D66二阶常系数非齐次线性微分方程.ppt

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1、二阶常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六节第六节一、一、二、二、二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、为实数,设特解为其中 为待定多项式,代入原方程,得(1)若 不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为 m 次多项式.Q(x)为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为(3)若 是特征方程的重根,是 m

2、 次多项式,故特解形式为小结小结 对方程,即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.的一个特解.解解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2.的通解.解解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.3.求解初值问题求解初值问题求解初值问题求解初值问题解解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通

3、解为原方程通解为由初始条件得机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为解得机动 目录 上页 下页 返回 结束 对非齐次方程则可设特解:为特征方程的 k 重根(k =0,1),机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、例例4.4.的一个特解.解解:本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.5.的通解.解解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例6 6.求物体的运动规律.解解:问题归结为

4、求解无阻尼强迫振动方程 当p k 时,齐次通解:非齐次特解形式:因此原方程之解为第五节例1 中若设物体只受弹性恢复力 f和铅直干扰力代入可得:机动 目录 上页 下页 返回 结束 当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动强迫振动 当 p=k 时,非齐次特解形式:代入可得:方程的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若要利用共振现象,应使 p 与 k 尽量靠近,或使 随着 t 的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使 p 远离固有频率 k;p=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业P365 1(3),(4),(7),(8);2(2),(4).习题课2 目录 上页 下页 返回 结束