固定收益证券的估值定价与计算.ppt

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1、第第 一节一节 模型及基态性质模型及基态性质v一、一、模型模型v二、二、单电子本征态和本征能量单电子本征态和本征能量v三、三、基态和基态和基态的能量基态的能量本节主要内容：本节主要内容：自由电子气自由电子气(自由电子费米气体自由电子费米气体)：自由的、：自由的、无相互作用的无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。、遵从泡利原理的电子气。一、索末菲模型索末菲模型1.1 1.1 模型及基态性质模型及基态性质1 1忽略金属中忽略金属中电子和离子实电子和离子实之间的相互作用之间的相互作用 自由电子假设自由电子假设 (free electron approximation)2 2 忽略金属中忽略金属中电子

2、和电子电子和电子之间的相互作用之间的相互作用 独独立电子假设立电子假设 (independent electron approximation)3 3 价电子速度服从价电子速度服从费米费米狄拉克分布狄拉克分布自自由电由电 子费米气体子费米气体 （free electron Fermi gas)4 4 不考虑电子和金属离子之间的碰撞不考虑电子和金属离子之间的碰撞 (No collision)由索末菲的假定由索末菲的假定,金属晶体尽管是复杂的多金属晶体尽管是复杂的多体系统体系统,但是对于其中的价电子来说但是对于其中的价电子来说,每一个价每一个价电子都有一个对应的波函数电子都有一个对应的波函数,该波

3、函数可由量子该波函数可由量子力学中单电子的定态薛定谔方程得到力学中单电子的定态薛定谔方程得到.下面我们下面我们首先利用量子力学原理讨论温度为零时单电子首先利用量子力学原理讨论温度为零时单电子的本征态和本征能量的本征态和本征能量,并由此讨论电子气的基态并由此讨论电子气的基态和基态能量和基态能量.二、单电子本征态和本征能量二、单电子本征态和本征能量建立单电子的运动方程建立单电子的运动方程-薛定谔方程薛定谔方程处理该问题的思路：处理该问题的思路：选择一个研究对象选择一个研究对象-简单金属固体简单金属固体利用利用索末菲索末菲模型模型-单电子问题单电子问题求解薛定谔方程求解薛定谔方程-本征态和本征能量本

4、征态和本征能量 由自由电子气体模型，由自由电子气体模型，N 个原子和个原子和N 个电子个电子的多体问题转化为的多体问题转化为单电子问题单电子问题。自由电子数目为自由电子数目为：N 为计算方便为计算方便,设金属是边长为设金属是边长为 L 的立方体，的立方体，内有内有N个原子，个原子，一个原子提供一个原子提供1个价电子。个价电子。则金属的则金属的体积体积:V=L3 按照量子力学假设，单电子的状态用波函按照量子力学假设，单电子的状态用波函数数 描述描述,且且满足满足薛定谔方程。薛定谔方程。其中：其中：V(r)为电子在金属中的为电子在金属中的势能势能，为电子为电子的的本征能量本征能量 对边长为对边长为

5、L 的的立方体立方体，在，在自由电子气体模型自由电子气体模型下下可设势阱的深度是无限的。取坐标轴沿着立方可设势阱的深度是无限的。取坐标轴沿着立方体的三个边，则粒子势能可表示为：体的三个边，则粒子势能可表示为：在自由电子模型下，由于忽略了电子和离在自由电子模型下，由于忽略了电子和离子实、电子和电子之间的相互作用，所以金属子实、电子和电子之间的相互作用，所以金属内部的相互作用势能可取为零。内部的相互作用势能可取为零。因而因而薛定谔方程薛定谔方程变为：变为：-电子的本征能量电子的本征能量 -电子的波函数电子的波函数(是电子位矢是电子位矢 的函数的函数)C 为归一化常数为归一化常数由正交归一化条件：由

6、正交归一化条件：这和电子在自由空间运动的方程一样，方程这和电子在自由空间运动的方程一样，方程有平面波解：有平面波解：所以，波函数可写为：所以，波函数可写为：为波矢，其方向为平面波的传播方向为波矢，其方向为平面波的传播方向 的大小与的大小与电子的电子的德布罗意波长德布罗意波长的关系为：的关系为：把波函数把波函数得到电子的得到电子的本征能量本征能量：2.2.电子的动量电子的动量代入薛定谔方程代入薛定谔方程将动量算符将动量算符作用于电子的波函数得：作用于电子的波函数得：所以所以 也是动量算符的本征态也是动量算符的本征态 3.3.电子的速度电子的速度确定的动量确定的动量 电子处在电子处在态时，电子有态

7、时，电子有相应的能量相应的能量:边界条件的选取，既要考虑电子的边界条件的选取，既要考虑电子的实际实际运动运动情况（表面和内部）；又要考虑情况（表面和内部）；又要考虑数学数学上可解。上可解。4.4.波矢波矢 的取值的取值波矢波矢 的取值应由边界条件来确定的取值应由边界条件来确定 即电子的即电子的能量能量和和动量动量都有都有经典对应经典对应，但是，但是,经典中的平面波矢经典中的平面波矢 可取任意实数，可取任意实数，对于电子对于电子来说，波矢来说，波矢 应取什么值呢？应取什么值呢？常用边界条件常用边界条件 人们广泛使用的是人们广泛使用的是周期性边界条件（周期性边界条件（periodic bounda

8、ry condition),又称为又称为波恩波恩-卡门（卡门（Born-von Karman)边条件边条件周期性边界条件周期性边界条件驻波边界条件驻波边界条件亦即：显然，对于显然，对于一维一维 一维情形下，相当于一维情形下，相当于首尾相接成环首尾相接成环，从而，从而既有有限尺寸，又消除了边界的存在。既有有限尺寸，又消除了边界的存在。三维三维情形，可想象成情形，可想象成L3的立方体在三个方的立方体在三个方向平移，填满了整个空间，从而向平移，填满了整个空间，从而当一个电子运当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是进入相对表动到表面时并不被反射回来，而是进入相对表面的对应点面的对应点。波函数为行波

9、波函数为行波，表示，表示当一个电子运动到表面时当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开金属，同时必有一并不被反射回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。周期性边条件恰好满足上述行波的特点，周期性边条件恰好满足上述行波的特点，表明了选取该边条件的合理性表明了选取该边条件的合理性 将周期性边界条件代入电子的波函数得：将周期性边界条件代入电子的波函数得：Where the quantity nx,ny,nz are any integer 以波矢以波矢 的三个分量的三个分量 为为坐标轴坐标轴的空间称为的空间称为波矢空间波矢

10、空间或或 空间空间。5.波矢空间波矢空间(-space)和和 空间的态密度空间的态密度 所以，周期性边条件所以，周期性边条件的选取，的选取，导致了波矢导致了波矢 取值的量子化，从而，单电子的取值的量子化，从而，单电子的本征能量本征能量也取也取分立值，分立值，形成形成能级。能级。nx,ny,nz 取值为取值为整数整数，意味着意味着波矢波矢 取值是取值是量量子化子化的。的。金属中自由电子波矢：金属中自由电子波矢：nx,ny,nz 取值为任意取值为任意整数整数 由于由于波矢波矢 取值是取值是量子化量子化的，它是描述金属的，它是描述金属中单电子态的适当量子数，所以，在中单电子态的适当量子数，所以，在

11、空间空间中中许可的许可的 值是用值是用分立的点分立的点来表示的。来表示的。每个点表每个点表示一个允许的单电子态。示一个允许的单电子态。所以，代表点（单电子态）在所以，代表点（单电子态）在 空间是均空间是均匀分布的。匀分布的。由波矢的取值特点，可以看出：由波矢的取值特点，可以看出：1)1)在在波矢空间波矢空间每个每个(波矢波矢)状态代表点占有的状态代表点占有的 体积体积为：为：(2)(2)波矢空间波矢空间状态密度状态密度(单位体积单位体积中的中的状态代状态代 表点数表点数):):三、基态和基态能量三、基态和基态能量 前面得到了前面得到了索末菲模型索末菲模型下下单电子的本征态单电子的本征态和本征能

12、量和本征能量，那么，如何得到系统的，那么，如何得到系统的基态和基态和基态能量呢？基态能量呢？1.1.N 个电子的个电子的基态、费米球、费米面基态、费米球、费米面电子电子的分布的分布满足：满足：能量最小原理能量最小原理 和和 泡利不泡利不相容原理相容原理我们已知在我们已知在波矢空间波矢空间状态密度：状态密度：考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，的两个电子，则单位相体积可容纳的电子数为：则单位相体积可容纳的电子数为：我们已知自由电子费米气体的单电子能级的我们已知自由电子费米气体的单电子能级的能量能量(本征能）本征能）N电子的电子的基态基态(T=0

13、K)，可从可从能量最低能量最低的的 =0 态态开始，开始，从低到高，依次填充而得到从低到高，依次填充而得到,每个每个 态两态两个电子。个电子。在在 空间中，具有空间中，具有相同能量相同能量的代表点所构成的的代表点所构成的面称为等能面，显然，由上式可知，面称为等能面，显然，由上式可知，等能面等能面为为球面。球面。(一定）一定）由于由于N很大，在很大，在 空间空间中，中，N个电子的占据区最个电子的占据区最后形成一个球，即所谓的后形成一个球，即所谓的费米球（费米球（Fermi sphere)。费米球费米球相对应的相对应的半径半径称为称为费米波矢（费米波矢（Fermi wave vector).用用

14、kF 来表示。来表示。在在k空间空间中，把中，把N个电子的个电子的占据区占据区和和非占据区非占据区分开的界面叫做分开的界面叫做费米面费米面(Feimi surface)基态基态时时(T=0k)，电子填充的最高能级电子填充的最高能级,称为称为费费米能级米能级 F基态基态时时(T=0k)，N个电子填满整个费米球，所个电子填满整个费米球，所以：以：所以，费米波矢所以，费米波矢 kF 为为:n为电子密度为电子密度 从而，相关的电子的从而，相关的电子的费米能量费米能量 F、费米动量费米动量 pF、费米速度费米速度 F、费密温度费密温度TF等都可以表示为等都可以表示为电子密度电子密度n的函数的函数,这也就

15、是前面我们所提到的这也就是前面我们所提到的自由电子气体模型可用电子密度自由电子气体模型可用电子密度n来描述，而且，来描述，而且，n是仅有的一个独立参量的原因。是仅有的一个独立参量的原因。对于给定的金属对于给定的金属,价电子密度是已知的价电子密度是已知的.由此由此,我我们可以求得具体的费米波矢、费米能量、费米们可以求得具体的费米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等速度、费米温度等.计算结果显示费米波矢一般计算结果显示费米波矢一般在在108cm-1量级量级,费米能量为费米能量为15 eV、费米速度、费米速度在在108 cm/s量级、费米温度在量级、费米温度在105 K量级量级.由此，单位体积自由电

16、子气体的基态由此，单位体积自由电子气体的基态能量为：能量为：考虑到电子数密度很大考虑到电子数密度很大,因而上述求和可过渡到因而上述求和可过渡到积分积分.2.2.基态能量基态能量 自由电子气体的基态自由电子气体的基态能量能量E，可由费密球内可由费密球内所有单电子能级的能量相加得到。所有单电子能级的能量相加得到。因子因子2 2源于泡利原理源于泡利原理变为积分得：变为积分得：代入代入将将得：得：所以，单位体积自由电子气体的基态能为：所以，单位体积自由电子气体的基态能为：考虑到：考虑到：得到：得到：和和 由此可得由此可得每个电子每个电子的平均能量为：的平均能量为：上述求解是在上述求解是在 空间进行的，

17、涉及到矢量积空间进行的，涉及到矢量积分分，在一些实际问题中，比较麻烦，为此，在一些实际问题中，比较麻烦，为此，人们常把对人们常把对 的积分化为对能量的积分，从的积分化为对能量的积分，从而引入而引入能态密度能态密度。(1)(1)定义定义:若在能量若在能量EE+dE 范围内存在范围内存在 N个单电子个单电子态，则能态密度态，则能态密度N(E)定义为：定义为：能量能量E附近单位能量间隔内，包含自旋的附近单位能量间隔内，包含自旋的单电单电子态数，称为能态密度子态数，称为能态密度 教材中引入的是教材中引入的是单位体积的能态密度单位体积的能态密度，即单，即单位体积样品中，单位能量间隔内，包含自旋的位体积样

18、品中，单位能量间隔内，包含自旋的单电子态数，用单电子态数，用g g()表示。表示。显然，显然，能量能量 +d 范围内存在范围内存在的的单电子单电子态数为：态数为：对于费米球内的自由电子来说，在对于费米球内的自由电子来说，在k空间中空间中 +d 的等能面球壳，分别对应的等能面球壳，分别对应k k+d k.下面计算自由电子气体模型下下面计算自由电子气体模型下单位体积的单位体积的能态密度。能态密度。思路：利用在思路：利用在k空间中波矢密度公式，考虑泡空间中波矢密度公式，考虑泡利原理，求得能量间隔在利原理，求得能量间隔在d 内内的单电子态数的单电子态数目目dN 即可。即可。k空间中，空间中，k k+d

19、 k对应的体积：对应的体积：我们已知在我们已知在波矢空间波矢空间状态密度：状态密度：所以，所以，能量间隔在能量间隔在d 内内的单电子态数目的单电子态数目dN 为：为：由自由电子的本征能量公式：由自由电子的本征能量公式：所以：所以：又：又：所以，所以，单位体积的能态密度单位体积的能态密度：与电子本征能量与电子本征能量 的平方根成正比的平方根成正比.能态密度与系统的维度有关，上述结果仅能态密度与系统的维度有关，上述结果仅是三维自由电子气的结果，如果是一维自由电是三维自由电子气的结果，如果是一维自由电子气系统，则等能面变为两个等能点；二维自子气系统，则等能面变为两个等能点；二维自由电子气系统，则等能

20、面变为等能线，相应的由电子气系统，则等能面变为等能线，相应的能态密度为能态密度为:一维自由电子一维自由电子的能态密度的能态密度：与电子本征能量与电子本征能量 的平方的平方根成反比根成反比.二维自由电子二维自由电子的能态密度的能态密度：从统计物理的角度出发从统计物理的角度出发,低能激发态被热运动低能激发态被热运动激发的概率比高能激发态大得多激发的概率比高能激发态大得多.如果低能激发如果低能激发态的能态密度大态的能态密度大,体系的热涨落就强体系的热涨落就强,相应的有相应的有序度降低或消失序度降低或消失,不易出现有序相不易出现有序相.也就是说也就是说,低低能激发态的能态密度的大小影响着体系的有序能激

21、发态的能态密度的大小影响着体系的有序度和相变度和相变.三维自由电子体系三维自由电子体系,在低能态的能态在低能态的能态密度趋于零密度趋于零,因而低温下所引起的热涨落极小因而低温下所引起的热涨落极小,体系可具有长程序体系可具有长程序;对一维自由电子体系来说，对一维自由电子体系来说，在低能态的能态密度很大在低能态的能态密度很大,而且随能量的降低而而且随能量的降低而趋于无穷趋于无穷,因而低温下所引起的热涨落极大，导因而低温下所引起的热涨落极大，导致致一维体系不具长程序一维体系不具长程序.利用单位体积的能态密度，同样可求得自利用单位体积的能态密度，同样可求得自由电子气在基态时的由电子气在基态时的总能量总

22、能量E(费米球内所有单费米球内所有单电子能级和）和电子能级和）和基态时每个电子的平均能量。基态时每个电子的平均能量。基态能量：基态能量：二维自由电子体系二维自由电子体系的能态密度是常数的能态密度是常数,介于一介于一维和三维中间维和三维中间,体系可具有准长程序体系可具有准长程序,而且而且极易极易出现特殊相变出现特殊相变,导致新的物理现象导致新的物理现象.如二维电子如二维电子气系统中的量子霍尔效应、分数统计等现象气系统中的量子霍尔效应、分数统计等现象.这和前面的计算结果一致。这和前面的计算结果一致。类似的基态时每个电子的平均能量为：类似的基态时每个电子的平均能量为：（同同学们课下自己推算）（学们课

23、下自己推算）（See P8)See P8)由此可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当由此可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。按照按照经典的经典的自由电子气体（自由电子气体（Drude)的模型，的模型，电子在电子在T=0时的平均能量为零。时的平均能量为零。在统计物理中，把体系与经典行为的偏离，在统计物理中，把体系与经典行为的偏离，称为简并性称为简并性(degeneracy).).因此，在因此，在T=0K时，时，金属自由电子气是完全简并的。金属自由电子气是完全简并的。系统简并性的判据是：系统简并性的判据是：因而因而,

24、只要温度比费米温度低很多只要温度比费米温度低很多,电子气就电子气就是简并的是简并的.由于费米能量在几个电子伏特由于费米能量在几个电子伏特,而而室温下的热扰动能大约为电子伏特室温下的热扰动能大约为电子伏特,所以所以室室温下电子气也是高度简并的温下电子气也是高度简并的.需要指出的是需要指出的是这里电子气简并的概念与量子力学中的简并这里电子气简并的概念与量子力学中的简并毫无关系毫无关系,量子力学中的简并通常指不同状量子力学中的简并通常指不同状态对应相同能量的情形态对应相同能量的情形.利用利用N电子系统的能量表示式可以导出电子系统的能量表示式可以导出T=0K时电子气的压强时电子气的压强p，并进而求得体

25、弹性模量，并进而求得体弹性模量K的的表达式：表达式：电子气的压强：电子气的压强：N电子系统的能量电子系统的能量:体弹性模量体弹性模量K:本节主要讨论了自由电子费米气体在基态本节主要讨论了自由电子费米气体在基态(T=0K)时的情形时的情形.此时此时,电子分布在电子分布在费米球费米球内内,且受到泡利原理的制约且受到泡利原理的制约;当当T 0K时时,随着温度的随着温度的升高升高,系统从基态变成激发态系统从基态变成激发态,电子将受到热激电子将受到热激发发.由于基态费米能一般远大于热激发能由于基态费米能一般远大于热激发能,室室温下的温下的kBT 大约为大约为0.026 eV。所以。所以热激发只能使热激发

26、只能使基态费米面附近基态费米面附近kBT范围内的很少一部分电子激范围内的很少一部分电子激发出来发出来.这部分电子激发后这部分电子激发后,电子的费米能量如电子的费米能量如何变化呢何变化呢?又会影响系统的哪些热性质呢又会影响系统的哪些热性质呢?下节下节将给出讨论将给出讨论.T 0K 在统计物理中，把体系与经典行为的偏离，在统计物理中，把体系与经典行为的偏离，称为简并性称为简并性(degeneracy).).因此，在因此，在T=0K时，时，金属自由电子气是完全简并的。金属自由电子气是完全简并的。这一节主要讨论了自由电子费米气体的单这一节主要讨论了自由电子费米气体的单电子本征能量，以及在基态电子本征能量，以及在基态(T=0K)时自由电时自由电子气体的能量。此时，电子的分布遵从能量子气体的能量。此时，电子的分布遵从能量最低原理和泡利原理；当最低原理和泡利原理；当T 0K时，电子将时，电子将受到热激发，此时，电子的分布受到热激发，此时，电子的分布如何呢？如何呢？系统简并性的判据是：系统简并性的判据是：