ewch3-2函数单调性与曲线的凹凸性.ppt

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1、 3 31 1 微分中值定理微分中值定理 3 32 2 函数单调性与曲线的凹凸性函数单调性与曲线的凹凸性3 33 3 函数的极值与最值函数的极值与最值 3 34 4 函数图形的描绘函数图形的描绘3 35 5 洛必达法则洛必达法则3 36 6 泰勒（泰勒（Taylor)Taylor)公式公式 3.2 函数单调性与函数单调性与曲线的凹凸性曲线的凹凸性一、函数的单调性一、函数的单调性二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性一、函数的单调性一、函数的单调性定理定理1（函数单调性判别法）函数单调性判别法）1.函数单调性的判别法函数单调性的判别法证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得例例1 1解解注意注意:函数的单调

2、性是一个区间上的性质，要用导数函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性数符号来判别一个区间上的单调性几何上看：单调区间的几何上看：单调区间的分界点是使分界点是使f (x)=0的点的点.例例2 讨论函数讨论函数 y=x-sinx 的单调性的单调性.解解y=1-cosx 0，y=x-sinx在在(-，+)上单调增加上单调增加2.2.单调区间的求法单调区间的求法问题问题:如例如例1，函数在定义区间上不是单调的，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定

3、义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点例例3 3解解单调区间为单调区间为注注:区间内个别点导数为零或不存在区间内个别点导数为零或不存在,不影响该区间内的单调性不影响该区间内的单调性.讨论函数的单调性可以按以下步骤进行：讨论函数的单调性可以按以下步骤进行：1）确定函数）确定函数 f(x)的定义域；的定义域；2）求）求 f (x)，找出，找出 f (x)=0和和 f (x)不存在的点，不存在的点，以这些点

4、为分界点，把定义域分成若干区间；以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；3）在各个区间上判别）在各个区间上判别 f (x)的符号，以此确定的符号，以此确定 f(x)的单调性的单调性.例例4 4解解单调区间为单调区间为例例5 53.3.利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式证证。例例6 证明当证明当x0时，时，证证令令 F(x)在在(0,+)内单调上升，又内单调上升，又F(0)=0，F(x)在在x=0处连续，处连续，例例7 证明方程证明方程 有且仅有一个实根有且仅有一个实根.证明：证明：又又 由介值定理：由介值定理：f(x)在（在（-，+）上有且仅有上有且仅有一个实根。一个实根。f(x)在（在

5、（-，+）上单调上升。上单调上升。二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方拐点拐点图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方1.1.曲线凹凸与拐点的定义曲线凹凸与拐点的定义定义定义11.1.曲线凹凸与拐点的定义曲线凹凸与拐点的定义定义定义1拐点拐点2.2.曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定定理定理2 2（曲线凹凸性判别法）（曲线凹凸性判别法）例例8 8解解注意到注意到,EX1EX1解解注意注意()区间内个别点二阶导数为零或不存在区间内个别点二阶导数为零或不存在,不影响该曲线的

6、凹凸性不影响该曲线的凹凸性.(2)(2)由拐点的定义及定理由拐点的定义及定理,可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下:例例解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点1)1)求求2)2)求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标3)3)列表判别列表判别例例10 求求 的凹凸区间及其拐点。的凹凸区间及其拐点。解：解：令令得得当当x=0时，时，不存在。不存在。用用 x=0和和 x=-1/2将定义域分开：将定义域分开：和（和（0，0）为曲线的拐点。）为曲线的拐点。注：注：f (x)=0和和 f (x)不存在的点均是拐点可疑点。不存在的点均是拐点可疑点。小结小结1.1.可导函数单调性判别可导函数单调性判别在在 I I 上单调递增上单调递增在在 I I 上单调递减上单调递减2.2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别+拐点拐点 连续曲线上的凹凸分界点连续曲线上的凹凸分界点Z 思考思考2.证明时,成立不等式证证:证明:当时，有证明证明:3.