D82可分离变量方程和齐次方程.ppt

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1、可分离变量方程和齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 齐次方程齐次方程 可分离变量方程可分离变量方程 第八章 或形如形如8.2.1 可分离变量方程可分离变量方程两边积分,得 则有称为方程的隐式通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 形如若则若存在 使得 ，可直接验证 也是的 解，这个解有可能不包含在通解中。解法：为可分离变量方程。其中分别为x,y的连续函数.例例1.求微分方程的通解.解解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.在分离变量时丢失了解 y=0，但其含在通解中，因为机动 目录 上页 下页 返回 结束 允许

2、C=0.令例例2.求解方程解解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 另外 y=0,x=0 也是方程的解，它不包含在通解中。8.2.2 齐次方程齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程.作变量变换代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(C 为任意常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在(C 为任

3、意常数)求解过程中丢失了.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分;根据定解条件定常数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.齐次方程的求解方法：通过变量变换将齐次方程转化为可分离变量方程，按可分离变量方程的方法解完后，再将变换代回即可。作业P 353 1(1),(3),(5);2(1),(3);3(2),(4).第三节 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求下列方程的通解:提示提示:(1)分离变量(2)方程变形为机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题解法解法 1 分离变量即(C 0 )解法解法 2故有积分(C 为任意常数)所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束