复变函数第五章1留数.ppt

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1、第五章 留数一.孤立奇点的分类(一类特殊的奇点)二.留数(孤立奇点的数字特征)三.利用留数定理计算定积分（留数的应用）留数定理（计算复变函数积分的基本方法）1预备知识25.1 解析函数的孤立奇点1-335.1.1 孤立奇点的定义及分类定义：存在我们根据罗朗展式中负幂项的多少，对孤立奇点进行分类：4这时,f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.0|z-z0|d ,则在圆域|z-z0|d 内就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,从而函数 f(z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.孤立奇点。5 如果在罗朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,

2、且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数 f(z)的m阶极点.上式也可写成 其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+.,在|z-z0|d 内是解析的函数,且 g(z0)0.反过来,当任何一个函数 f(z)能表示为(*)的形式,且g(z)在 解析，g(z0)0 时,则z0是 f(z)的m阶极点.6如果z0为 f(z)的极点,由(*)式,就有解：73.3.本性奇点本性奇点 如果在罗朗级数中含有无穷

3、多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f(z)的本性奇点.有无穷多负幂项。8解:奇点为或9综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.定理10例4 判定下列函数的孤立奇点的类型。（洛比塔法则）115.1.2 零点与极点的关系定义：例4：多项式函数是最简单的解析函数。问题：零点的阶数？1213解：零点与极点间的关系？14定理这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.例6解：1516（1）定义（3）根据零点与极点间的关系，定理，定理的推论(4)例7的结论17（定义）18解：奇点为19解:奇点20距离原点无限远的点，统称为无穷远点 由于函数在无穷远点没有定义，所以无穷远点总是一个奇点。我们关心的是，在怎样的情况下，构成孤立奇点？定义：定义：孤立奇点。无穷远点的去心邻域21定义22例:判定下列函数在 处奇点的类型或因为含有有限多正幂项，且最高次数为三次，2324我们可以利用上述极限的不同情形来判别 的类型.定理例:判定下列函数在扩充复平面内各孤立奇点的类型2526