常用数值分析方法1非线性方程求根.ppt

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1、 04:16 10/28/20221/45X.Z.Lin第一章第一章材料科学研究中的常用材料科学研究中的常用数值分析方法数值分析方法WY 04:16 10/28/20222/44主主 要要 内内 容容1非线性方程求解非线性方程求解2线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法3插值法与曲线拟合插值法与曲线拟合4有限差分法与有限单元法有限差分法与有限单元法WY 04:16 10/28/20223/441 非线性方程求解非线性方程求解1.1概概述述1.2对分法对分法1.3迭代法迭代法1.4Newton法法1.5弦截法弦截法其其他他方方法法：Aitken加加速速法法、Steffensen加加速速法法、重

2、重根根加加速速收收敛敛法法、抛抛物物线线法法、牛牛顿顿下下山法、劈因子法等。山法、劈因子法等。WY 04:16 10/28/20224/44 非线性方程求解概述非线性方程求解概述 很多科学计算问题常很多科学计算问题常很多科学计算问题常很多科学计算问题常常归结为求解方程：常归结为求解方程：常归结为求解方程：常归结为求解方程：WY 04:16 10/28/20225/44非线性方程求解概述非线性方程求解概述(续）续）例如，从曲线例如，从曲线例如，从曲线例如，从曲线y y=x x和和和和y y=lg xlg x的简单草图可看出方程的简单草图可看出方程的简单草图可看出方程的简单草图可看出方程lglg

3、x x+x x=0=0有唯一的正根有唯一的正根有唯一的正根有唯一的正根x x*，但是没有求，但是没有求，但是没有求，但是没有求x x*的准确值的的准确值的的准确值的的准确值的已知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难已知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难已知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难已知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。对于二次方程的。对于二次方程的。对于二次方程的。对于二次方程axax2 2+bx+cbx+c=0=0，我们可以用熟悉的求，我们可以用熟悉的求，我们可以用熟悉的求，我们可以用熟悉的求根公式：根公式：根公式：根公式：对于三、四次代数方

4、程，尽管存在求解公式，但并对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须有求根公式

5、。因此，为求解一个非线性方程，我们必须有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。依靠某种数值方法来求其近似解。依靠某种数值方法来求其近似解。依靠某种数值方法来求其近似解。对于方程（对于方程（对于方程（对于方程（1-11-1）要求得其准确解一般来说是不可能的。）要求得其准确解一般来说是不可能的。）要求得其准确解一般来说是不可能的。）要求得其准确解一般来说是不可能的。WY 04:16 10/28/20226/44求方程根近似解的几个问题：求方程根近似解的几个问题：设函数设函数设函数设函数f f(x x)在区间在区间

6、在区间在区间 a a,b b 上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且f f(a a)f f(b b)00,)0,f f(0)=10,(0)=10,f f(3)=(3)=260,260)0所以仅有二个实根，分别位于所以仅有二个实根，分别位于所以仅有二个实根，分别位于所以仅有二个实根，分别位于(0,3),(3,(0,3),(3,)内。又因内。又因内。又因内。又因f f(4)=10,(4)=10,所以，二个隔根区所以，二个隔根区所以，二个隔根区所以，二个隔根区间确定为间确定为间确定为间确定为(0,3),(3,4)(0,3),(3,4)。例例例例2 2WY 0

7、4:16 10/28/20229/44从区间从区间从区间从区间 a a,b b 的左端点的左端点的左端点的左端点a a出发，按选定的步长出发，按选定的步长出发，按选定的步长出发，按选定的步长h h一步一步一步一步步向右搜索，步向右搜索，步向右搜索，步向右搜索，若若若若:则：区间则：区间则：区间则：区间 a a+jhjh,a a+(+(j j+1)+1)h h 内必有根。搜索过程内必有根。搜索过程内必有根。搜索过程内必有根。搜索过程也可以从也可以从也可以从也可以从 b b开始，这时应取步长开始，这时应取步长开始，这时应取步长开始，这时应取步长h h00。求出根的隔离区间后，就可采用适当的方求出根

8、的隔离区间后，就可采用适当的方求出根的隔离区间后，就可采用适当的方求出根的隔离区间后，就可采用适当的方 法，使其法，使其法，使其法，使其进一步精确化进一步精确化进一步精确化进一步精确化。下面介绍几种常用的精确化根的方法（非线性方程求解的方法）下面介绍几种常用的精确化根的方法（非线性方程求解的方法）下面介绍几种常用的精确化根的方法（非线性方程求解的方法）下面介绍几种常用的精确化根的方法（非线性方程求解的方法）2.逐步搜索法：逐步搜索法：WY 04:16 10/28/202210/441.2对分法对分法（二分法）（二分法）设设设设f f(x x)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上连续，严

9、格单调，且上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且f f(a a)f f(b b)0)0，不妨设，不妨设，不妨设，不妨设f f(a a)0,)0)0，则方程，则方程，则方程，则方程f f(x x)=0)=0在在在在 a a,b b 内存在内存在内存在内存在唯一实根，对分法的唯一实根，对分法的唯一实根，对分法的唯一实根，对分法的基本思想基本思想基本思想基本思想是：用对分区间的方法，通是：用对分区间的方法，通是：用对分区间的方法，通是：用对分区间的方法，通过判别函数过判别函数过判别函数过判别函数f f(x x)在每个对分区间中点的符号，逐步将有根在每个对分区间中点的符号，逐步将

10、有根在每个对分区间中点的符号，逐步将有根在每个对分区间中点的符号，逐步将有根区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体步骤为体步骤为体步骤为体步骤为:WY 04:16 10/28/202211/44对分法（续）对分法（续）若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限地进行下去，当上述过程将无限地进行下去，当n时，区间将时，区间将最终收缩为一点最终收缩为一点x*，显然，显然x*就是所求方程

11、的根。就是所求方程的根。WY 04:16 10/28/202212/44abx1x2abWhentostop?或或不能保证不能保证x的精度的精度x*2xx*对分法的几何意义对分法的几何意义WY 04:16 10/28/202213/44对分法的误差估计对分法的误差估计作为作为作为作为x x*的近似值，则误差为：的近似值，则误差为：的近似值，则误差为：的近似值，则误差为：只要只要只要只要n n足够大（即区间对分次数足够多），足够大（即区间对分次数足够多），足够大（即区间对分次数足够多），足够大（即区间对分次数足够多），x xn n的误差就的误差就的误差就的误差就可足够小，且只要可足够小，且只要可

12、足够小，且只要可足够小，且只要f f(x x)连续，对分区间总是收敛的。连续，对分区间总是收敛的。连续，对分区间总是收敛的。连续，对分区间总是收敛的。式（式（式（式（1-21-2）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以用给定的误差限用给定的误差限用给定的误差限用给定的误差限 估计出对分区间的次数，因为由式估计出对分区间的次数，因为由式估计出对分区间的次数，因为由式估计出对分区间的次数，因为由式（1-21-2）有：）有：）有：）有：若取区间若取区间若取区间若取区间 a an n

13、,b bn n 的中点：的中点：的中点：的中点：WY 04:16 10/28/202214/44对分法举例对分法举例例例3解：解：解：解：因为：因为：因为：因为：f f(x x)连续且连续且连续且连续且f f (x x)=3)=3x x2 2+100+100(x x (,)，故：故：故：故：f f(x x)在在在在(,)上单调增加上单调增加上单调增加上单调增加而：而：而：而：f f(1)=(1)=90,90(2)=80所以：原方程在（所以：原方程在（所以：原方程在（所以：原方程在（1 1，2 2）内有唯一实根。）内有唯一实根。）内有唯一实根。）内有唯一实根。WY 04:16 10/28/202

14、215/44N Na an nb bn nx xn nf f(x xn n)0 01 12 21.51.5-1.625-1.6251 11.51.52 21.751.752.8593752.8593752 21.51.51.751.751.6251.6250.541015630.541015633 31.51.51.6251.6251.56251.5625-0.56030273-0.560302734 41.56251.56251.6251.6251.593751.59375-0.01431274-0.014312745 51.593751.593751.6251.6251.6093751.6

15、093750.262172700.262172706 61.593751.593751.60937501.60937501.60156251.60156250.123636720.123636727 71.593751.593751.60156251.60156251.59765621.59765620.054588850.054588858 81.593751.593751.59765621.59765621.59570311.59570310.020119790.020119799 91.593751.593751.59570311.59570311.59472661.59472660.0

16、02898960.0028989610101.593751.593751.59472661.59472661.59423831.5942383-0.00570803-0.0057080311111.59423831.59423831.59472661.59472661.59448241.5944824-0.00140482-0.0014048212121.59448241.59448241.59472661.59472661.59460451.59460450.000747000.0007470013131.59448241.59448241.59460451.59460451.5945436

17、1.5945436-0.00032893-0.0003289314141.59454361.59454361.59460461.59460461.59457411.5945741 表12WY 04:16 10/28/202216/44对分法的优缺点对分法的优缺点优点：优点：计算简单，方法可靠，容易估计误计算简单，方法可靠，容易估计误差。差。缺点：缺点：但它收敛较慢，不能求偶次重根，但它收敛较慢，不能求偶次重根，也不能求复根。也不能求复根。因此，一般在求方程近似根时，很少单因此，一般在求方程近似根时，很少单独使用，常用于为其他高速收敛算法（如牛独使用，常用于为其他高速收敛算法（如牛顿法）提供初值

18、。顿法）提供初值。WY 04:16 10/28/202217/441.3 1.3 迭代法迭代法 迭代法迭代法是求解方程是求解方程f(x)=0的根的一种主要方法。它是利的根的一种主要方法。它是利用同一个迭代公式，逐次逼近用同一个迭代公式，逐次逼近方程的根，使其得到满足预先方程的根，使其得到满足预先给定精度要求的近似值。给定精度要求的近似值。WY 04:16 10/28/202218/44迭代法的基本思想迭代法的基本思想迭代法是一种重要的逐次逼近法，其迭代法是一种重要的逐次逼近法，其迭代法是一种重要的逐次逼近法，其迭代法是一种重要的逐次逼近法，其基本思想基本思想基本思想基本思想是：是：是：是：设方

19、程设方程设方程设方程f f(x x)=0)=0在区间在区间在区间在区间 a a,b b 内有一根内有一根内有一根内有一根x x*，将方程化为等，将方程化为等，将方程化为等，将方程化为等价方程价方程价方程价方程x x=(x x)，并在，并在，并在，并在 a a,b b 内任取一点内任取一点内任取一点内任取一点x x0 0作为初始近似作为初始近似作为初始近似作为初始近似值，然后按迭代公式计算：值，然后按迭代公式计算：值，然后按迭代公式计算：值，然后按迭代公式计算：产生迭代序列产生迭代序列产生迭代序列产生迭代序列x x0 0,x x1 1,x xn n,显然，若显然，若显然，若显然，若 x xn n

20、 收敛于收敛于收敛于收敛于x x*，(x x)在在在在x x*处连续，就有处连续，就有处连续，就有处连续，就有:这种求根方法称为这种求根方法称为这种求根方法称为这种求根方法称为迭代法迭代法迭代法迭代法，式（，式（，式（，式（1-31-3）称为）称为）称为）称为迭代格式迭代格式迭代格式迭代格式，(x x)称为称为称为称为迭代函数迭代函数迭代函数迭代函数，x x0 0称为称为称为称为迭代初值迭代初值迭代初值迭代初值，x xn n 称为称为称为称为迭代序列迭代序列迭代序列迭代序列如果迭代序列收敛，则称迭代格式（如果迭代序列收敛，则称迭代格式（如果迭代序列收敛，则称迭代格式（如果迭代序列收敛，则称迭代

21、格式（1-31-3）收敛收敛收敛收敛，否，否，否，否则称为则称为则称为则称为发散发散发散发散。即：即：即：即：x x*是方程是方程是方程是方程f f(x x)=0)=0的解。的解。的解。的解。故：当故：当故：当故：当n n充分大时，可取充分大时，可取充分大时，可取充分大时，可取x xn n作为方程的近似解。作为方程的近似解。作为方程的近似解。作为方程的近似解。WY 04:16 10/28/202219/44迭代法举例迭代法举例例例4解：解：解：解：容易验证，方容易验证，方容易验证，方容易验证，方程在程在程在程在1,21,2内有根，内有根，内有根，内有根，取取取取x x0 0WY 04:16 1

22、0/28/202220/44例例4（续）（续）n nx xn nn nx xn n0 01.51.58 81.59449341.59449341 11.63265311.63265319 91.59459001.59459002 21.57908581.579085810101.59455081.59455083 31.60083091.600830911111.59456671.59456674 41.59201961.592019612121.59456031.59456035 51.59559281.595592813131.59456291.59456296 61.59414421.5

23、94144214141.59456181.59456187 71.59473151.594731515151.59456221.5945622表表1-2WY 04:16 10/28/202221/44迭代法举例（续）迭代法举例（续）例例例例5 5 解解解解：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：分别按以上三种分别按以上三种分别按以上三种分别按以上三种形式建立迭代格式，形式建立迭代格式，形式建立迭代格式，形式建立迭代格式，并取并取并取并取x x00=1=1进行迭代进行迭代进行迭代进行

24、迭代计算，结果如下：计算，结果如下：计算，结果如下：计算，结果如下：例例例例5 5的计算结果表明：的计算结果表明：的计算结果表明：的计算结果表明：将一方程化为等价方程的方法很多，由将一方程化为等价方程的方法很多，由将一方程化为等价方程的方法很多，由将一方程化为等价方程的方法很多，由此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而它们所此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而它们所此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而它们所此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而它们所产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收敛很快，也产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收敛很

25、快，也产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收敛很快，也产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收敛很快，也可能收敛很慢。可能收敛很慢。可能收敛很慢。可能收敛很慢。迭代法的收敛性取决于迭代函数在方程的根的迭代法的收敛性取决于迭代函数在方程的根的迭代法的收敛性取决于迭代函数在方程的根的迭代法的收敛性取决于迭代函数在方程的根的邻近的性态。邻近的性态。邻近的性态。邻近的性态。WY 04:16 10/28/202222/44迭代法的几何含义迭代法的几何含义从几何上看，迭代法是将求曲线从几何上看，迭代法是将求曲线从几何上看，迭代法是将求曲线从几何上看，迭代法是将求曲线y y=f f(x x)的零点

26、问题化为的零点问题化为的零点问题化为的零点问题化为求曲线求曲线求曲线求曲线y y=(x x)与直线与直线与直线与直线y y=x x的交点，迭代过程如图的交点，迭代过程如图的交点，迭代过程如图的交点，迭代过程如图1-21-2所示，所示，所示，所示，从初始点从初始点从初始点从初始点x x0 0出发，沿直线出发，沿直线出发，沿直线出发，沿直线x x=x x0 0走到曲线走到曲线走到曲线走到曲线y y=(x x)，得点，得点，得点，得点(x x0 0,(x x0 0)，再沿直线，再沿直线，再沿直线，再沿直线y y=(x x0 0)走到直线走到直线走到直线走到直线y y=x x，交点为，交点为，交点为，

27、交点为(x x1 1,(x(x1 1)，如此继续下去，越来越接近点，如此继续下去，越来越接近点，如此继续下去，越来越接近点，如此继续下去，越来越接近点(x x*,*,x x*)*)。yy=xy=(x)xx0 x2x*x1xyy y=x xy y=(x x)x x2 2x x0 0 x*x x1 1图图图图1-21-2迭代法收敛几何示意图迭代法收敛几何示意图迭代法收敛几何示意图迭代法收敛几何示意图（a a）两端收敛）两端收敛）两端收敛）两端收敛（b b）一端收敛）一端收敛）一端收敛）一端收敛WY 04:16 10/28/202223/44当然，迭代过程也可能出现图当然，迭代过程也可能出现图当然，

28、迭代过程也可能出现图当然，迭代过程也可能出现图1-31-3所示的情况，此时点所示的情况，此时点所示的情况，此时点所示的情况，此时点(x xn n,x xn n)越来越远离交点越来越远离交点越来越远离交点越来越远离交点(x x*,*,x x*)*)，迭代序列，迭代序列，迭代序列，迭代序列发散发散发散发散。由此可见，由此可见，由此可见，由此可见，使用迭代法必须解决两个问题使用迭代法必须解决两个问题使用迭代法必须解决两个问题使用迭代法必须解决两个问题：一是一是一是一是迭代迭代迭代迭代格式满足什么条件才能保证收敛；格式满足什么条件才能保证收敛；格式满足什么条件才能保证收敛；格式满足什么条件才能保证收敛

29、；二是二是二是二是如何判别迭代收敛如何判别迭代收敛如何判别迭代收敛如何判别迭代收敛的速度，建立收敛快的迭代格式。的速度，建立收敛快的迭代格式。的速度，建立收敛快的迭代格式。的速度，建立收敛快的迭代格式。迭代法的几何含义（续）迭代法的几何含义（续）yy=xy=(x)xx2x0 x*x3x1y=xy=(x)xx2x0 x*x1图图图图1-31-3迭代法发散几何示意图迭代法发散几何示意图迭代法发散几何示意图迭代法发散几何示意图（a a）两端发散）两端发散）两端发散）两端发散（b b）一端发散）一端发散）一端发散）一端发散WY 04:16 10/28/202224/44迭代法的收敛条件迭代法的收敛条件

30、（三大定理）（三大定理）（三大定理）（三大定理）定理定理（压缩映象原理）（压缩映象原理）（压缩映象原理）（压缩映象原理）设设设设函数函数函数函数 (x x)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上满足条件：上满足条件：上满足条件：上满足条件：则：则：则：则：方程方程方程方程x x=(x x)在在在在 a a,b b 内有唯一内有唯一内有唯一内有唯一的根的根的根的根x x*，且对任意，且对任意，且对任意，且对任意初值初值初值初值x x00 a a,b b，迭代序列：迭代序列：迭代序列：迭代序列：证明略证明略证明略证明略 定定定定理理理理 给给给给出出出出了了了了判判判判别别别别迭迭迭迭代代代

31、代收收收收敛敛敛敛的的的的充充充充分分分分条条条条件件件件。1.11.1WY 04:16 10/28/202225/44两个重要误差公式两个重要误差公式1.式式式式（1-21-2）说明，在正常情况下，即说明，在正常情况下，即说明，在正常情况下，即说明，在正常情况下，即L L不太接近于不太接近于不太接近于不太接近于1 1（若（若（若（若L L接近于接近于接近于接近于1 1，则收敛速度很慢），则收敛速度很慢），则收敛速度很慢），则收敛速度很慢），可用相邻两次迭代值可用相邻两次迭代值可用相邻两次迭代值可用相邻两次迭代值之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数之差的绝对

32、值来估计误差，控制迭代次数之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数。就停止计算，取就停止计算，取就停止计算，取就停止计算，取x xn n作为方程的近似根。作为方程的近似根。作为方程的近似根。作为方程的近似根。这种用相邻两这种用相邻两这种用相邻两这种用相邻两次计算结果来估计误差的方法，称为次计算结果来估计误差的方法，称为次计算结果来估计误差的方法，称为次计算结果来估计误差的方法，称为事后估计法事后估计法。即当给定精度即当给定精度即当给定精度即当给定精度时，如果有：时，如果有：时，如果有：时，如果有：1 12 2WY 04:16 10/28/202226/442.而式而式而式而式（1-31-3）的误差

33、估计，称为的误差估计，称为的误差估计，称为的误差估计，称为事前估计法事前估计法，因为用，因为用，因为用，因为用它可以估计出要达到给定精度它可以估计出要达到给定精度它可以估计出要达到给定精度它可以估计出要达到给定精度 所需次数所需次数所需次数所需次数n事实上，由事实上，由事实上，由事实上，由 注意：注意：定理定理定理定理1.11.1给出了判别迭代收敛的给出了判别迭代收敛的给出了判别迭代收敛的给出了判别迭代收敛的 充分条件充分条件充分条件充分条件。在实际计算时，由于。在实际计算时，由于。在实际计算时，由于。在实际计算时，由于L L比较难求，而我们所讨比较难求，而我们所讨比较难求，而我们所讨比较难求

34、，而我们所讨 论的函数通常是可导函数，因此，论的函数通常是可导函数，因此，论的函数通常是可导函数，因此，论的函数通常是可导函数，因此，实用的收敛条件是用实用的收敛条件是用实用的收敛条件是用实用的收敛条件是用 导数的界得到的导数的界得到的导数的界得到的导数的界得到的。见下屏的定理。见下屏的定理。见下屏的定理。见下屏的定理1.21.2：两个重要误差公式（续）两个重要误差公式（续）WY 04:16 10/28/202227/44迭代法的收敛条件迭代法的收敛条件(之二之二)定理定理 （1 1）对任意的）对任意的）对任意的）对任意的x x a a,b b，有，有，有，有 (x x)a a,b b；（2

35、2）存在常数）存在常数）存在常数）存在常数00L L 10，使得，使得对任意对任意x0 x*,x*+，Newton法所法所产生的序列产生的序列xn至少二阶收敛于至少二阶收敛于x*。定理表明，当初值定理表明，当初值x0充分接近充分接近x*时，时，Newton法的收敛速度较快，但当初值不够好时，法的收敛速度较快，但当初值不够好时，可能会不收敛或收敛于别的根，这可从可能会不收敛或收敛于别的根，这可从Newton法的几何意义看到：法的几何意义看到：WY 04:16 10/28/202237/44注：注：注：注：NewtonsMethod收敛性依赖于收敛性依赖于x0的选取的选取。x*x0 x0 x0WY

36、 04:16 10/28/202238/44Newton法的优缺点法的优缺点 优点：优点：NewtonNewton法具有收敛快，稳定性好，精法具有收敛快，稳定性好，精法具有收敛快，稳定性好，精法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，它是求解非线性方程的有效方法之度高等优点，它是求解非线性方程的有效方法之度高等优点，它是求解非线性方程的有效方法之度高等优点，它是求解非线性方程的有效方法之一。一。一。一。缺点：缺点：每次迭代均需要计算函数值与导数值，每次迭代均需要计算函数值与导数值，每次迭代均需要计算函数值与导数值，每次迭代均需要计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，故计算量较

37、大。而且当导数值提供有困难时，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，NewtonNewton法无法进行。法无法进行。法无法进行。法无法进行。WY 04:16 10/28/202239/441.5弦截法弦截法不不足足之之处：处：需要计算导数值，较难；需要计算导数值，较难；这就是这就是弦截法迭代公式弦截法迭代公式 Newton法优点：法优点：收敛快（平方阶），固定格式；收敛快（平方阶），固定格式；修修正：以差商代替导数（微商）正：以差商代替导数（微商）WY 04:16 10/28/202240/44弦截法迭代公式的几何解释弦截法迭代公式的几何解释与与与与x

38、 x轴相交，轴相交，轴相交，轴相交，即即即即y y=0=0，解出解出解出解出x x得：得：得：得：即即即即以割线代替曲线以割线代替曲线以割线代替曲线以割线代替曲线f f(x x)，以割线与，以割线与，以割线与，以割线与x x轴的交点去近似轴的交点去近似轴的交点去近似轴的交点去近似曲线与曲线与曲线与曲线与x x轴的交点，又称为轴的交点，又称为轴的交点，又称为轴的交点，又称为割线法割线法。xn-1xn割线割线xn+1Pn-1PnWY 04:16 10/28/202241/44弦截法的几点说明弦截法的几点说明 1、需要两个点、需要两个点x0，x1才能开始进行迭代：才能开始进行迭代：（1 1）若只给定

39、）若只给定）若只给定）若只给定x x0 0，则须利用其他方法，如对分法，求，则须利用其他方法，如对分法，求，则须利用其他方法，如对分法，求，则须利用其他方法，如对分法，求 x x1 1，然后再利用弦截法，求，然后再利用弦截法，求，然后再利用弦截法，求，然后再利用弦截法，求x x2 2，x x3 3，；（2 2）若给定一有根区间，可直接用两端点作）若给定一有根区间，可直接用两端点作）若给定一有根区间，可直接用两端点作）若给定一有根区间，可直接用两端点作 x x0 0，x x1 1。xn收敛，收敛阶为，超线性收敛。收敛，收敛阶为，超线性收敛。WY 04:16 10/28/202242/443.上述

40、弦截法又称为上述弦截法又称为变端点弦截法变端点弦截法（双点），（双点），该法称为：该法称为：该法称为：该法称为：定端点弦截法定端点弦截法定端点弦截法定端点弦截法（单点），（单点），（单点），（单点），几何意义如右图几何意义如右图几何意义如右图几何意义如右图：x1x2x3x0 x xy y图图图图1-51-5弦截法的几点说明弦截法的几点说明(续）续）其实还可固定一端点其实还可固定一端点其实还可固定一端点其实还可固定一端点x x0 0写为写为写为写为：WY 04:16 10/28/202243/44弦截法举例弦截法举例例例9用定端点，变端点截线法求方程：用定端点，变端点截线法求方程：f(x)=x3

41、 2x 5在区间在区间2,3内的一个实根（有内的一个实根（有12位有效数字位有效数字的实根为的实根为）。）。解解：取取x0=2,x1=3，用两种方法计算结果如，用两种方法计算结果如下：下：（见表见表1-4）WY 04:16 10/28/202244/446 62.0945511402.094551140-0.34210-0.342106 62.0945514812.094551481-0.54010-0.54010-9-9迭代次数迭代次数迭代次数迭代次数单点（定端点）单点（定端点）单点（定端点）单点（定端点）双点（变端点）双点（变端点）双点（变端点）双点（变端点）0 02 2-0.0945-0

42、.0945-0.0946-0.09461 13 30.90540.90543 30.90540.90542 22.0588235292.058823529-0.0357-0.03572.0588235292.058823529-0.0357-0.03573 32.0965586362.0965586360.201100.20110-2-22.0812636602.081263660-0.0133-0.01334 42.0944405192.094440519-0.11110-0.11110-3-32.0948241842.0948241840.273100.27310-3-35 52.0945576222.0945576220.614100.61410-5-52.0945494322.094549432-0.20510-0.20510-5-5x xk kx xk k-x xk kx xk k-2 2表表1-3可见：变端点比定端点收敛速度快。变端点的可见：变端点比定端点收敛速度快。变端点的可见：变端点比定端点收敛速度快。变端点的可见：变端点比定端点收敛速度快。变端点的x x6 6已已已已达精确值，而定端点达精确值，而定端点达精确值，而定端点达精确值，而定端点x x6 6只有只有只有只有7 7位有效数字。位有效数字。位有效数字。位有效数字。