D94多元函数复合函数求导法则.ppt

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1、第4节一元复合函数一元复合函数求求导法法则本本节内容内容:一、多元复合函数求一、多元复合函数求导的的链式法式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法微分法则多元复合函数的求导法则 第九章 高等数学高等数学2 2目录 上页 下页 返回 结束 一、多元复合函数求一、多元复合函数求导的的链式法式法则定理定理.若函数处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数证:设 t 取增量t,则相应中间变量且有链式法则有增量u,v,高等数学高等数学3 3目录 上页 下页 返回 结束(全全导数公式数公式)(t0 时,根式前加“”号)高等数学高等数学4 4目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明明:例

2、如例如:易知:但复合函数偏偏导数数连续减弱为偏偏导数存在数存在,则定理结论不一定成立.高等数学高等数学5 5目录 上页 下页 返回 结束 推广推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,高等数学高等数学6 6目录 上页 下页 返回 结束 又如,当它们都具有可微条件时,有注意注意:这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导与不同,口口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导高等数学高等数学7 7目录 上页 下页 返回 结束 例例1.设解解:高等数学高等数学8 8目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设解解:令则提示：也可

3、看成幂指函数高等数学高等数学9 9目录 上页 下页 返回 结束 例例3.解解:口口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导高等数学高等数学1010目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设 求全导数解解:注意：多元抽象复合函数求导是一类重要的典型求导问题下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.高等数学高等数学1111目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设可导，求解：解：题目改为，则令高等数学高等数学1212目录 上页 下页 返回 结束 为简便起见,引入记号例例6.设 f 具有二阶连续偏导数,求解解:令则高等数学高等数学1313目录 上页 下页 返回 结束 二、多元复合函数的

4、全微分二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为这说明无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不全微分形式不变性性.高等数学高等数学1414目录 上页 下页 返回 结束 例例1.例例 8.利用全微分形式不全微分形式不变性性再解例1.解解:所以高等数学高等数学1515目录 上页 下页 返回 结束 解解 例例9.已知高等数学高等数学1616目录 上页 下页 返回 结束 例例10.计算函数的全微分.解解:注意注意:x,y,具有 轮换对称性称性 高等数学高等数学1717目录 上页 下页 返回 结束 内容小内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,高等数学高等数学1818目录 上页 下页 返回 结束 思考与思考与练习1.高等数学高等数学1919目录 上页 下页 返回 结束 2.已知求解解:由两边对 x 求导,得高等数学高等数学2020目录 上页 下页 返回 结束 3.求在点处可微,且设函数解解:由题设(考研考研)高等数学高等数学2121目录 上页 下页 返回 结束 4:已知解解: