极值，判定驻点是否为函数的极值点这步常用类似于确定函数增减区间那样的列表方点这步常用类似于确定函数增减区间那样的列表方法，只是加了从导数符号判定驻点是否为极值点的内法，只是加了从导数符号判定驻点是否为极值点的内容，其结果如下：容，其结果如下：上页下页铃结束返回首页x（-,-2）-2f(x)+00f (x)极大值极大值0 0 极小值极小

18、值-8.4-8.4x1（1,+）f(x)+0+f (x)非极非极值点值点 上页下页铃结束返回首页例例6：解：解：（1）(-，+)；（3）令令f (x)=0，得驻点，得驻点不可导点为不可导点为x3 3=1，x4 4=0，x5 5=1；上页下页铃结束返回首页 （4）利用定理利用定理3，判定驻点或不可导点是否为函数，判定驻点或不可导点是否为函数的极值点列表如下：的极值点列表如下：x-1f(x)+不存在不存在+0f (x)无无 极大极大01 1不存在不存在+0不存在不存在极小极小极大极大 无无上页下页铃结束返回首页所以，所以，f(x)的极大值为的极大值为 f(x)的极小值为的极小值为练习练习求下列函数

19、的极值求下列函数的极值.上页下页铃结束返回首页三、函数的最大值与最小值三、函数的最大值与最小值1 1、问题的提出：、问题的提出：、问题的提出：、问题的提出：在许多实际问题中，常常会遇到在一定条件下，在许多实际问题中，常常会遇到在一定条件下，如何使如何使“用料最省用料最省”、“效率最高效率最高”、“成本最低成本最低”、“路路程最短程最短”等问题这些问题经过抽象提炼后，用数学等问题这些问题经过抽象提炼后，用数学的方法进行描述，就都可归结为求一个函数的最大值的方法进行描述，就都可归结为求一个函数的最大值或最小值问题或最小值问题 上页下页铃结束返回首页2 2、概念：、概念：、概念：、概念：Def 3：

20、函数函数 y=f(x)，x I（I可以为有界、无界，可以可以为有界、无界，可以为为闭区间、非闭区间闭区间、非闭区间），x1，x2 I （）若对任意（）若对任意 x I，成立，成立 f(x)f(x1)，则称，则称 f(x1)为为 f(x)在在I上的最小值，称上的最小值，称 x1为为f(x)在在I上的最小值点；上的最小值点；（）若对任意（）若对任意 x I，成立，成立 f(x)f(x2)，称，称 f(x2)为为f(x)在在I上的最大值，称上的最大值，称 x2为为f(x)在在I上的最大值点上的最大值点 统称函数的最大、最小值为统称函数的最大、最小值为统称函数的最大、最小值为统称函数的最大、最小值为最

21、值最值最值最值，最大值点、最小值，最大值点、最小值，最大值点、最小值，最大值点、最小值点为点为点为点为最值点最值点最值点最值点 上页下页铃结束返回首页注注1：最值是一个整体概念，在某一范围内，最值最值是一个整体概念，在某一范围内，最值最值是一个整体概念，在某一范围内，最值最值是一个整体概念，在某一范围内，最值 若存在，只能是唯一的；若存在，只能是唯一的；若存在，只能是唯一的；若存在，只能是唯一的；注注2：最值可以是最值可以是最值可以是最值可以是 I I 内部的点，也可以是端点；内部的点，也可以是端点；内部的点，也可以是端点；内部的点，也可以是端点；注注3：如果最值点不是如果最值点不是如果最值点

22、不是如果最值点不是I I 的边界点，那么它必定是极的边界点，那么它必定是极的边界点，那么它必定是极的边界点，那么它必定是极 值点；值点；值点；值点；注注4：当函数存在唯一的极值点（当函数存在唯一的极值点（当函数存在唯一的极值点（当函数存在唯一的极值点（I I内部的点）时，内部的点）时，内部的点）时，内部的点）时，函数的极大（小）值就是函数的最大（小）函数的极大（小）值就是函数的最大（小）函数的极大（小）值就是函数的最大（小）函数的极大（小）值就是函数的最大（小）值值值值.上页下页铃结束返回首页3 3、函数最值的求解：、函数最值的求解：、函数最值的求解：、函数最值的求解：设函数设函数设函数设函数

23、 f f(x x)在在在在 I I=a a，b b 上上上上连续，连续，连续，连续，（若（若（若（若x x0 0 0 0是最值）是最值）是最值）是最值）上页下页铃结束返回首页 函数最值求解的步骤：函数最值求解的步骤：函数最值求解的步骤：函数最值求解的步骤：（1）求出函数求出函数 f(x)的导数的导数 f (x)；（2）求出函数求出函数 f(x)在在内的所有可能极值点：驻点及内的所有可能极值点：驻点及不可导点，即求出不可导点，即求出 f (x)=0的根和的根和 f (x)不存在的点；不存在的点；（3）计算函数计算函数f(x)在驻点、不可导点处及端点在驻点、不可导点处及端点a，b处的函数值；处的函

24、数值；（4）比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大值，最小者的即为函数的最小值值，最小者的即为函数的最小值 上页下页铃结束返回首页例例例例 7 7：求函数求函数求函数求函数 f f(x x)=)=x x3 3-3-3x x2 2-9-9x x+5+5在区间在区间在区间在区间-1 1，44上上上上的最大值和最小值的最大值和最小值的最大值和最小值的最大值和最小值 解：解：（3）计算函数计算函数 f(x)在驻点、区间端点处的函数值：在驻点、区间端点处的函数值：（4）函数函数f(x)在在1，4上的最大值为上的最大值为10，最大值点为，最大值点为 x=-=-

25、1；最小值为；最小值为-22，最小值点为，最小值点为x=3=3 上页下页铃结束返回首页若定义区间改为若定义区间改为若定义区间改为若定义区间改为-2-2，22，求其最值，求其最值，求其最值，求其最值.解：解：（3）计算函数计算函数 f(x)在驻点、区间端点处的函数值：在驻点、区间端点处的函数值：（4）函数函数f(x)在在-2-2，2上的最大值为上的最大值为10，最大值点为，最大值点为 x=-=-1；最小值为；最小值为-17，最小值点为，最小值点为x=2=2 上页下页铃结束返回首页4 4、函数最值的应用问题：、函数最值的应用问题：、函数最值的应用问题：、函数最值的应用问题：数学和实际问题中遇到的函

26、数，未必尽是闭区间上的数学和实际问题中遇到的函数，未必尽是闭区间上的数学和实际问题中遇到的函数，未必尽是闭区间上的数学和实际问题中遇到的函数，未必尽是闭区间上的连续函数一般可按下述原则处理：若实际问题归结出的连续函数一般可按下述原则处理：若实际问题归结出的连续函数一般可按下述原则处理：若实际问题归结出的连续函数一般可按下述原则处理：若实际问题归结出的函数函数函数函数f f(x x)在其考察范围在其考察范围在其考察范围在其考察范围I I上是可导的，且已事先可断定最大上是可导的，且已事先可断定最大上是可导的，且已事先可断定最大上是可导的，且已事先可断定最大值值值值（或最小值或最小值或最小值或最小值

27、）必定在必定在必定在必定在I I 的内部达到，而在的内部达到，而在的内部达到，而在的内部达到，而在I I 的内部又仅的内部又仅的内部又仅的内部又仅有有有有f f(x x)的唯一一个驻点的唯一一个驻点的唯一一个驻点的唯一一个驻点x x0 0，那么就可断定，那么就可断定，那么就可断定，那么就可断定f f(x x)的最大值的最大值的最大值的最大值(或或或或最小值最小值最小值最小值)就在点就在点就在点就在点x x0 0取得取得取得取得 上页下页铃结束返回首页例例例例 8 8：要做一个容积为要做一个容积为要做一个容积为要做一个容积为V V 的圆柱形煤气柜，问怎样的圆柱形煤气柜，问怎样的圆柱形煤气柜，问怎

28、样的圆柱形煤气柜，问怎样设计才能使所用材料最省？设计才能使所用材料最省？设计才能使所用材料最省？设计才能使所用材料最省？解解解解：设煤气柜的底半径为设煤气柜的底半径为r，高为，高为h，则煤气柜的侧面积为则煤气柜的侧面积为2 rh，底面积为，底面积为 r2，表面积为，表面积为s=2 r2+2 rh 因此它一定因此它一定是使是使s 达到最小值的点，此时对应的高为达到最小值的点，此时对应的高为h=2r 当煤气柜的高和底直径相等时，所用材料最省当煤气柜的高和底直径相等时，所用材料最省当煤气柜的高和底直径相等时，所用材料最省当煤气柜的高和底直径相等时，所用材料最省 上页下页铃结束返回首页例例例例 9 9

29、：一房地产公司有一房地产公司有一房地产公司有一房地产公司有5050套公寓房要出租，当租金套公寓房要出租，当租金套公寓房要出租，当租金套公寓房要出租，当租金定为定为定为定为180180元元元元/套套套套 月时，公寓可全部租出；当租金提高月时，公寓可全部租出；当租金提高月时，公寓可全部租出；当租金提高月时，公寓可全部租出；当租金提高1010元元元元/套套套套 月，租不出的公寓就增加一套；已租出的公月，租不出的公寓就增加一套；已租出的公月，租不出的公寓就增加一套；已租出的公月，租不出的公寓就增加一套；已租出的公寓整修维护费用为寓整修维护费用为寓整修维护费用为寓整修维护费用为2020元元元元/套套套套

30、 月问租金定价多少时可月问租金定价多少时可月问租金定价多少时可月问租金定价多少时可获得最大月收入？获得最大月收入？获得最大月收入？获得最大月收入？解：解：设租金为设租金为P(元元/套套 月月)，据设，据设P 180180此时未租出此时未租出公公寓为寓为 (P-180)(套套)，租出公寓为，租出公寓为 上页下页铃结束返回首页从而月收入从而月收入 令令R(P)=0)=0，得唯一解，得唯一解P=350=350 由本题实际意义，适当的租金价位必定能使月收入达由本题实际意义，适当的租金价位必定能使月收入达到最大，而函数到最大，而函数R（P）仅有唯一驻点，因此这个驻点必定）仅有唯一驻点，因此这个驻点必定是最大值点所以租金定为是最大值点所以租金定为350350元元/套套 月时，可获得最大月月时，可获得最大月收入收入