D51定积分的概念与性质.ppt

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1、第五章定积分及其应用 第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义三、三、定积分的性质定积分的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的概念及性质 第五五章 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解决步骤解决步骤:1)分割分割.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)近似近似.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动 目录 上页 下页 返

2、回 结束 3)求和求和.4)取极限取极限.令则曲边梯形面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)分割分割.将它分成在每个小段上物体经2)近似近似.得已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为3)求和求和.4)取极限取极限.上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变

3、变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和说明：说明：1.2.有界有界是可积的必要条件是可积的必要条件,无界函数一定不可积；无界函数一定不可积；定积分的几何意义定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积A曲边梯形面积曲边梯形面积A的相反数的相反数yoyo定积分的几何意义定积分的几何意义各部分面积的代数和各部分面积的代数和机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.定理定理2.且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:例例1.利用定义计算定积分解解:将 0,1 n 等分,分点为取机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注注 目录 上页 下页 返回 结束 三、定积分的性

4、质三、定积分的性质证证:=右端机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定：(k 为常数)证证:=右端机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分对积分区间具有可加性当 的相对位置任意时,例如则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:=右端机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.若 在 上则证证:推论推论1.若在 a,b 上则机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：注：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解解:推论推论2.证证:即6.设则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.试证:证证:设则在上,有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使证证:则由性质性质7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分中值定理对因作业作业 P266 1(1)；2(1),(3)；3；4(1),(3);5(2),(4).第二节 目录 上页 下页 返回 结束