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1、目录上页下页返回结束对于函数于函数当考察它的当考察它的变化化总趋势时,因自因自变量的量的连续变化化过程有程有许多情况多情况,如如:如如图:o oxy变化化过程:特殊程:特殊-一般一般目录上页下页返回结束 第二章第二章 二、自二、自变量量趋于有限于有限值时函数的极限函数的极限第二节自变量变化过程的六种形式:一、自一、自变量量趋于无于无穷大大时函数的极限函数的极限本本节内容内容:函数的极限 目录上页下页返回结束一、自一、自变量量趋向无向无穷大大时函数的极限函数的极限目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返
2、回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束通通过上面演示上面演示实验的的观察察:问题:如何用数学如何用数学语言刻划函数言刻划函数“无限接近无限接近”.”.目录上页下页返回结束定定义1.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,2、几何解、几何解释:记作直线 y=A 为曲线的水平渐近线.A 为函数1 1、定、定义目录上页下页返回结束例例1.证明证:取因此注注:就有故欲使只要目录上页下页返回结束直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.3、两种特殊情况、两种特殊情况(单侧极限极限)当时,有当时,有几何意几何意义:目录上页下页返回结束例如,都有水平渐近线目录上页下页
3、返回结束目录上页下页返回结束(显然成立)(显然成立)目录上页下页返回结束请记住住这些些结论!目录上页下页返回结束二、自二、自变量量趋于有限于有限值时函数的极限函数的极限先先观察一个察一个简单的例子。考察函数:的例子。考察函数:y=x2 当当x无限接近于无限接近于1 1时的的变化化趋势。从。从图形中,我形中,我们看到当看到当x趋向于向于1 1时,y就就趋向于向于1 1,且,且x越接近越接近1 1,y就越接近就越接近1 1,记作作x11时,y=x2 1。目录上页下页返回结束 再考察函数再考察函数 当当x无限无限趋近于近于1 1时(不等于(不等于1 1)的)的变化化趋势。从函数从函数图形中看出,当形
4、中看出,当x趋向于向于1 1时,y就就趋向于向于2 2。虽然函数在点然函数在点x=1处没有定没有定义,但只要但只要x 1时,y 2。目录上页下页返回结束柯西最早由柯西最早由柯西给出出1、精确定、精确定义(“”)定定义2.设函数函数在点在点的某去心的某去心邻域内有定域内有定义,当当时,有有则称常数称常数 A 为函数函数当当时的极限的极限,或或即即当当时,有有若若记作作目录上页下页返回结束2.2.几何解几何解释:注意:注意:目录上页下页返回结束例例4.证明明证:故故对任意的任意的当当时,因此因此总有有目录上页下页返回结束例例5.证明证:欲使取则当时,必有因此只要目录上页下页返回结束例例6.证明证:
5、故取当时,必有因此目录上页下页返回结束3.左极限与右极限左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理定理2.(极限的存在定理)(极限的存在定理)目录上页下页返回结束例例7.给定函数讨论 时的极限是否存在.解解:利用定理 2.因为显然所以不存在.目录上页下页返回结束定理定理3.(3.(唯一性唯一性)若存在,则极限值A唯一.其证明同上节.定理定理4.(4.(局部有界性局部有界性)若存在,则一定存在常数,其理论证明(略).直观地可几何意义说明.三、函数极限的几个重要性三、函数极限的几个重要性质(下列性(下列性质对自自变量量的不同的不同变化化过程均成立)程均成立)目录上页下页返回结束保号性定理保
6、号性定理定理定理5.若且 A 0,证:已知即当时,有当 A 0 时,取正数则在对应的邻域上(0)则存在(A 0)逆命逆命题不成立不成立目录上页下页返回结束若取则在对应的邻域上 若则存在使当时,有推推论:分析分析:目录上页下页返回结束定理定理 6.若在的某去心邻域内,且 则证:用反证法.则由定理5,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)思考:若定理6 中的条件改为是否必有不能不能!存在如 假设 A 0,条件矛盾,故目录上页下页返回结束子列收子列收敛性性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定定义3定理定理7.有定有定义,有有目录上页下页返回结束定理定理7.
7、有定义,且设即当有有定义,且对上述 ,时,有于是当时故可用反证法证明.(略)有证:当“”“”目录上页下页返回结束定理定理7.有定义且有说明明:1、此定理常用于判断函数极限不存在.法法1 找一个数列不存在.法法2 找两个趋于的不同数列及使目录上页下页返回结束例例8.证明不存在.证:取两个趋于 0 的数列及有由定理6 知不存在.目录上页下页返回结束例如例如,2、此定理也可用于求数列极限.目录上页下页返回结束内容小内容小结1 1、函数极限的、函数极限的或或定定义及及应用用2 2、函数极限的性、函数极限的性质:3 3、极限的重要性、极限的重要性(1 1)极限是一种思想方法,揭示了极限是一种思想方法,揭示了常量与常量与变量,量,有限与无限有限与无限的的对立立统一关系一关系从从认识有限到把握无限有限到把握无限从了解离散到理解从了解离散到理解连续从从认识静静态(不不变的常量)来把握的常量)来把握动态(变量)量)目录上页下页返回结束(2 2)极限是一种概念)极限是一种概念(3 3)极限是一种极限是一种计算方法算方法 微微积分中分中许多概念是多概念是用极限定用极限定义的的许多多物理、几何量、物理、几何量、经济问题需要用极限来求需要用极限来求目录上页下页返回结束思考与思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则例3是否一定有?
限制150内