线性系统理论5系统的运动稳定性.ppt

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1、第五章第五章 系统的运动稳定性系统的运动稳定性5.1 Lyapunov5.1 Lyapunov意义下的运动稳定性意义下的运动稳定性 5.1.1 5.1.1 系统的运动与平衡系统的运动与平衡系统系统:,如果存在如果存在某个状态某个状态 ,满足满足:则称则称 为系统的一个平衡点或平衡状态。为系统的一个平衡点或平衡状态。令令则则 为系统的平衡点的集合。为系统的平衡点的集合。中的孤立中的孤立点称为系统的孤立平衡点。点称为系统的孤立平衡点。例例5.1.1 考考虑虑下述定常下述定常线线性系性系统统容易求得其平衡点集容易求得其平衡点集为为显显然，然，即即为为三三维维空空间间中的中的超平面，是一个稠密集。超平

2、面，是一个稠密集。5.1.2 Lyapunov5.1.2 Lyapunov意义下的运动稳定性定意义下的运动稳定性定义义的任一初的任一初态态 为为Lyapunov意意 义义下下稳稳定的，如果定的，如果对给对给定的任一定的任一实实数数定义定义 （Lyapunov意义下的稳定性）意义下的稳定性）设设:为为系系统统 的一个平衡状的一个平衡状态态，称，称都都对应对应地存在一个地存在一个实实数数使得由使得由满满足不等式足不等式 出出发发的受的受扰扰运运动动都都满满足足不等式不等式 的的稳稳定等定等价于一致价于一致稳稳定，但定，但对时变对时变系系统统，出出现现的受的受扰扰运运动动都是都是Lyapunov意意

3、义义下下为稳为稳定的。定的。的的稳稳定并定并不意味着其不意味着其为为一致一致稳稳定，而且，从定，而且，从实际实际的角的角度而言，常要求一致度而言，常要求一致稳稳定，以便在任一初始定，以便在任一初始时时刻刻定义定义（Lyapunov意义下的一致稳定性）意义下的一致稳定性）在上述在上述Lyapunov意义下的稳定性定义中，意义下的稳定性定义中，如果如果的的选选取无关，取无关，则进则进一步称平衡状一步称平衡状态态是一致是一致稳稳定的。定的。对对于定常系于定常系统统，的的选选取只依取只依赖赖于于而与初始而与初始时时刻刻 1、是是Lyapunov意意义义下下为稳为稳定的，即定的，即满满足上足上 述关于述

4、关于稳稳定的定定的定义义。定义定义（Lyapunov意义下的渐近稳定性）意义下的渐近稳定性）动力学系统动力学系统:的一个平衡状的一个平衡状态态2、对对 出出发发的受的受扰扰运运动动都同都同时满时满足不等式足不等式 称称为为是是渐渐近近稳稳定的，如果定的，如果和任意和任意给给定的定的实实数数对应对应地存在地存在实实数数使得由使得由满满足不等式足不等式 的任一初的任一初态态和和定义定义5.1.4 （Lyapunov意义下的一致渐近意义下的一致渐近稳定性）稳定性）如果在上述如果在上述LyapunovLyapunov意义下的渐意义下的渐近稳定性定义中，实数近稳定性定义中，实数依依赖赖于初始于初始时时刻

5、刻，那么称平衡状，那么称平衡状态态是一致是一致渐渐近近稳稳定的。定的。的大小都不的大小都不的一个平衡状的一个平衡状态态，如果以状，如果以状态态空空间间中的任一中的任一有限点有限点定义定义 （LyapunovLyapunov意义下的大范围渐近意义下的大范围渐近稳定性）稳定性）设设都是有界的，且成立都是有界的，且成立 则则称系称系统统的平衡状的平衡状态态为为系系统统为为初始状初始状态态的受的受扰扰运运动动是大范是大范围渐围渐近近稳稳定的。定的。（Lyapunov意义下的不稳定定义）意义下的不稳定定义）设设 的任一初的任一初态态出出发发的运的运动动满满足不等式足不等式的一个平衡状的一个平衡状态态，如

6、果，如果对对于不管取多么大的于不管取多么大的有限有限实实数数为为系系统统，都不可能找到相，都不可能找到相应应的的实实数数，使得由，使得由满满足不等式足不等式则则称平衡状称平衡状态态为为不不稳稳定的。定的。（指数稳定的定义）设（指数稳定的定义）设的一个平衡状的一个平衡状态态，如果，如果对对于任意的有限于任意的有限实实数数使得由使得由满满足不等式足不等式 的任一初的任一初态态出出发发的运的运动满动满足不等式足不等式为为系系统统,都存在相都存在相应应的的实实数数和和 则则称平衡状称平衡状态态为为指数指数稳稳定的。定的。（全局指数稳定的定义）（全局指数稳定的定义）设设的一个平衡状的一个平衡状态态，如果

7、，如果对对于任意的有限于任意的有限实实数数 的任一初的任一初态态出出发发的运的运动满动满足不等式足不等式为为系系统统，都存在相，都存在相应应的的实实数数和和使得由使得由满满足不等式足不等式 则则称平衡状称平衡状态态为为全局指数全局指数稳稳定的。定的。5.1.3 5.1.3 关于稳定性定义的几点说明关于稳定性定义的几点说明 稳稳定定性性是是动动力力学学系系统统的的性性质质,稳稳定定性性是是针针对对系系统统的的平平衡衡状状态态而而言言的的,只只有有对对于于具具有有惟惟一一平平衡衡点点或或者者是是其其所所有有平平衡衡状状态态为为同同时时稳稳定定或或不不稳稳定定的的系系统统言言及系统稳定与否才有意义及

8、系统稳定与否才有意义.初初始始时时刻刻的的影影响响决决定定了了稳稳定定性性是是否一致的问题否一致的问题.在渐近稳定性的定义中在渐近稳定性的定义中 表表征征了了稳稳定定平平衡衡状状态态所所允允许许的的初初值值扰扰动动范范围围,称称为为平平衡衡状状态态的的吸吸收收域域。它它决决定定了了渐渐近近稳稳定定性性的的全全局局性性和和局局部部性性，即即当当 可可取取为为整整个个 维维空空间间时时，相相应应的的稳稳定定性性便便是是全全局局稳定的，否则为局部渐近稳定的。稳定的，否则为局部渐近稳定的。5.Lyapunov5.Lyapunov稳定性稳定性 与微分方程解关于初与微分方程解关于初值的连续性依赖性值的连续

9、性依赖性 在微分方程理论中在微分方程理论中,解的适定性解的适定性,即解即解的存在性的存在性,惟一性及它对初值的连续依惟一性及它对初值的连续依赖性赖性,是一个非常重要的内容是一个非常重要的内容.5.1.4 Lyapunov5.1.4 Lyapunov第二方法的主要定理第二方法的主要定理 LyapunovLyapunov把把动动力力学学系系统统稳稳定定性性的的方方法法归归纳纳为为本本质质不不同同的的两两种种方方法法,分分别别称称为为LyapunovLyapunov第第一一方方法法(间间接接法法:通通过过对对线线性性化化方方程程的的稳稳定定性性分分析析给给出出原原非非线线性性系系统统在在小小范范围围

10、内内稳稳定定性性的的信信息息)和和第第二二方方法法(直直接接法法:通通过过构构造造一一类类似似于于“能能量量”函函数数,分分析析它它及及其其一一次次导导数数的的定定号性而获得系统稳定性的有关信息号性而获得系统稳定性的有关信息)均具有一均具有一阶连续阶连续偏偏导导数。数。中包含原点中包含原点1.2.3.定义定义5.1.9 设设为为是定是定义义在在的一个封闭有限区域；的一个封闭有限区域；上的一个上的一个标标量函数。如果量函数。如果 关于关于和和有界正定，即存在两个有界正定，即存在两个连续连续的的和和满满足足 非减标量函数非减标量函数并使得并使得对对任何任何和和有有:则则称称上的一个上的一个（时变）

11、正定函数。进一步，如果（时变）正定函数。进一步，如果 具有无具有无穷穷大性大性质质。是定是定义义在在，则则称正定函数称正定函数1.2.3.对对于任何于任何上的一个上的一个时时不不变变正定函数。正定函数。定义定义5.1.10 设设为为中包含中包含为为定定义义在在上的一个上的一个标标量函数。如果量函数。如果原点的一个区域；原点的一个区域；对对于向量于向量的所有分量均有的所有分量均有连续连续偏导数。偏导数。有有，则则称称为为定定义义在在进进一步，如果一步，如果，则则称正定函数称正定函数具有无具有无穷穷大性大性质质。如果存在包含原点的某邻域如果存在包含原点的某邻域有界正定函数有界正定函数的全的全导导数

12、在数在上上为为有界半有界半负负定的（或定的（或负负定的），定的），则该则该系系统统的零平衡状的零平衡状态态是一致是一致稳稳定的（或一定的（或一致致渐渐近近稳稳定的）。定的）。和定和定义义在在上的一个上的一个，它沿着系，它沿着系统统上的一个有界正定函数上的一个有界正定函数定理定理5.1.2 如果存在一个具有无穷大性质如果存在一个具有无穷大性质的定义在的定义在，它沿着系，它沿着系统统 的的导导数数在在上一致有界一致上一致有界一致负负定，定，则该则该系系统统的零平的零平衡点衡点为为全局一致全局一致渐渐近近稳稳定的。定的。内内为为半半负负定定的的（或或负负定定的的），则则该该系系统统的的零零平平衡衡点

13、点为为局局部部稳稳定定（或或渐渐近近稳稳定）的。定）的。如果在原点的某邻域如果在原点的某邻域内存在一个正定函数内存在一个正定函数，它沿着系，它沿着系统统的全的全导导数在数在 如果在原点的某邻域如果在原点的某邻域内存在一个正定函数内存在一个正定函数，它沿着系，它沿着系统统的全的全导导数数在在内内为为半半负负定的，但在定的，但在内内在系在系统统的非零解上非零，的非零解上非零，则该则该系系统统的零平衡点的零平衡点为渐为渐近近稳稳定。定。定理定理5.1.5 如果在如果在 上存在一个具上存在一个具有无有无穷穷大性大性质质的正定函数的正定函数 ，它，它沿着系沿着系统统的全的全导导数数在在 内内为为负负定定

14、的的，则则该该系系统统的的零零平平衡衡点点为为全全局局渐渐近近稳稳定定 的。的。如果在原点的某邻域如果在原点的某邻域 内内为为正定，正定，则则该该系系统统的零解的零解为为不不稳稳定的。定的。内存在一个正定函数，它沿着系内存在一个正定函数，它沿着系统统的全的全导导数数在在5.2 5.2 线性时变系统的稳定性判定线性时变系统的稳定性判定5.2.1 5.2.1 线性系统稳定性的特殊性线性系统稳定性的特殊性命题命题 如果线性系统如果线性系统的零平衡点的零平衡点稳稳定，定，则则其一切其它非零平衡其一切其它非零平衡点亦点亦稳稳定。定。的零解的零解为渐为渐近近稳稳定的，定的，则则其必其必为为全局全局渐渐近近

15、稳稳定。定。如果线性系统如果线性系统命题命题 线性系统线性系统的指数的指数稳稳定性与全局指数定性与全局指数稳稳定性等价。定性等价。上有界，即存在正常数上有界，即存在正常数5.2.2 5.2.2 直接判据直接判据定理定理 设设的状的状态转态转移矩移矩阵阵，则则系系统统为为：1.稳稳定的充要条件是定的充要条件是2.一致一致稳稳定的充要条件是定的充要条件是上一致有界，即存在与上一致有界，即存在与无关的正常数无关的正常数，使得，使得 为为系系统统在在，使得，使得 在在3.渐渐近近稳稳定的充要条件是定的充要条件是 4.一致一致渐渐近近稳稳定的充要条件是存在与定的充要条件是存在与无关的正常数无关的正常数，

16、使得，使得 考考虑虑下述下述时变时变系系统统从而由定理从而由定理5.2.15.2.1显见该显见该系系统为渐统为渐近近稳稳定的。定的。下面将考察下面将考察该该系系统统的一致的一致渐渐近近稳稳定性。定性。据定理据定理5.2.15.2.1，如果，如果该该系系统为统为一致一致渐渐近近稳稳定，定，则则存在正数存在正数容易求得其状容易求得其状态转态转移矩移矩阵为阵为和和满满足足也即也即其一致其一致渐渐近近稳稳定性等价于指数定性等价于指数稳稳定性。定性。推论推论5.2.15.2.1 对于线性系统对于线性系统由于上式右端是一个正数，而左端收由于上式右端是一个正数，而左端收敛敛到到因而因而为为一个矛盾不等式。此

17、即一个矛盾不等式。此即说说明明该该系系统为统为非一致非一致渐渐近近稳稳定的。定的。一致一致渐渐近近稳稳定。定。分段分段连续连续，则则定理定理5.2.25.2.2 设设稳稳定。定。一致一致稳稳定。定。2.1.3.渐渐近近稳稳定。定。4.上的一个分段上的一个分段连续连续的的实对实对称矩称矩阵阵函数，函数，它称它称为为是一致有界和一致正定的，如果是一致有界和一致正定的，如果存在正存在正实实数数5.2.3 Lyapunov5.2.3 Lyapunov定理定理定义定义 设设为为定定义义在在，使成立，使成立 收收敛敛，且，且为为下述下述 矩矩阵阵微分方程微分方程 引理引理5.2.15.2.1 是系统是系统

18、是一致是一致渐渐近近稳稳定的，定的，为为其状其状态态 为为一致有界，一致一致有界，一致转移矩阵。转移矩阵。正定的矩阵，则积分正定的矩阵，则积分 对对于任何于任何的唯一解。的唯一解。有唯一的有唯一的实对实对称、一致有界和一致正定称、一致有界和一致正定的矩的矩阵阵解解的元均的元均为为分段分段连续连续，一致有界的，一致有界的实实函数。函数。则则原点平衡状原点平衡状态为态为一致一致渐渐近近稳稳定的充要定的充要条件是条件是对对任意任意给给定的一个定的一个实对实对称、一致称、一致有界和一致正定的有界和一致正定的时变时变矩矩阵阵 。定理定理 考虑线性时变系统考虑线性时变系统为为其唯一的平衡状其唯一的平衡状态

19、态，LyapunovLyapunov矩矩阵阵微分方程：微分方程：。推论推论5.2.25.2.2 设设为为上的一致有界分段上的一致有界分段连续连续矩矩阵阵，且，且 则则系系统统 一致一致渐渐近近稳稳定。定。5.3 5.3 线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性 定理定理 对于系统对于系统有以下有以下结论结论：的所有的所有特征值均具有非正实部，且其具有零实部特征值均具有非正实部，且其具有零实部的特征值为其最小多项式的单根，也即在的特征值为其最小多项式的单根，也即在矩阵矩阵A A的的JordanJordan标准型中，与标准型中，与A A的零实部特的零实部特征值相关联的征值相关联的JordanJor

20、dan块均为一阶的。块均为一阶的。所有特征值均具有负实部。所有特征值均具有负实部。，则则1.1.矩矩阵阵A A称称为为HurwitzHurwitz稳稳定的，如果矩定的，如果矩阵阵A A的所有特征的所有特征值值均具有均具有负实负实部。部。2.2.矩矩阵阵A A称称为临为临界界HurwitzHurwitz稳稳定的，如果定的，如果矩矩阵阵A A是非是非HurwitzHurwitz稳稳定的，但它的所有定的，但它的所有特征特征值值均具有非正均具有非正实实部，且其具有零部，且其具有零实实部的特征部的特征值为值为其最小多其最小多项项式的式的单单根。根。定义定义5.3.15.3.1 设设均大于均大于0 0。这

21、这里，里，。HurwitzHurwitz定理定理 给给定定实实系数多系数多项项式式 其所有根均在复平面左半平面的充要条件其所有根均在复平面左半平面的充要条件是下述行列式是下述行列式 因而因而该该系系统统为为非非渐渐近近稳稳定的。由于矩定的。由于矩阵阵 本身本身为为对对角角阵阵，即其，即其JordanJordan标标准型准型为为其自身，其自身，而特征而特征值值0 0例例5.3.15.3.1 考考虑虑下述定常下述定常线线性系性系统统显显然其特征然其特征值为值为和和 所在的两个所在的两个JordanJordan块块均均为为一一阶阶的，故的，故该该系系统稳统稳定。定。5.3.2 Lyapunov5.3

22、.2 Lyapunov定理定理定理定理 定常线性系统定常线性系统为渐为渐近近稳稳定的充要条件是矩定的充要条件是矩阵阵方程方程 对对任意任意给给定的正定定的正定对对称矩称矩阵阵都有唯一正定都有唯一正定对对称解称解推论推论 矩阵方程矩阵方程有唯一正定有唯一正定对对称解称解的充要条件，是矩的充要条件，是矩阵阵的特征的特征值值都有都有负实负实部。部。阶阶正定正定对对称矩称矩阵阵推论推论5.3.25.3.2 任意给定任意给定以及正数以及正数，矩，矩阵阵方程方程 有唯一正定有唯一正定对对称解的充要条件是矩称解的充要条件是矩阵阵的每个特征的每个特征值值满满足不等式足不等式 渐渐近近稳稳定的充要条件是，定的充

23、要条件是，对对任意任意给给定的定的，当，当定理定理5.3.35.3.3 定常系统定常系统阶阶非非负负定定对对称矩称矩阵阵能能观测时观测时，矩，矩阵阵方程方程 有唯一对称正定解。有唯一对称正定解。事实事实 存在具有正实部特征值的存在具有正实部特征值的 阶阶实矩阵实矩阵 和具有互异特征值的和具有互异特征值的 阶反对称阶反对称矩阵矩阵 ，使得对于任何，使得对于任何 均有均有 事实事实 对于任何具有正实部特征值对于任何具有正实部特征值的的 阶实矩阵阶实矩阵 和具有互异特征值的和具有互异特征值的 阶阶反对称矩阵反对称矩阵 ，系统，系统 均均为为不不稳稳定的。定的。5.3.3 5.3.3 关于关于”冻结法

24、冻结法”的讨论的讨论5.4 5.4 二阶动力学系统的稳定性二阶动力学系统的稳定性5.4.1 5.4.1 二阶动力学系统的状态空间描述二阶动力学系统的状态空间描述二阶动力学系统二阶动力学系统的稳定性由其自由系统的稳定性由其自由系统的稳定性完全决定。如果令的稳定性完全决定。如果令 系统的状态空间描述系统的状态空间描述5.4.2 5.4.2 预备引理预备引理则则系系统统渐渐近近稳稳定。定。引理引理5.4.15.4.1 设设均均为为阶实阶实方方阵阵，且且 1.2.3.4.能能观观 5.4.3 5.4.3 充分判据充分判据 二阶动力系统二阶动力系统:渐近稳定的充分条件是渐近稳定的充分条件是:表达，其参数

25、矩表达，其参数矩阵为阵为例例5.4.1 考考虑虑两个两个卫卫星交会星交会时时的控制的控制问题问题。设设目目标卫标卫星相星相对对于追于追击卫击卫星的运星的运动动由模型由模型这这里里为为地球旋地球旋转转角速度。取控制律参数角速度。取控制律参数为为则则有有5.5 5.5 线性系统的外部稳定性线性系统的外部稳定性5.5.1 5.5.1 有界输入有界输出稳定性及其判据有界输入有界输出稳定性及其判据当当时时，条件，条件成立，成立，闭环闭环系系统稳统稳定。定。则称此因果系统是外部稳定的，也即是有则称此因果系统是外部稳定的，也即是有界输入界输入有界输出稳定的，并简称为有界输出稳定的，并简称为BIBOBIBO稳

26、定。稳定。定义定义5.5.15.5.1 考虑一个线性因果系统，如果考虑一个线性因果系统，如果在零初始条件下，对应于任何一个有界的在零初始条件下，对应于任何一个有界的输入输入，即，即满满足条件足条件 的的输输入入，所，所产产生的生的输输出出也是有界的，即成立也是有界的，即成立 定理定理 （时变情况）对于零初始条件时变情况）对于零初始条件的线性时变系统，表的线性时变系统，表矩阵，则系统为矩阵，则系统为BIBOBIBO稳定的充要条件是，稳定的充要条件是，存在一个有限常数存在一个有限常数，均均满满足关系式足关系式 为为其脉冲响其脉冲响应应，使，使对对于一切于一切 的每一个元的每一个元定理定理 （定常情

27、况）对于零初始条件（定常情况）对于零初始条件的线性定常系统，设初始时刻的线性定常系统，设初始时刻则系统为则系统为BIBOBIBO稳定的充要条件是，存在一稳定的充要条件是，存在一个有限常数个有限常数为为其脉冲响其脉冲响应应矩矩阵阵，为为其其传递传递函数矩函数矩阵阵，为为真的有理分式函数真的有理分式函数，使得，使得的每一个元的每一个元均均满满足关系式足关系式 或者等价地，当或者等价地，当每一个元每一个元的所有极点均具有的所有极点均具有负实负实部。部。矩阵时，矩阵时，5.5.2 5.5.2 内部稳定性与外部稳定性的关系内部稳定性与外部稳定性的关系是内部是内部稳稳定的，定的，则则其必是其必是BIBOBIBO稳稳定的。定的。为为能控和能能控和能观测观测，则则其内部其内部稳稳定性与外部定性与外部稳稳定性必是等价的。定性必是等价的。定理定理5.5.35.5.3 设线性定常设线性定常系系统统定理定理5.5.45.5.4 如果线性定常系统如果线性定常系统