《曲面与曲线》PPT课件.ppt

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1、第六节第六节 曲面曲面一、一、柱面和旋转曲面柱面和旋转曲面二、空间曲线及其方程二、空间曲线及其方程三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影四、四、空间区域在坐标面上的投影区域空间区域在坐标面上的投影区域曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如果曲面如果曲面 S 与三元方程与三元方程 F(x,y,z)=0 满足：满足：(1)曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；(2)不在曲面不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；则称方程则称方程 F(x,y,z)=0为曲面为曲

2、面S的方程的方程,而曲面而曲面S就叫做方程就叫做方程 F(x,y,z)=0的图形的图形研究空间曲面有两个基本问题研究空间曲面有两个基本问题(2)已知坐标间的关系式已知坐标间的关系式,研究曲面形状研究曲面形状(1)已知曲面作为点的轨迹时已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程求曲面方程(由几何特征确定曲面方程由几何特征确定曲面方程)(由曲面方程研究几何特征由曲面方程研究几何特征)例例1 1 求以点求以点 M0(x0,y0,z0)为球心为球心,半径为半径为R的球面方程的球面方程.例例2 2 方程方程 x2+y2+z2 2x+4y=0表示怎样的曲面表示怎样的曲面.解解 配方得配方得此方程表示此方程表示:以

3、点以点M0(1,2,0)为球心为球心,半径为半径为的球面的球面.一、柱面与旋转曲面一、柱面与旋转曲面1、柱面、柱面(cylinder)例例 x2+y2=R2 在在空间空间表示怎样的曲面表示怎样的曲面.点点 M(x,y,z)的坐标也满足方程的坐标也满足方程 x2+y2=R2解解在在 xoy 面上面上,x2+y2=R2表示圆表示圆C,沿曲线沿曲线 C 平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面上所轴的一切直线所形成的曲面上所有点的坐标都满足此方程有点的坐标都满足此方程,此曲面称为此曲面称为圆柱面圆柱面.对任意对任意 z,过此点作过此点作平行平行 z 轴的直线轴的直线 l,故在空间中故在空间中 x2

4、+y2=R2 表示表示圆柱面圆柱面.在圆在圆C上任取一点上任取一点 M1(x,y,0)定义定义 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形成形成的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面.曲线曲线C 叫做叫做准线准线,直线直线l 叫做叫做母线母线.一般地一般地,不完全三元方程不完全三元方程(x,y,z不同时出现不同时出现)在在空间直角坐标系中表示柱面空间直角坐标系中表示柱面方程方程F(x,y)=0 表示母线平行于表示母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面.准线为准线为 xoy 面上的曲线面上的曲线 F(x,y)=0.方程方程(y,z)=0表示母线平行于表示母线平行于 x 轴的柱面轴

5、的柱面.准线为准线为 yoz 面上的曲线面上的曲线(y,z)=0.方程方程(z,x)=0表示母线平行于表示母线平行于 y轴的柱面轴的柱面.准线为准线为 xoz 面上的曲线面上的曲线(z,x)=0.表示母线平行于表示母线平行于 z 轴轴的的抛物柱面抛物柱面.准线为抛物线准线为抛物线表示母线平行于表示母线平行于y 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.准线为椭圆准线为椭圆表示母线平行于表示母线平行于x 轴的轴的双曲柱面双曲柱面.准线为双曲线准线为双曲线 例例 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？几何中分别表示什么图形？平面解析几何中平面解析几何中

6、空间解析几何中空间解析几何中过点过点(2,0)且平行且平行于于y轴的直线轴的直线.方程方程过点过点(2,0,0)且平行且平行于于yoz面的平面面的平面.圆心在点圆心在点O(0,0),半径为半径为2的圆的圆过点过点(0,1)且斜率且斜率为为1的直线的直线过点过点(0,1,0)且平行且平行于于z轴的平面轴的平面.2、旋转曲面、旋转曲面(surface of revolution)定义定义 平面上的曲线平面上的曲线C 绕其平面上一条绕其平面上一条定定直线直线l 旋转一旋转一周所形成的曲面叫做周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.曲线曲线 C 称为旋转曲面的母线称为旋转曲面的母线,定直线定直线 l 称为

7、称为旋转轴旋转轴.点点 M 到到 z 轴的距离轴的距离得方程得方程 yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0绕绕 z 轴旋转一周轴旋转一周的的旋转曲面方程旋转曲面方程.曲线曲线 绕绕 z 轴旋转而成的旋转曲面方程为轴旋转而成的旋转曲面方程为绕绕 y 轴旋转而成的曲面方程为轴旋转而成的曲面方程为例例1 1绕绕 y 轴旋转而成的旋转曲面方程为轴旋转而成的旋转曲面方程为绕绕 z 轴旋转而成的旋转曲面方程为轴旋转而成的旋转曲面方程为旋转椭球面旋转椭球面绕绕 y 轴旋转而成的旋转曲面方程为轴旋转而成的旋转曲面方程为绕绕 x 轴旋转而成的曲面方程轴旋转而成的曲面方程绕绕 z 轴旋转而成

8、的旋转曲面方程为轴旋转而成的旋转曲面方程为绕绕 x 轴旋转而成的曲面方程轴旋转而成的曲面方程例例2 2绕绕 x 轴旋转而成的旋转曲面方程为轴旋转而成的旋转曲面方程为双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面绕绕 z 轴旋转而成的旋转曲面方程为轴旋转而成的旋转曲面方程为单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面旋转抛物面旋转抛物面例例4 4 下列曲面方程是否表示旋转曲面下列曲面方程是否表示旋转曲面?若是若是,是是如何形成的如何形成的?解解 1.是旋转曲面是旋转曲面.或：或：2.不是旋转曲面不是旋转曲面.试建立顶点在坐标原点试建立顶点在坐标原点,旋转轴为旋转轴为z轴轴,半顶角为半顶角为 的的圆锥面方程圆锥面方程.解解 绕绕z

9、 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线空间曲线 可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.三、空间曲线及其方程三、空间曲线及其方程1、空间曲线的一般方程、空间曲线的一般方程例如例如 方程组方程组表示圆柱面表示圆柱面 x2+y2=1与平面与平面 2x+3y+3z=6 的交线的交线.交线为椭圆交线为椭圆.例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解与圆柱面与圆柱面的交线的交线.表示上半球面表示上半球面空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2、空间曲线的参数方程、空间曲线的参数方程当给定当给定 t=t1时时,就得到曲线上的一个

10、点就得到曲线上的一个点(x1,y1,z1),随着参数随着参数 t 的变化可得到曲线上的全部点的变化可得到曲线上的全部点.例例2 2 如果空间一点如果空间一点 M 在圆柱面在圆柱面 x2+y2=a2 上以角速上以角速度度 绕绕 z 轴旋转轴旋转,同时又以线速度同时又以线速度 v 沿平行于沿平行于 z 轴的轴的正方向上升正方向上升(其中其中、v都是常数都是常数),那么点那么点M构成的图构成的图形叫做螺旋线形叫做螺旋线.试建立其参数方程试建立其参数方程.解解 动点从动点从A点出发点出发,经过经过t时间时间,运动到运动到M点点 取时间取时间t为参数为参数,点点 M 在在xoy面的投影点面的投影点N(x

11、,y,0)螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距如何将曲线如何将曲线 的一般方程：的一般方程：(*)(*)化为参数方程？化为参数方程？(1)先先从从一一般般方方程程(*)中中消消去去某某个个变变量量,比比如如z,得得方方程程H(x,y)=0,写出其参数方程写出其参数方程 x=x(t),y=y(t).再把再把x=x(t),y=y(t)代代入入(*)中中的的某某个个方方程程解解出出z=z(t),最最后后在在确确定定 t 的的变化区间

12、变化区间,就得到了曲线的参数方程就得到了曲线的参数方程.例例3 3 把曲线把曲线 用参数方程表示用参数方程表示.(2)在一些特殊情形在一些特殊情形,(*)中的某个方程是不完全三元方中的某个方程是不完全三元方程程(即方程中缺了一个未知量即方程中缺了一个未知量),则可先将这个方程化为则可先将这个方程化为参数方程参数方程,再将所得结果代入再将所得结果代入(*)中的另一个方程中的另一个方程,即可即可求得曲线的参数方程求得曲线的参数方程.例例4 4 将曲线将曲线 化为参数方程化为参数方程.消去变量消去变量z后得：后得：曲线曲线 对对 xOy面面的的投影柱面投影柱面设空间曲线设空间曲线 的一般方程为：的一

13、般方程为：投影柱面的投影柱面的特征特征：以此空间曲线为准线以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面垂直于所投影的坐标面.四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影 以空间曲线以空间曲线 为准线为准线,母线垂直于母线垂直于xOy 面的柱面面的柱面叫做叫做曲线对曲线对 xOy 面面的的投影柱面投影柱面空间曲线空间曲线 在在xOy面上的面上的投影曲线投影曲线曲线曲线 在在 yoz 面上的面上的投影柱面投影柱面和和投影曲线投影曲线：曲线曲线 在在 zox面上的面上的投影柱面投影柱面和和投影曲线投影曲线：类似地：可定义空间曲线类似地：可定义空间曲线 ：在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线在其

14、他坐标面上的投影柱面和投影曲线.例例1 1 求曲线求曲线 在在 xoy 面的投影柱面面的投影柱面 及投影曲线方程及投影曲线方程.例例2 2 求曲线求曲线 在在 xoy 面及面及 yoz 面的投影曲线方程面的投影曲线方程.例例3 3 把曲线方程把曲线方程 转换为母线平转换为母线平 行于坐标轴的柱面的交线方程行于坐标轴的柱面的交线方程四、空间区域在坐标面上的投影区域四、空间区域在坐标面上的投影区域例例1 1解解 二者交线为二者交线为当立体边界曲面的点与在某坐标面上的投影区域内当立体边界曲面的点与在某坐标面上的投影区域内的点一一对应的点一一对应(即不同点在该坐标面的投影点不同即不同点在该坐标面的投影

15、点不同)时时,求该立体在此坐标面投影区域的一般方法：求该立体在此坐标面投影区域的一般方法：(1)求边界曲面的交线在此坐标面的投影曲线求边界曲面的交线在此坐标面的投影曲线,(2)投影曲线在此坐标面所围成的投影曲线在此坐标面所围成的闭区域闭区域 (用不等用不等式表示式表示).例例2 2 分别求由上半球面分别求由上半球面 与圆柱与圆柱面面 及平面及平面 z=0 所围成的立体所围成的立体在在 xoy 平面和平面和在在 zox 平面上平面上的投影区域的投影区域.在在 xoy 平面：平面：在在 zox 平面：平面：六、小结六、小结1、曲面方程的概念、曲面方程的概念(2)旋转曲面旋转曲面.(1)柱面柱面(母线、准线母线、准线).2、空间曲线的一般方程、参数方程、空间曲线的一般方程、参数方程3、空间曲线在三个坐标面的投影柱面和投影直线、空间曲线在三个坐标面的投影柱面和投影直线