《工程力学》教学课件第十三章弯曲变形与静不定梁.ppt

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1、 第一节第一节 弯曲变形的基本概念弯曲变形的基本概念 第二节第二节 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 第三节第三节 用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形 梁的刚度条件梁的刚度条件 第四节第四节 静不定梁静不定梁第十三章第十三章 弯曲变形与静不定梁弯曲变形与静不定梁v本章介绍了梁的弯曲变形的基本知识，主要包括挠本章介绍了梁的弯曲变形的基本知识，主要包括挠曲线及梁的刚度条件。学习时要掌握梁的弯曲变形曲线及梁的刚度条件。学习时要掌握梁的弯曲变形的基本概念，了解挠曲线近似微分方程的推导过程，的基本概念，了解挠曲线近似微分方程的推导过程，掌握积分法和叠加法计算梁的变形，同时了解提高掌握积

2、分法和叠加法计算梁的变形，同时了解提高梁刚度的方法。了解变形比较法求静不定梁的计算梁刚度的方法。了解变形比较法求静不定梁的计算过程。过程。教学目的和要求教学目的和要求v梁弯曲变形的基本概念；梁弯曲变形的基本概念；v挠曲线的近似微分方程；挠曲线的近似微分方程；v积分法和叠加法计算梁的变形；积分法和叠加法计算梁的变形；v梁的刚度条件。梁的刚度条件。教学重点教学重点v挠曲线近似微分方程的推导过程；挠曲线近似微分方程的推导过程；v积分法和叠加法计算梁的变形；积分法和叠加法计算梁的变形；v变形比较法求解静不定梁。变形比较法求解静不定梁。教学难点教学难点第一节第一节 弯曲变形的基本概念弯曲变形的基本概念齿

3、轮传动轴的弯曲变形齿轮传动轴的弯曲变形轧钢机（或压延机）的弯曲变形轧钢机（或压延机）的弯曲变形1.挠曲线挠曲线 梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程为挠曲线方程为式中式中，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标，y为该点的挠度。为该点的挠度。C yAB xCy挠度挠度转角转角 挠曲线挠曲线C yAB xCy挠度挠度转角转角（）：横截面对其初始位置的所转过的角度横截面对其初始位置的所转过的角度,称为该截称为该截面的转角。面的转角。转角转角 挠度挠度（y）:横截面形心横截面形心 C(即轴线上的点即轴线上的点)在垂直于在垂直于 x 轴方轴方向向的线位

4、移，称为该截面的挠度。的线位移，称为该截面的挠度。它们是度量梁变形后横截面位移的两个基本量。它们是度量梁变形后横截面位移的两个基本量。2.挠度和转角挠度和转角挠度与转角的关系挠度与转角的关系（小变形的条件下）为（小变形的条件下）为挠度和转角符号的规定为挠度和转角符号的规定为挠度：向上为正，向下为负。挠度：向上为正，向下为负。转角：转角：自自 x 转至转至 切线方向，逆时针转为正，顺时针转为负。切线方向，逆时针转为正，顺时针转为负。一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程上式就是挠曲线近似微分方程。上式就是挠曲线近似微分方程。小变形小变形xM0 xM0第二节第二节 梁的挠曲线近似微分方程梁的

5、挠曲线近似微分方程对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、用积分法求梁的弯曲变形二、用积分法求梁的弯曲变形微分方程的积分微分方程的积分 式中式中C、D为积分常数，可根据梁的边界条件和连续性条件确定。为积分常数，可根据梁的边界条件和连续性条件确定。PABCPD边界条件和连续性条件边界条件和连续性条件边界条件：边界条件：挠曲线上某些点的挠度和转角是已知的。挠曲线上某些点的挠度和转角是已知的。例如，图示简支梁铰支座处截面的挠度为零；例如，图示简支梁铰支座处截面的挠度为零；悬臂梁固定端处截面的挠度和转角都等于零。悬臂梁固定端处截面的挠度和转

6、角都等于零。连续性条件连续性条件:挠曲线上任意点有唯一确定的挠度和转角。挠曲线上任意点有唯一确定的挠度和转角。若连续性条件不满足，则挠曲线就不连续若连续性条件不满足，则挠曲线就不连续(图图a)和不光滑和不光滑(图图b)。ABAB（1）边界条件为边界条件为（2）连续性条件连续性条件为（图a）（图b）对上述梁：对上述梁：例例13-1 13-1 悬臂梁受集中载荷P作用，其抗弯刚度为EI，试用积分法求转角方程和挠曲线方程，并确定最大转角和最大挠度。解解 （1 1）建立坐标系并写出弯）建立坐标系并写出弯矩方程。矩方程。（2 2）写出挠曲线近似）写出挠曲线近似微分方程并微分方程并积分。积分。（3 3）确定

7、）确定积分常数积分常数。PLx当时，求得（4 4）写出挠曲线近似方程并画出挠曲线的大致形）写出挠曲线近似方程并画出挠曲线的大致形状。状。（5 5）最大转角及最大挠度（绝对值最大）。）最大转角及最大挠度（绝对值最大）。xPL（）（）例例13-213-2 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁的简支梁,在全梁上受集度为在全梁上受集度为q 的均布载的均布载荷荷作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度并确定其最大挠度 ymax 和最大转角和最大转角 max 。ABq解解:由对称性可知，梁的两个支反力为由对称性可知，梁的两个支反力为ABq梁的梁

8、的 弯矩方程弯矩方程 及及 挠曲线微分方程挠曲线微分方程 分别为分别为 (c)(d)边界条件为边界条件为 将边界条件代入将边界条件代入 (c),(d)两式得两式得 梁的转角方程和挠梁的转角方程和挠度方程分别为度方程分别为在在 x=0 和和 x=l 处转角的处转角的绝对值相等且都是绝对值相等且都是最大值，为最大值，为ABq A在在梁跨中点梁跨中点 l/2 处有处有 最大挠度值最大挠度值ABq 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积

9、分常数由挠曲线变形的边界条件、连续性条件确定。积分常数由挠曲线变形的边界条件、连续性条件确定。挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程优点：使用范围广，可求出挠度和转角的普遍方程；优点：使用范围广，可求出挠度和转角的普遍方程；缺点：计算较繁。缺点：计算较繁。积分法：积分法：第三节第三节 用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形 梁的刚度条件梁的刚度条件（1）小变形，轴向位移可忽略；）小变形，轴向位移可忽略；（2）线弹性范围工作。）线弹性范围工作。（3）梁的挠度和转角与载荷成线性关系。）梁的挠度和转角与载荷成线性关系。多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单多个载荷同时作用于结构而引起的变形

10、等于每个载荷单 独作用于结构而引起的变形的代数和。独作用于结构而引起的变形的代数和。一、用叠加法求梁的弯曲变形一、用叠加法求梁的弯曲变形OBPA例例13-3 用叠加法求如图所示梁的截面A的挠度和截面B的转角。EI=常量。解解 （1）P单独作用时，梁的左半单独作用时，梁的左半段段OA的变形如同悬臂梁在末端受的变形如同悬臂梁在末端受集中力作用时的变形；右半段集中力作用时的变形；右半段AB部部分梁没有变形位移，但其有刚体位分梁没有变形位移，但其有刚体位移。刚体位移可以看作是随移。刚体位移可以看作是随A截面截面的平动与绕的平动与绕A截面的转动。所以截面的转动。所以B截截面的转角等于面的转角等于A截面的

11、转角。截面的转角。(2）MB单独作用时，单独作用时，A、B两截面变形位移可以直接从表中查出。两截面变形位移可以直接从表中查出。（3）P和和MB共同作用时，应用叠加法可得知，共同作用时，应用叠加法可得知，A截面挠度为两种载截面挠度为两种载荷的代数和，荷的代数和，B截面的转角也为两者的代数和。截面的转角也为两者的代数和。例例13-413-4用叠加法求图示梁的，EI=常量。qABCPM=+ABqAB+ABM解解 运用叠加法二、梁的刚度条件二、梁的刚度条件常见梁结构的许用挠度和许用转角如下：常见梁结构的许用挠度和许用转角如下：普通传动轴齿轮轴吊车梁楼盖梁例例13-5 如图所示工字钢梁，如图所示工字钢梁

12、，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，y=l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷的许可载荷 P，并校核强度。，并校核强度。解解 由刚度条件可得解得所以得由梁的最大弯曲应力为 OBPAz120a因此，满足强度条件。因此，满足强度条件。三、提高梁弯曲刚度的措施三、提高梁弯曲刚度的措施梁的变形不仅与梁的受力和支承情况有关，而且还与梁的变形不仅与梁的受力和支承情况有关，而且还与梁的材料、截面形状与大小和梁的长度梁的材料、截面形状与大小和梁的长度有关。有关。提高梁刚度的措施为提高梁刚度的措施为 1.增大梁的抗弯刚度增大

13、梁的抗弯刚度EI；2.减小梁的跨度；减小梁的跨度；3.改变加载方式。改变加载方式。静不定梁：静不定梁：梁的未知反力的数目将多于静力学平衡方程的梁的未知反力的数目将多于静力学平衡方程的数目，仅由平衡方程不能求出全部的约束反力和内力，这数目，仅由平衡方程不能求出全部的约束反力和内力，这种梁称为种梁称为静不定梁或超静定梁静不定梁或超静定梁。多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言,多余的约束。多余的约束。静不定次数：静不定次数：未知约束反力数目与静平稳方程条件数目未知约束反力数目与静平稳方程条件数目之差称为静不定次数。之差称为静不定次数。相当系统：相当系统：静不定梁的多余约束解除后，

14、所得到的受静不定梁的多余约束解除后，所得到的受力与原静不定梁相同的静定梁，称为原梁的相当系统。力与原静不定梁相同的静定梁，称为原梁的相当系统。第四节第四节 静不定梁静不定梁一、静不定梁的基本概念一、静不定梁的基本概念qLABqLRBABxBLA静定基静定基相当系统相当系统二、用变形比较法求解静不定梁二、用变形比较法求解静不定梁变形协调条件为变形协调条件为补充方程为补充方程为约束反力为约束反力为用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。）选择基本静定系，确定多余约束及反力。（2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定）

15、比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定变形协调条件。变形协调条件。（3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。（4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、强度、刚度的计算与静定梁完全相同。强度、刚度的计算与静定梁完全相同。例例13-613-6如如图图所示静不定梁，等截面梁所示静不定梁，等截面梁ACAC的抗弯的抗弯刚刚度度EIEI，拉杆，拉杆BDBD的抗的抗拉拉刚刚度度EAEA，在，在F F力作用下，力作用下，试试求求BDBD杆的拉力和截面杆的拉力和截面C C的的挠挠度。度。LACDFBACFB

16、FB解解 (1)选择基本静定梁。解除BD杆约束，以反力FB代替。（2）列出变形协调条件。（3）在基本静定梁上由叠加法求挠度。本章小结v1.在小变形条件下，建立了梁的挠曲线近似微分方程，用在小变形条件下，建立了梁的挠曲线近似微分方程，用积分法求梁的挠曲线方程和转角方程。对于积分常数需要积分法求梁的挠曲线方程和转角方程。对于积分常数需要应用边界条件和连续条件。应用边界条件和连续条件。v2.在小变形条件和线弹性范围内，用叠加法求解梁的弯曲在小变形条件和线弹性范围内，用叠加法求解梁的弯曲变形位移。当梁受到复杂载荷作用时，可先计算其在各基变形位移。当梁受到复杂载荷作用时，可先计算其在各基本载荷作用下的变

17、形位移，然后进行叠加求和，可得到梁本载荷作用下的变形位移，然后进行叠加求和，可得到梁的总体变形位移。也可以用逐段刚化法求解。的总体变形位移。也可以用逐段刚化法求解。本章小结v3.根据梁的刚度条件，进行梁的弯曲刚度校核，也可以进根据梁的刚度条件，进行梁的弯曲刚度校核，也可以进行截面设计或许用载荷的计算，由此得到提高梁的弯曲刚行截面设计或许用载荷的计算，由此得到提高梁的弯曲刚度有关措施。度有关措施。v4.静不定梁的基本概念，用变形比较法求解静不定梁。利静不定梁的基本概念，用变形比较法求解静不定梁。利用梁的变形协调条件，结合变形与载荷的关系，建立补充用梁的变形协调条件，结合变形与载荷的关系，建立补充方程，求出多余约束反力，以便进一步计算梁的强度、刚方程，求出多余约束反力，以便进一步计算梁的强度、刚度等问题分析。度等问题分析。谢谢大家！