MPA联考数学-导数与微分.ppt

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1、引例引例导数的定义导数的定义导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系可导与连续的关系求导举例求导举例小结小结 思考题思考题 作业作业第一节第一节 导数的概念导数的概念(derivative)第二章第二章 导数与微分导数与微分1例例1 1直线运动的瞬时速度问题直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动一质点作直线运动,已知路程已知路程 s 与时间与时间 t 的的试确定试确定t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).这段时间内的这段时间内的平均速度平均速度在每个时刻的速度在每个时刻的速度.导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念解解若运动是若运动是匀速的匀速的,平均速度就等于质点

2、平均速度就等于质点一、一、引例引例关系关系质点走过的路程质点走过的路程2此式既是它的定义式此式既是它的定义式,又指明了它的计又指明了它的计算算它越近似的它越近似的定义为定义为并称之为并称之为t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).瞬时速度是路程对时间的变化率瞬时速度是路程对时间的变化率.导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念若运动是若运动是非匀速非匀速的的,平均速度平均速度是这段是这段时间内运动快慢的平均值时间内运动快慢的平均值,越小越小,表明表明 t0 时运动的快慢时运动的快慢.因此因此,人们把人们把 t0时的速度时的速度注注注注方法方法,3例例2 2割线的极限位置割线的极限位置对于一般曲

3、线如何定义其切线呢对于一般曲线如何定义其切线呢?导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题若已知平面曲线若已知平面曲线如何作过如何作过的切线呢的切线呢.初等数学中并没有给出曲线切线的定义初等数学中并没有给出曲线切线的定义.过该点的切线过该点的切线.我们知道与圆周有唯一交点的直线我们知道与圆周有唯一交点的直线即为圆周即为圆周但此定义不适应其它曲线但此定义不适应其它曲线.如如与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线.切线位置切线位置.曲线上点曲线上点法国法国数学家费马在数学家费马在1629年提出了如下的定义和求年提出了如下的定义和求

4、法法,P.de Fermat 1601-1665 从而圆满地解决了这个问题从而圆满地解决了这个问题.4处切线的斜率处切线的斜率.导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念已知曲线的方程已知曲线的方程确定点确定点 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,极限位置即极限位置即C在点在点M处的处的切线切线.如图如图,5导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念割线割线MN的斜率为的斜率为切线切线MT的斜率为的斜率为6 就其实际意义来说各不相同就其实际意义来说各不相同,关系上确有如下的共性关系上确有如下的共性:但在数量但在数量1.在问题提法上在问题提法上,都是已知一个函数都

5、是已知一个函数求求y关于关于x在在x0处的变化率处的变化率.2.计算方法上计算方法上,(1)当当y随随 x均匀变化时均匀变化时,用除法用除法.(2)当变化是非均匀的时当变化是非均匀的时,需作平均变化率的需作平均变化率的 在现实生活中在现实生活中,凡涉及变化率的问凡涉及变化率的问题题,其精确描述和计算都离不开此式所其精确描述和计算都离不开此式所规定的这一运算规定的这一运算.导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念上述两例上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题分别属于运动学、几何学中的问题,极限运算极限运算:7定义定义导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念函数函数与自与自平均变化率平均变化率.

6、二、导数的定义二、导数的定义8中的任何一个表示中的任何一个表示,导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念存在存在,如如平均变化率的极限平均变化率的极限:或或函数在一点函数在一点 处的变化率处的变化率(derivative)或有导数或有导数.可用下列记号可用下列记号则称此极限值为则称此极限值为9处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.特别当特别当(1)式的极限为式的极限为有时也说在有时也说在x0处导数是正处导数是正(负负)无无注注要注意要注意导数定义可以写成多种形式导数定义可以写成多种形式:导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念当极限当极限(1)式不存在时式不存在时,就说函数就说函数 f(x

7、)在在x0在利用导数的定义证题或计算时在利用导数的定义证题或计算时,正正(负负)无穷时无穷时,穷大穷大,但这时但这时导数不存在导数不存在.10关于导数的说明关于导数的说明或或如果如果 x0=0,可以写成可以写成导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念特别特别是是,(1)点导数是因变量在点点导数是因变量在点x0处的变化率处的变化率,它反映了它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.(2)如果函数如果函数y=f(x)在开区间在开区间 I 内的每点处都内的每点处都可可导导,就称函数就称函数 f(x)在开区间在开区间 I 内可导内可导.11注注导导导导数数数数的

8、的的的概概概概念念念念记作记作即即或或(3)对于任一对于任一都对应着都对应着 f(x)的一个确定的的一个确定的导数值导数值.这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数f(x)的的导函数导函数.12导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念例例 用导数表示下列极限用导数表示下列极限解解解解13右导数右导数4.单侧导数单侧导数 左导数左导数导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念又分别可以解释为曲线又分别可以解释为曲线 点的左切线的斜率与右切线的斜率点的左切线的斜率与右切线的斜率.从几何上从几何上(left derivative)(right derivative)14导导导导数数数数的的的的概概概概

9、念念念念处的可导性处的可导性.此性质常用于判定此性质常用于判定分段函数分段函数在在分段点分段点如果如果在开区间在开区间内可导内可导,都存在都存在,15例例解解三、求导举例三、求导举例(几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数)导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念 步步 骤骤 即即 导数的定义不仅给出了导数的概念导数的定义不仅给出了导数的概念,也提供了计算方法也提供了计算方法.因而它也属于双重意因而它也属于双重意义的定义义的定义.16例例解解导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念即即同理可得同理可得自己练习自己练习17例例解解更一般地更一般地如如导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念

10、即即18例例解解导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念即即19例例解解导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念即即20例例解解导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念即即211.几何意义几何意义特别地特别地:导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念即即四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义22导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念23例例解解得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念由由导数的几何意义导数的几何意义,即即即即242.物理意义物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.路程

11、对时间的导数为物体的瞬时速度路程对时间的导数为物体的瞬时速度;电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度;为物体的线为物体的线(面面,体体)密度密度.导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念变速直线运动变速直线运动交流电路交流电路非均匀的物体非均匀的物体 质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数的导数25该点必连续该点必连续.证证导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念定理定理如果函数如果函数则函数在则函数在五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系在点在点x处可导处可导,即即函数极限与无穷小的关系函数极限与无穷小的关系所以所以,26如如,该定理的逆定理不一定成立该定理的逆定理

12、不一定成立.注注导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念连续是可导的必要条件连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件不是可导的充分条件.27例例解解导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念28为了使为了使 f(x)在在x0处可导处可导,导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念解解 首先函数必须在首先函数必须在x0处连续处连续.由于由于故应有故应有又因又因应如何选取应如何选取a,b?29导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念从而从而,当当 f(x)在在x0处可导处可导.应如何选取应如何选取a,b?为了使为了使 f(x)在在x0处可导处可导,30导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;导

13、数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念六、小结六、小结31思考题思考题(是非题是非题)导导导导数数数数的的的的概概概概念念念念非非可导可导;但但不可导不可导.非非但但不可导不可导.32函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则小结小结 思考题思考题 作业作

14、业第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则第二章第二章 导数与微分导数与微分反函数的求导法则反函数的求导法则基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式复合函数的求导法则复合函数的求导法则33定理定理1并且并且则则它们的线性组合、积、商它们的线性组合、积、商 在点在点 x处也可导处也可导,函数的求导法则函数的求导法则一、函数的线性组合、积、商的求导法则一、函数的线性组合、积、商的求导法则34证证则由则由导数的定义导数的定义有有函数的求导法则函数的求导法则35证证由乘积的导数由乘积的导数:得得故故特别特别即即函数的求导法则函数的求导法则36推论推论且且函数的求导法则函数的求导法则37例例解解例

15、例解解函数的求导法则函数的求导法则38例例解解同理可得同理可得即即函数的求导法则函数的求导法则39例例解解同理可得同理可得即即函数的求导法则函数的求导法则40解解 法一法一法二法二注注在进行求导运算中在进行求导运算中,且也能提高结果的准且也能提高结果的准这样使求导过程简单这样使求导过程简单,尽量先化简再求导尽量先化简再求导,确性确性.函数的求导法则函数的求导法则41函数的求导法则函数的求导法则用求导法则与用定义求导数时用求导法则与用定义求导数时,结果有时不一致结果有时不一致,这是为什么这是为什么?如已知如已知无意义无意义,解解所以所以,不存在不存在.上述解法有问题吗上述解法有问题吗?注意问题出

16、在注意问题出在不连续不连续.因此因此可能在不连续点处不代表该点处的导数值可能在不连续点处不代表该点处的导数值.用定义用定义!42或或 第一章第九节定理第一章第九节定理2:单调的连续函数必有单调的连续函数必有单调的连续反函数单调的连续反函数.定理定理2且且函数的求导法则函数的求导法则二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则证证连续连续,故故从而从而有有因因 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.43例例解解同理可得同理可得函数的求导法则函数的求导法则单调、可导单调、可导,直接函数直接函数 反函数反函数 44注注如果利用三角学中的公式如果利用三角学中的公式:也可得公

17、式也可得公式也可得公式也可得公式函数的求导法则函数的求导法则45例例解解特别地特别地函数的求导法则函数的求导法则46定理定理3 链导法则链导法则三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则函数的求导法则函数的求导法则可导可导,且其导数为且其导数为或或因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.47证证函数的求导法则函数的求导法则规定规定可导可导,且其导数为且其导数为可导可导,定理定理348推广推广例例解解函数的求导法则函数的求导法则49例例解解例例解解函数的求导法则函数的求导法则50例例解解例例解解函

18、数的求导法则函数的求导法则51因为因为所以所以函数的求导法则函数的求导法则的情形证明幂函数的导数公式的情形证明幂函数的导数公式521.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式函数的求导法则函数的求导法则532.函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则函数的求导法则函数的求导法则都可导都可导,则则3.反函数的求导法则反函数的求导法则或或且且544.复合函数的求导法则复合函数的求导法则初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.注注函数的求导法则函数的求导法则 利用上述公式及法则初等函数求导问题利

19、用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决可完全解决.55例例解解函数的求导法则函数的求导法则56例例解解函数的求导法则函数的求导法则57例例解解所以所以函数的求导法则函数的求导法则58例例解解函数的求导法则函数的求导法则59例例证证函数的求导法则函数的求导法则由于斜率相等由于斜率相等,知二切线平行知二切线平行.(1)求交点求交点分别为曲线在分别为曲线在A,B点点的切线斜率的切线斜率.(2)求导数求导数作的曲线的切线彼此平行作的曲线的切线彼此平行.60解解函数的求导法则函数的求导法则61解解注注则则函数的求导法则函数的求导法则上式中上式中是函数是函数 f 对括号中的中间对括号中的中间变量求导变

20、量求导,?62解解函数的求导法则函数的求导法则 分析分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数这是抽象函数与具体函数相结合的导数,综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及 复合函数求导法则复合函数求导法则.63答案答案函数的求导法则函数的求导法则解解64(注意成立条件注意成立条件);复合函数的求导法则复合函数的求导法则函数的求导法则函数的求导法则五、小结五、小结不能遗漏不能遗漏);(对于对于复合函数复合函数,反函数的求导法则反函数的求导法则层的复合结构层的复合结构,注意一层注意一层函数的积、商求导法则函数的积、商求导法则注意注意记住基本初等函数的导数公式记

21、住基本初等函数的导数公式65思考题思考题(是非题是非题)非非例如例如处处可导处处可导,处不可导处不可导,但复合函数但复合函数处处可导处处可导.函数的求导法则函数的求导法则66高阶导数的定义高阶导数的定义莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公式小结小结 思考题思考题 作业作业第三节第三节 高阶导数高阶导数第二章第二章 导数与微分导数与微分几个基本初等函数的几个基本初等函数的n阶导数阶导数 67问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义高阶导数也是由实高阶导数也是由实际需要而引入的际需要而引入的.这就是二阶导数的物理意义这就是二阶导数的物理意义一、高阶导数的定义一、高阶导数的定

22、义高阶导数高阶导数存在存在,二阶导数二阶导数.记作记作68三阶导数的导数称为三阶导数的导数称为二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为高阶导数高阶导数.高阶导数高阶导数三阶导数三阶导数,四阶导数四阶导数,n阶导数阶导数,记作记作一般地一般地,69例例解解 由高阶导数的定义由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数欲求函数的高阶导数,只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去,而不需要新的方法而不需要新的方法.高阶导数高阶导数70例例解解高阶导数高阶导数二、几个基本初等函数的二、几个基本初等函数的n阶导数阶导数 则则71

23、高阶导数高阶导数例例解解例例解解72例例解解同理可得同理可得即即高阶导数高阶导数73求求n阶导数时阶导数时,关键要寻找规律关键要寻找规律,注注另外在另外在的规律性的规律性,写出写出n 阶导数阶导数.高阶导数高阶导数便可看出规律便可看出规律;一般求至三阶一般求至三阶,求导过程中不要急于合并求导过程中不要急于合并,分析结果分析结果74例例解解高阶导数高阶导数75 求求n阶导数需要运用技巧阶导数需要运用技巧几个常用高阶导数公式几个常用高阶导数公式函数的函数的n阶导数公式阶导数公式,使问题简化使问题简化.尽可能化为求某些熟知尽可能化为求某些熟知高阶导数高阶导数(通过四则运算通过四则运算,变量代换变量代

24、换,恒等变形恒等变形)76例例解解若直接求导若直接求导,将是很复杂的将是很复杂的,且不易找出规律且不易找出规律,所以将式子恒等变形所以将式子恒等变形.高阶导数高阶导数77高阶导数高阶导数例例解解 分析分析此函数是此函数是6次多项式次多项式,故不需将函数因式全乘出来故不需将函数因式全乘出来.因为因为其中其中为为x的的6次多项式次多项式,故故又是求又是求6阶导数阶导数,78莱布尼兹公式莱布尼兹公式用此公式可以简便地求用此公式可以简便地求出出乘积乘积的高阶导数的高阶导数可类比着牛顿二项公式可类比着牛顿二项公式加强记忆加强记忆高阶导数高阶导数则则莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz,16461727)德国数学家德国数学家.二、二、莱布尼兹公式莱布尼兹公式79例例解解高阶导数高阶导数则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设80提示提示经上面这样变形后再求经上面这样变形后再求n阶导数阶导数,就方便多了就方便多了.高阶导数高阶导数81高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义;莱布尼兹公式莱布尼兹公式.高阶导数高阶导数三、小结三、小结几个常用的基本初等函数的几个常用的基本初等函数的n阶导数公式阶导数公式(希熟记希熟记);82解答解答可导可导不一定存在不一定存在,用定义用定义高阶导数高阶导数思考题思考题83