《函数与基本初等函数》函数的奇偶性和周期性.ppt

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1、 第第3 3课时函数的奇偶性和周期性课时函数的奇偶性和周期性 20112011考纲下考纲下载载1 1了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性断一些简单函数的奇偶性2 2掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并熟练地利用对掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题称性解决函数的综合问题 新课标新课标考试大纲考试大纲把函数的奇偶性又提到与函数的单调把函数的奇偶性又提到与函数的单调性同等地位，因此，函数的奇偶性在新高考中占有重要的性同等地位，因此，函数的奇偶性在新高考中占有重要的地位，成为新的热点，

2、在命题时主要是与函数的概念、图地位，成为新的热点，在命题时主要是与函数的概念、图象、性质综合在一起考查而近几年的高考中加大了对非象、性质综合在一起考查而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性，周期性的考查力三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性，周期性的考查力度度.请注意请注意!v1 1奇函数、偶函数、奇偶性奇函数、偶函数、奇偶性v对于函数对于函数f f(x x)，其定义域关于原点对称：，其定义域关于原点对称：v如果对于函数定义域内任意一个如果对于函数定义域内任意一个x x，都有，都有f f(x x)f f(x x)，那么函数，那么函数f f(x x)就是奇函数；就是奇函数；v

3、如果对于函数定义域内任意一个如果对于函数定义域内任意一个x x，都有，都有f f(x x)f f(x x)，那么函数，那么函数f f(x x)就就是偶函数；是偶函数；v如果一个函数是奇函数如果一个函数是奇函数(或偶函数或偶函数)，则称这个函数在其定义域内具有，则称这个函数在其定义域内具有奇偶性奇偶性课前自助餐课前自助餐课本导读课本导读v2 2证明函数奇偶性的方法步骤证明函数奇偶性的方法步骤v确定函数定义域关于确定函数定义域关于原点原点对称；对称；v判定判定f f(x x)f f(x x)()(或或f f(x x)f f(x x)，从而证得函数是奇，从而证得函数是奇(偶偶)函数函数v3 3奇偶函

4、数的性质奇偶函数的性质v奇函数图象关于奇函数图象关于原点原点对称，对称，v偶函数图象关于偶函数图象关于y y轴轴对称；对称；v若奇函数若奇函数f f(x x)在在x x0 0处有意义，则处有意义，则f f(0)(0)0 0；v奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性一致一致；v偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相反相反v若函数若函数f f(x x)为偶函数，则为偶函数，则f f(x x)f f(|(|x x|)|)，反之也成立，反之也成立v4 4周期函数周期函数

5、v若若f f(x x)对于定义域中任意对于定义域中任意x x均有均有f f(x xT T)f f(x x)(T T为不等于为不等于0 0的常数的常数)，则，则f f(x x)为为周期函数周期函数v1 1对任意实数对任意实数x x，下列函数中的奇函数是，下列函数中的奇函数是()v A Ay y2 2x x3 3B By y3 3x x2 2v C Cy yln5ln5x x D Dy y|x x|cos|cosx xv答案答案C Cv2 2若函数若函数y yf f(x x)()(x xR)R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y yf f(x x)图图象

6、上的是象上的是 ()v A A(a a，f f(a a)B)B(a a，f f(a a)v C C(a a，f f(a a)D)D(a a，f f(a a)v答案答案B Bv4 4(2010(2010广东卷广东卷)若函数若函数f f(x x)3 3x x3 3x x与与g g(x x)3 3x x3 3x x的定义域均为的定义域均为RR，则则()vA Af f(x x)与与g g(x x)均为偶函数均为偶函数vB Bf f(x x)为偶函数，为偶函数，g g(x x)为奇函数为奇函数vC Cf f(x x)与与g g(x x)均为奇函数均为奇函数vD Df f(x x)为奇函数，为奇函数，g

7、g(x x)为偶函数为偶函数v答案答案B Bv解析由解析由f f(x x)3 3x x3 3x xf f(x x)可知可知f f(x x)为偶函数，由为偶函数，由g g(x x)3 3x x3 3x x(3(3x x3 3x x)g g(x x)可知可知g g(x x)为奇函数为奇函数v5 5(2010(2010安徽卷安徽卷)若若f f(x x)是是R R上周期为上周期为5 5的奇函数，且满足的奇函数，且满足f f(1)(1)1 1，f f(2)(2)2 2，则，则f f(3)(3)f f(4)(4)()v答案答案A Av解析由于函数解析由于函数f f(x x)的周期为的周期为5 5，所以，所

8、以f f(3)(3)f f(4)(4)f f(2)2)f f(1)1)，又，又f f(x x)为为RR上的奇函数，上的奇函数，f f(2)2)f f(1)1)f f(2)(2)f f(1)(1)2 21 11.1.题型一题型一 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性授人以渔授人以渔v探究探究1 1判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：v(1)(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，函数既不是奇函数也不是偶函数；若

9、函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断再判断f f(x x)是否等于是否等于f f(x x)v(2)(2)图象法：奇图象法：奇(偶偶)函数的充要条件是它的图象关于原点函数的充要条件是它的图象关于原点(或或y y轴轴)对称对称v(3)(3)性质法：偶函数的和、差、积、商性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零分母不为零)仍为偶函数；奇函数的仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇和、差仍为奇函数；奇(偶偶)数个奇函数的积、商数个奇函数的积、商(分母不为零分母不为零)为奇为奇(偶偶)函数；函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用上述结论时要注意各注：

10、利用上述结论时要注意各函数的定义域函数的定义域)v思考题思考题1 1判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性p(2)g(x)(2)g(x)的定义域为的定义域为RRp当当a a0 0时，时，g(x)g(x)x x2 2|x|x|pg(g(x)x)(x)x)2 2|x|x|x x2 2|x|x|g(x)g(x)p此时此时g(x)g(x)为偶函数为偶函数p当当a0a0时，时，g(a)g(a)a a2 2，g(g(a)a)a a2 22|a|2|a|p显然显然g(a)g(g(a)g(a)a)，g(a)g(a)g(g(a)a)p此时此时g(x)g(x)既不是奇函数，也不是偶函数既不是奇函数，也不是偶函数

11、题型二题型二 奇偶性的应用奇偶性的应用v(3)(3)f f(x x1)1)为偶函数为偶函数v函数函数g g(x x)f f(x x1)1)的图象关于直线的图象关于直线x x0 0对称对称v又函数又函数f f(x x)的图象是由函数的图象是由函数g g(x x)f f(x x1)1)的图象向右平移一个单位而得的图象向右平移一个单位而得v函数函数f f(x x)的图象关于直线的图象关于直线x x1 1对称对称v探究探究2 2奇偶函数的性质主要体现在奇偶函数的性质主要体现在v若若f f(x x)为奇函数，则为奇函数，则f f(x x)f f(x x)v若若f f(x x)为偶函数，则为偶函数，则f

12、f(x x)f f(x x)v奇偶函数的对称性奇偶函数的对称性v奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性v思考题思考题2(1)若函数若函数f(x)是是R上的偶函数，且在上的偶函数，且在0，)上是减函数，满上是减函数，满足足f()f(a)的实数的实数a的取值范围是的取值范围是_v【解析解析】若若a0，f(x)在在0，)上是减函数，且上是减函数，且f()f(a)，得，得a.v若若a0，f()f(),则由则由f(x)在在0，)上是减函数，得知上是减函数，得知f(x)在在(，0上是增函数上是增函数v由于由于f()v即即a0.v由上述两种情况知由上述两种情况知a(，)

13、v【答案答案】(，)v(2)函数函数yf(x2)为奇函数，则函数为奇函数，则函数yf(x)的图象的对称中心为的图象的对称中心为_v【解析解析】f f(x x2)2)为奇函数为奇函数vf f(x x2)2)的图象的对称中心为的图象的对称中心为(0,0)(0,0)v又又f f(x x)的图象可由函数的图象可由函数f f(x x2)2)的图象向左平移两个单位而得的图象向左平移两个单位而得vf f(x x)的图象的对称中心为的图象的对称中心为(2,0)2,0)v题型三题型三 函数的周期性函数的周期性v例例3 3(09(09山东山东)已知定义在已知定义在RR上的奇函数上的奇函数f f(x x)满足满足f

14、 f(x x4)4)f f(x x)，且在区，且在区间间0,20,2上是增函数若方程上是增函数若方程f f(x x)m m(m m0)0)在区间在区间 8,88,8上有四个不同的根上有四个不同的根x x1 1，x x2 2，x x3 3，x x4 4，则，则x x1 1x x2 2x x3 3x x4 4_v【解析解析】由由f f(x x4)4)f f(x x)f f(4(4x x)f f(x x)，故函数图象关于直线，故函数图象关于直线x x2 2对对称，又函数称，又函数f f(x x)在在0,20,2上是增函数，且为奇函数，故上是增函数，且为奇函数，故f f(0)(0)0 0，故函数，故函

15、数f f(x x)在在(0,2)(0,2)上大于上大于0 0，根据对称性知函数，根据对称性知函数f f(x x)在在2,42,4上大于上大于0 0，同理推知函数，同理推知函数f f(x x)在在4,84,8上小于上小于0 0，故在区间，故在区间0,80,8上方程上方程f f(x x)m m(m m0)0)的两根关于直线的两根关于直线x x2 2对对称，故此两根之和等于称，故此两根之和等于4 4，根据，根据f f(x x4)4)f f(x x)f f(x x8)8)f f(x x4)4)f f(x x)，函数函数f f(x x)以以8 8为周期，故在区间为周期，故在区间(8,0)8,0)上方程上

16、方程f f(x x)m m(m m0)0)的两根关于直线的两根关于直线x x6 6对称，此两根之和等于对称，此两根之和等于1212，综上四个根之和等于，综上四个根之和等于8.8.v【答案答案】8 8v探究探究3 3证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义。证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义。v若函数若函数f f(x x)对任意对任意x x满足满足f f(x xa a)f f(x xb b)，则，则f f(x x)为周期函数，若函数为周期函数，若函数f f(x x)对任意对任意x x满足满足f f(x xa a)f f(b bx x)，则函数图象为轴对称图形，则函数图象为轴对称图形v思考题思考

17、题3 3f f(x x)的定义域为的定义域为RR的奇函数，且图象关于直线的奇函数，且图象关于直线x x1 1对称，试判对称，试判断断f f(x x)的周期性的周期性v【答案答案】T T4 4【答案答案】T T2 2v求求x x5,75,7时，时，f f(x x)的解析式的解析式v【解析解析】解析一解析一f f(1 1x x)f f(1(1x x)vf f(x x)f f(2(2x x)，f f(x x)为周期函数，为周期函数，T T2 2vf f(x x)为偶函数为偶函数vx x1,01,0时，时，x x0,10,1vf f(x x)f f(x x)x x1 1vx x5,65,6时，时，x

18、x661,01,0vf f(x x)f f(x x6)6)(x x6)6)1 1x x5 5vx x6,76,7时，时，x x60,160,1vf f(x x)f f(x x6)6)(x x6)6)1 1x x7 7v思考题思考题4 4已知定义在已知定义在RR上的函数上的函数f f(x x)是偶函数，对是偶函数，对x xRR，f f(2(2x x)f f(2(2x x)，当，当f f(1)1)2 2时，时，f f(2011)(2011)的值为的值为_v【解析解析】因为定义在因为定义在RR上的函数上的函数f f(x x)是偶函数，所以是偶函数，所以f f(2(2x x)f f(2(2x x)f f(x x2)2)，故函数，故函数f f(x x)是以是以4 4为周期的函数，所以为周期的函数，所以f f(2011)(2011)f f(1 14 4503)503)f f(1)1)2.2.v【答案答案】2 2本课总结本课总结课时作业（课时作业（课时作业（课时作业（6 6）