抽样及参数估计-3参数估计.ppt

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1、第五章第五章 抽样推断抽样推断第三节第三节 参数估计参数估计10/28/20221统计估计的类别统计估计的类别u统计估计问题专门研究由样本估计总体的未知分布统计估计问题专门研究由样本估计总体的未知分布或分布中的未知参数的问题或分布中的未知参数的问题u分为：非参数估计和分为：非参数估计和参数估计参数估计直接对总体的未知分布进行估计的问题为非参数直接对总体的未知分布进行估计的问题为非参数估计估计对分布的未知参数进行估计，称为参数估计对分布的未知参数进行估计，称为参数估计10/28/20223参数估计的基本方法参数估计的基本方法10/28/20225一、估计量与估计值一、估计量与估计值10/28/2

2、0226l估计量：估计量：用于估计总体参数的样本统计量用于估计总体参数的样本统计量n如样本均值、样本比例如样本均值、样本比例(成数成数)、样本方差等、样本方差等n例如：样本均值就是总体均值例如：样本均值就是总体均值 的一个估计量的一个估计量l估计值：估计值：估计参数时计算出来的统计量的具估计参数时计算出来的统计量的具体数值体数值n如果样本均值如果样本均值 x=80=80，则则8080就是就是 的估计值的估计值u注：注：有时，对估计量和估计值并不刻意区分，都称有时，对估计量和估计值并不刻意区分，都称为估计，根据上下文很容易明确其指代为估计，根据上下文很容易明确其指代估计量与估计值估计量与估计值

3、(estimator&estimated value)随机随机变量变量10/28/20227一个总体参数的估计一个总体参数的估计总体参数总体参数样本统计量样本统计量均均值值比例比例方差方差10/28/20228二、估计量的优良标准二、估计量的优良标准 评价估计量的标准评价估计量的标准n所谓优良估计量，是从总体上来评价的所谓优良估计量，是从总体上来评价的n对于总体的同一参数，可以有不同的估计量。例如，对于总体的同一参数，可以有不同的估计量。例如，估计总体平均指标，可以用样本平均数，也可以用样估计总体平均指标，可以用样本平均数，也可以用样本中位数，用哪种估计量更好呢？本中位数，用哪种估计量更好呢？

4、n希望选择一个相对优良、估计效果更好的估计量。希望选择一个相对优良、估计效果更好的估计量。n什么样的估计量才算是一个好的估计量呢？什么样的估计量才算是一个好的估计量呢？n这就需要有一定的评价标准。统计学家给出了评价估这就需要有一定的评价标准。统计学家给出了评价估计量的一些标准计量的一些标准n一个优良估计量主要需要符合下面三个标准：无偏性、一个优良估计量主要需要符合下面三个标准：无偏性、有效性、一致性有效性、一致性10/28/20229(一一)无偏性无偏性(unbiasedness)n估计量估计量(随机变量随机变量)的数学期望等于被估计的总体参数的数学期望等于被估计的总体参数n中心极限定理证明了

5、：样本平均数、样本成数都满足无偏性中心极限定理证明了：样本平均数、样本成数都满足无偏性 P P()B BA A无偏无偏无偏无偏有偏有偏有偏有偏总体参数总体参数总体参数总体参数10/28/202210(二二)有效性有效性(efficiency)l对对同同一一总总体体参参数数的的两两个个无无偏偏点点估估计计量量，有有更更小小标标准差的估计量更有效准差的估计量更有效 AB 的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布 的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布P P()样本平均样本平均样本平均样本平均数比中位数比中位数比中位数比中位数更有效数更有效数更有效数更有效10/28/202211(三三)一致性一致

6、性(consistency)n随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数的总体参数n大数定律已经证明了：大数定律已经证明了：样本平均数和样本成数都满足样本平均数和样本成数都满足一致性一致性 AB较小的样本容量较小的样本容量较小的样本容量较小的样本容量较大的样本容量较大的样本容量较大的样本容量较大的样本容量P P()10/28/202212三、总体参数的点估计和区间估计三、总体参数的点估计和区间估计10/28/202213(一一)点估计点估计/定值估计定值估计 (point estimate)l做法：做法：用样本估计量的值直接作为总体参

7、数的估计值用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值例：例：用样本均值直接用样本均值直接作为作为总体均值的估计总体均值的估计例：例：用样本成数直接作为总体成数的估计用样本成数直接作为总体成数的估计例例：用用两两个个样样本本均均值值之之差差直直接接作作为为总总体体均均值值之之差差的估计的估计l缺缺点点：没没有有考考虑虑抽抽样样误误差差的的大大小小，没没有有给给出出估估计计值值接接近近总总体体参参数数的的程程度度，即即，它它没没有有给给出出一一个个用用于于衡衡量量估估计值的可靠程度的度量计值的可靠程度的度量l点估计的方法：点估计的方法：l矩矩估估计计法法、顺顺序序统统计计量量法法、最最大大似似然然法

8、法、最最小小二二乘法等乘法等l点估计方法是区间估计的基础点估计方法是区间估计的基础10/28/202215点估计缺陷的弥补点估计缺陷的弥补区间估计区间估计n虽然点估计可以给出未知参数的一个估计，但不虽然点估计可以给出未知参数的一个估计，但不能给出估计的精度能给出估计的精度n人们希望利用样本给出一个范围，要求该范围以人们希望利用样本给出一个范围，要求该范围以足够大的概率包含待估参数真值足够大的概率包含待估参数真值n这就是区间估计问题这就是区间估计问题10/28/202216(二二)区间估计区间估计 (interval estimate)l构造构造置信区间置信区间(confidence inter

9、val)(confidence interval)：由由样样本本统统计计量量加加减减一一个个误误差差范范围围得得到到总总体体参参数数的一个区间范围的一个区间范围n同时指出了总体指标落在这一区间范围内的可能性同时指出了总体指标落在这一区间范围内的可能性大小，即给出了做出这种结论的概率保证程度，大小，即给出了做出这种结论的概率保证程度，F(tF(t)/)/置信度置信度/置信水平置信水平(1-(1-)(confidence level)(confidence level)抽样极抽样极限误差限误差10/28/202217置信区间的三要素置信区间的三要素n总体参数的区间估计必须同时具备三个要素：总体参数

10、的区间估计必须同时具备三个要素：n点估计值（区间的中心）点估计值（区间的中心）n抽样极限误差（区间的半径）抽样极限误差（区间的半径）n概率保证程度概率保证程度n统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间体参数，所以给它取名为置信区间10/28/2022181.1.实践中对区间估计的基本要求实践中对区间估计的基本要求 置信度和精确度置信度和精确度n置信区间的各要素给出的含义不同：置信区间的各要素给出的含义不同：n 说明了区间估计的精确性说明了区间估计的精确性n 越小，置信区间越窄，估计的精确性越高，但可靠越小，置信区

11、间越窄，估计的精确性越高，但可靠度会降低度会降低n反之，反之，越大，置信区间越宽，估计的精确性越低，越大，置信区间越宽，估计的精确性越低，但可靠度会提高但可靠度会提高n置信度置信度F(t)F(t)则说明了区间估计的可靠程度则说明了区间估计的可靠程度nF(t)F(t)越高，置信区间越宽，估计的可靠性越高，但精越高，置信区间越宽，估计的可靠性越高，但精确性却降低了确性却降低了n相反，相反，F(t)F(t)越低，置信区间越窄，估计的可靠性越低，越低，置信区间越窄，估计的可靠性越低，但精确性却提高了但精确性却提高了n由此可见，区间估计中精确性与可靠性是互相矛盾的两由此可见，区间估计中精确性与可靠性是互

12、相矛盾的两个方面，二者依照一定的联系而此消彼长个方面，二者依照一定的联系而此消彼长n因此，在实践中，根据对精确性和可靠性的要求不同，因此，在实践中，根据对精确性和可靠性的要求不同，研究者有时先主观确定研究者有时先主观确定，有时先主观确定，有时先主观确定F(t)F(t)10/28/2022232.2.区间估计方法区间估计方法围绕置信区间的三要素展开围绕置信区间的三要素展开10/28/202224区间估计做法区间估计做法1 1l情况情况1 1：在已：在已经主主观确定了抽确定了抽样误差范差范围的情况下进的情况下进行区间估计行区间估计(1)(1)抽取抽取样本，本，计算抽算抽样指指标，如，如计算算样本平

13、均数或本平均数或样本成本成数，作数，作为相相应总体指体指标的点估的点估计值，并，并计算算样本本标准差准差以推算抽以推算抽样平均平均误差（抽差（抽样标准准误）(2)(2)根据根据给定的抽定的抽样误差范差范围，给出出总体参数估体参数估计的上、下的上、下限限(3)(3)将抽将抽样误差范差范围除以抽除以抽样平均平均误差求出概率度差求出概率度t t值，再，再根据根据t t值查“正正态分布概率表分布概率表”求出相求出相应的置信度的置信度F(tF(t)10/28/202225区间估计做法区间估计做法2 2情况情况2 2：在已：在已经主主观确定了置信度确定了置信度F(tF(t)的前提下的前提下进行区行区间估估

14、计（1 1）抽取）抽取样本，本，计算抽算抽样指指标，如，如计算抽算抽样平均数或抽平均数或抽样成成数作数作为相相应总体指体指标的估的估计值，并，并计算算样本本标准差以推算抽准差以推算抽样平均平均误差差 （2 2）根据）根据给定的定的置信度置信度F(tF(t)要求，求得概率度要求，求得概率度t t值值 （3 3）根据概率度）根据概率度t t和抽和抽样平均平均误差差 来推算来推算的可能范的可能范围，再，再根据根据求出被估求出被估计总体指体指标的上下限，的上下限，对总体参数做区体参数做区间估估计10/28/202226每包重量每包重量(克克)包数包数组中值组中值149149以下以下1010148.51

15、48.514851485-1.8-1.832.432.41491501491502020149.5149.529902990-0.8-0.812.812.81501511501515050150.5150.5752575250.20.22 2151151以上以上2020151.5151.5303030301.21.228.828.8合合计计10010015030150307676区间估计综合例题区间估计综合例题l 例例 某外贸公司出口一种茶叶，规定每包规格不低于某外贸公司出口一种茶叶，规定每包规格不低于150150克，现用克，现用不重复不重复抽样方法从中随机抽取抽样方法从中随机抽取1%1%进行

16、检验，进行检验，抽检结果如表所示：抽检结果如表所示：要求：要求：（1 1）以允许误差范围克，估计该批茶）以允许误差范围克，估计该批茶叶每包平均重量的区间及其概率保证程度。叶每包平均重量的区间及其概率保证程度。（2 2）茶叶包装合格率的误差范围不超过）茶叶包装合格率的误差范围不超过6%6%，估计包装合格率的区间及其概率，估计包装合格率的区间及其概率保证程度。保证程度。（3 3）要求以）要求以95.45%95.45%的概率保证程度，的概率保证程度，估计该批茶叶每包平均重量的区间。估计该批茶叶每包平均重量的区间。（4 4）要求以）要求以95.45%95.45%的概率保证程度，的概率保证程度，估计该批

17、茶叶的包装合格率的区间。估计该批茶叶的包装合格率的区间。10/28/202227每包重量每包重量(克克)包数包数组中值组中值149149以下以下1010148.5148.514851485-1.8-1.832.432.41491501491502020149.5149.529902990-0.8-0.812.812.81501511501515050150.5150.5752575250.20.22 2151151以上以上2020151.5151.5303030301.21.228.828.8合合计计10010015030150307676计算表计算表10/28/202228解答解答n要求（要

18、求（1 1）：以允许误差范围克，估计该批茶）：以允许误差范围克，估计该批茶叶每包平均重量的区间及其概率保证程度。叶每包平均重量的区间及其概率保证程度。n计算过程为计算过程为10/28/202229上限克上限克下限克下限克n 查概率表：查概率表：n该批茶叶每包平均重量落在区间，该批茶叶每包平均重量落在区间，150.5150.5克内，概率克内，概率保证程度为保证程度为97.91%97.91%。10/28/202230n 要求（要求（2 2）：茶叶包装合格率的误差范围不超过）：茶叶包装合格率的误差范围不超过6%6%，估计包装合格率的区间及其概率保证程度估计包装合格率的区间及其概率保证程度n计算过程为

19、：计算过程为：n上限上限=70%+6%=70%+6%76%76%n下限下限=70%-6%=70%-6%64%64%10/28/202231n 查概率表：查概率表：t t时时 n 该批茶叶的包装合格率落在区间该批茶叶的包装合格率落在区间64%64%，76%76%内，概率保证程度为内，概率保证程度为81.32%81.32%。10/28/202232n要求要求(3)(3)：以：以95.45%95.45%的概率保证程度，估计该批茶叶的概率保证程度，估计该批茶叶每包平均重量的区间每包平均重量的区间n计算过程为：计算过程为：n上限克上限克n下限克下限克n以以95.45%95.45%的概率保证程度估计该批茶

20、叶每包的概率保证程度估计该批茶叶每包平均重量在区间，平均重量在区间，150.47150.47内。内。10/28/202233n要求（要求（4 4）：以）：以95.45%95.45%的概率保证程度，估计该批茶的概率保证程度，估计该批茶叶的包装合格率的区间叶的包装合格率的区间n计算过程为：计算过程为：n上限上限=70%+9.12%=70%+9.12%79.12%79.12%n下限下限=70%-9.12%=70%-9.12%61.88%61.88%n 以以95.45%95.45%的的概概率率保保证证程程度度估估计计该该批批茶茶叶叶包包装装合格率的区间为合格率的区间为61.88%61.88%，79.1

21、2%79.12%。10/28/202234注意：抽样平均误差注意：抽样平均误差和抽样极限误和抽样极限误差差的关系的关系n抽样平均误差抽样平均误差是是客观存在客观存在的，根据抽样方法、的，根据抽样方法、总体离散度以及总体离散度以及n n大小可以计算出来，是抽样大小可以计算出来，是抽样误差的衡量指标之一误差的衡量指标之一n抽样极限误差抽样极限误差是是人为规定人为规定的。现实实践中总的。现实实践中总是通过人为规定是通过人为规定来规定抽样推断的精度大小来规定抽样推断的精度大小n和和通过概率度通过概率度t t连接连接到一起：到一起：=t=tn客观存在，因此人为规定客观存在，因此人为规定和人为规定和人为规

22、定t t或或F(t)F(t)是等价的是等价的10/28/202235四、总体总量指标的推断四、总体总量指标的推断n从抽样调查的任务来看，除了由样本平均数估从抽样调查的任务来看，除了由样本平均数估计总体平均数，由样本成数估计总体成数外，计总体平均数，由样本成数估计总体成数外，有时还要求从样本指标推断总体总量指标，这有时还要求从样本指标推断总体总量指标，这就是总体总量指标的推断问题就是总体总量指标的推断问题n常用的推断方法：常用的推断方法：n直接推断法直接推断法n区间推断法区间推断法n修正系数法修正系数法 10/28/202253（一）直接推断法（一）直接推断法n直接以样本平均数代表总体平均数，与

23、总体单位数直接以样本平均数代表总体平均数，与总体单位数N N相乘来推断总体的标志总量；相乘来推断总体的标志总量；n直接以样本成数代表总体成数，与总体单位数直接以样本成数代表总体成数，与总体单位数N N相相乘来推断具有某种标志表现的总体单位数乘来推断具有某种标志表现的总体单位数n这是在点估计的前提下进行的总体总量指标的推断，这是在点估计的前提下进行的总体总量指标的推断，没有考虑可能的误差大小没有考虑可能的误差大小10/28/202254（二）区间推断法（二）区间推断法n以区间估计为依据，在一定的概率保证程度下，推断以区间估计为依据，在一定的概率保证程度下，推断总体总量指标的区间范围总体总量指标的

24、区间范围10/28/202255（三）修正系数法（三）修正系数法n全面调查的工作性误差往往比较大，而且无法全面调查的工作性误差往往比较大，而且无法计算计算n为了检查全面调查资料的质量，提高其准确性，为了检查全面调查资料的质量，提高其准确性，必要时，可以应用抽样调查的资料对全面调查必要时，可以应用抽样调查的资料对全面调查的资料进行补充和修正的资料进行补充和修正n一般采用修正系数法一般采用修正系数法n对全面调查的总体进行抽样调查，将抽样结果与相对全面调查的总体进行抽样调查，将抽样结果与相应范围的全面调查资料相对比，求得修正系数，再应范围的全面调查资料相对比，求得修正系数，再用它修正全面调查的资料用它修正全面调查的资料结束结束10/28/202256