D88多元函数的极值及其求法.ppt

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1、 第八章第八章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值及最值的应用问题二、最值及最值的应用问题 三、条件极值三、条件极值 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 复习回顾复习回顾1 一元连续函数的极值一元连续函数的极值v 必要条件：v 第一充分条件：过由正正变负负 为极大值过由负负变正正 为极小值v 第二充分条件：为极大值为极小值v 定义:为极大值为极小值 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 最值点应在极值可疑点和边界点上找 常根据问题的实际意义判别 2 一元连

2、续函数的最值一元连续函数的最值v 闭区间上连续函数的最值v 实际问题中的最值对于多元函数，该如何计算其极值与最值对于多元函数，该如何计算其极值与最值?目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:则称函数在该点取得极大值例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定义,(极小值).的某邻域内有若对该邻域内异于 的任何点 ,都有设函数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 注注:例如,定理定理1(必要条件必要条件)函数偏导数,证明证明:取得极值,取得

3、极值 但驻点未必是极值点.且在该点取得极值,则有存在故(2)可导函数极值点必为驻点,同理(1)偏导数都为 0 的点称为驻点.(3)可疑的极值点：驻点、偏导数不存在的点又如,在点(0,0).在点(0,0)目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 时,定理定理2(充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:A0 时取极小值.(2)(3)(证明略)时,时,若函数且(4)定理1的条件下,平行于xoy面的切平面.取得极值不取得极值.不能确定,需另行讨论.(1)当当当曲面z=f(x,y)在极值点处有 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 求函数解解:得驻点:(1,0),

4、(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步解方程组的极值.求二阶偏导数第一步第一步 求可能的极值点求可能的极值点 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 极小值极大值无极值无极值驻点结论第三步第三步 判断判断 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2 讨论函数及是否取得极值.解解:在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此为极小值.正正负负0在点(0,0)并且在(0,0)都有 可能为而时，显然(0,0)都是它们的驻点,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、最值及最值应用问题二、最值及最值应用问题函数 f 在有界闭域上连续函数 f 在有界闭域

5、上必取得最值 最值可疑点 驻点驻点或偏导数不存在的点边界上的最值点特别特别,为极小值为最小值(大大)(大大)在 上的最值.如求函数 当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例3解解:则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内必必存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.设水箱长、宽分别为 x、ym,则高为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 三、条件极值三、条件极值极值问题无条

6、件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制如例3化为无条件极值问题化为无条件极值问题若设水箱长、宽、高分别为 x,y,z m,则即求A在条件下的极值.将代入目标函数就转化为无条件极值问题.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.例如例如设解方程组可得到条件极值的可疑点.求函数下的极值.在条件步骤:拉格朗拉格朗日函数日函数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例4 求表面积为a2则问题就是令解方程组解解:下求函数的最大值在条件长方体的体积.而体积最大的设长方体的长、宽

7、、高分别为x、y、z,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 得唯一驻点由问题本身可知最大值一定存在,相等时，长方体体积最大.因此,当长、宽、高即长方体的表面积为a2时，以棱长为 的正方体的体积最大，最大体积为练习 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题化为无条件极值问题如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 设拉格朗日函数如求二元函数下的

8、极值,解方程组第二步 判别v 比较驻点及边界点上函数值的大小v 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)3 函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1 已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:设 C 点坐标为(x,y),则 思考与练习思考与练习 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.分析分析:它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 则 小结设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示提示:目标函数目标函数:约束条件约束条件:答案答案:即四边形内接于圆时面积最大.3 求平面上以 小结 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学