lei1多元复合函数的求导法则.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第四节第四节 多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法 第七章第七章(Derivation Rule of Multivariate Composite Functions)一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则二、全微分的形式不变性二、全微分的形式不变性三、小结与思考练习三、小结与思考练习10/28/20221返回返回上页上页下页下页目录目录复习引入复习引入一元复合函数一元复合函数求导法则求导法则微分法则微分法则多元复合函数的多元复合函数的求导法则求导法则和和微分法则微分法则推广推广10/28/20222返回返回上页上页下页下页目录目录一、一、多

2、元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则定理定理 若函数若函数处偏导连续处偏导连续,在点在点 t 可导可导,则复合函数则复合函数证证:设设 t 取增量取增量t,则相应中间变量则相应中间变量且有链式法则且有链式法则有增量有增量u,v,10/28/20223返回返回上页上页下页下页目录目录(全导数公式全导数公式)(t0 时时,根式前加根式前加“”号号)10/28/20224返回返回上页上页下页下页目录目录1)中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形.例如例如,设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.例如例如,推广推广:10/28

3、/20225返回返回上页上页下页下页目录目录当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时,有有注意注意:这里这里表示固定表示固定 y 对对 x 求导求导,表示固定表示固定 v 对对 x 求导求导口诀口诀:分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏叉路偏导导与与不同不同,又如又如,10/28/20226返回返回上页上页下页下页目录目录解解:例例1 设设（课本（课本 例例2）10/28/20227返回返回上页上页下页下页目录目录解解:例例2（课本（课本 例例3）10/28/20228返回返回上页上页下页下页目录目录求全导数求全导数解解:注意：注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程

4、变形与多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号.例例3 设设（补充题）（补充题）10/28/20229返回返回上页上页下页下页目录目录解解:10/28/202210返回返回上页上页下页下页目录目录为简便起见为简便起见,引入记号引入记号f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求解解:令令则则例例5 设设（自学课本（自学课本 例例5）10/28/202211返回返回上页上页下页下页目录目录二、全微分的形式不变性二、全微分的形式不变性设函数设

5、函数的全微分为的全微分为可见无论可见无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,则复合函数则复合函数都可微都可微,其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样,这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.10/28/202212返回返回上页上页下页下页目录目录 利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全微分的四则运算公式：微分的四则运算公式：例如，例如，以上其余两个公式的证明类似以上其余两个公式的证明类似.利用全微分的形式不变性及全微分的四则运算，可使利用全微分的形式不变性及全微分的四则运算，可使全微分的运算更简便全微分的运

6、算更简便.10/28/202213返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：根据全微分的计算公式，求出根据全微分的计算公式，求出du 时也就得到了时也就得到了u的的3个个偏导数，即偏导数，即10/28/202214返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：我们先求函数的全微分我们先求函数的全微分.由全微分形式不变性，得由全微分形式不变性，得 故故10/28/202215返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性全微分形式不变性不论不论 u,v 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,10/28/202216返回返回上页上页下页下页目录目录作业作业习习 题题 7-4 P88-89 4;8;9(2);14(1)10/28/202217返回返回上页上页下页下页目录目录思考与练习思考与练习1、习题、习题74 710/28/202218返回返回上页上页下页下页目录目录2、习题习题74 9(2)10/28/202219