《G21导数的概念》PPT课件.ppt

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1、第二章微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton1一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节导数的概念导数的概念 第二章 21.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动一、一、引例引例3设有一非均

2、匀的细杆，与质量之间的关系是 。求细杆处杆的密度。解：解：设杆长在处获一增量，那么这一小段长为，杆的质量应是其均匀密度是 则当时，其极限值就是杆在处的密度即2、非均匀细杆的密度、非均匀细杆的密度 上任意一点杆长杆的一端在数轴的原点0，43.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率5三个问题的共性共性:切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题线密度瞬时速度16二、导数

3、的定义二、导数的定义定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.17曲线在 M 点处的切线斜率说明说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和非均匀杆的密度运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度边际税率等从数学角度看就是导数.18若上述极限不存在,在点 不可导.若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.（简称导数）192、导数为常数，导函数为函数。4、求导数即为求导函数在某一点处的函数值。注意注意:特别函数在 x0 处的导数可写成3则20主讲教

4、师主讲教师:王升瑞王升瑞高等数学 第十讲21求导三步法：设1、求函数的增量2、算比值3、求极限三、求导举例三、求导举例22解法一：解法一：例例1 求解法二：解法二：23例例2.求函数(C 为常数)的导数.解解:即例例3.求函数解解:24说明：说明：对一般幂函数(为常数)例如，例如，（以后将证明）25例例4.求函数的导数.解解:则即类似可证得26的导数.解解:例例6 求函数的导数.解解:例例5 求函数27例例7.求函数的导数.解解:即28原式是否可按下述方法作:存在,求极限解解:原式例例9.设不能确定是否存在。29四、四、导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降

5、;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:30解解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为例例101031例例11.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线32例例8.证明函数在 x=0 不可导.证证:不存在,33五、五、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连

6、续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.即34解：解：而不存在例例12 讨论35在点的某个左左 邻域内六、六、单侧导数单侧导数若极限则称此极限值为在 处的左左 导数导数,记作即(右)(右右)例如例如,在 x=0 处有定义定义2.设函数有定义,存在,36定理定理2.函数在点且存在简写为在点处左左 导数存在定理定理3.函数(右右)在点必 左左 连续.(右右)若函数与都存在,则称显然:在闭区间 a,b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且37例例13.设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.38求解解：中当所以

7、，尽管在 x=0 的左右两侧 f(x)的表达式一样，仍需要用充要条件去判别。不存在例例14 已知39例例1515 解解:因为 设存在,且求所以40在 处连续,且存在，证明:在处可导.证证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.例例16.设故41内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:2.增量比的极限;切线的斜率;42不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.6.判断可导性43思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系?？与导函数442.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解解:由题设由夹逼准则故在可导,且45作业作业 P86 2,6,7做在书上8做在书上，9（7），14,16(2),17，18，20 46证证:P73 题题5.证明:若 令则给定当时,有又根据有界性定理,使取则在内连续,存在,则必在内有界.47