复变函数课件3-1复变函数积分的概念.ppt

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1、第一节第一节 复变函数积分的概念复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考1一、积分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向(或正向或正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线,称为称为有向曲线有向曲线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,2简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:如无特

2、殊申明均是指逆时针方向方向如无特殊申明均是指逆时针方向方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明:在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点,另一个作为终点另一个作为终点,除特殊声明外除特殊声明外,正正方向总是指从起点到终点的方向方向总是指从起点到终点的方向.32.积分的定义积分的定义:4(5关于定义的说明关于定义的说明:6二、积分存在的条件及其计算法二、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件存在的条件证证正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向,7 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分（与二元实变函数的线积分类比与二元实变函数的线积分类比

3、）3.1 复积分的概念线积分线积分复积分复积分一个复积分的实质是两个一个复积分的实质是两个二元实变函数的线积分二元实变函数的线积分dz89根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,10当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,11在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式122.积分的计算法积分的计算法13在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的,曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.14例例1 解解直线方程为直线方程为15这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关16例例2 解解(1)积分路径的参数方程

4、为积分路径的参数方程为y=x17y=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为18例例4 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为19重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.20三、积分的性质三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估估值值不不等等式式21性质性质(4)的证明的证明两端取极限得两端取极限得证毕证毕22例例5解解根据估值不等式知根据估值不等式知2324四、小结与思考四、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重本课中重点掌握复积分的一般方法点掌握复积分的一般方法.25思考题思考题26思考题答案思考题答案即为一元实函数的定积分即为一元实函数的定积分.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.27