《函数分布期望》PPT课件.ppt

《《函数分布期望》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《函数分布期望》PPT课件.ppt（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、概率论与数理统计概率论与数理统计北京大学第2版数学系信息与计算科学教研室2.2 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在分析和解决实际问题时，经常要用到由一在分析和解决实际问题时，经常要用到由一些随机变量经过运算或变换而得到的某些变量些随机变量经过运算或变换而得到的某些变量-随机变量的函数随机变量的函数，它们也是随机变量，也有其自，它们也是随机变量，也有其自身的分布。如我们能测量圆轴截面的直径身的分布。如我们能测量圆轴截面的直径d(r.v.),而关心的却是其截面积而关心的却是其截面积 (也是也是r.v.)在本节中我们将论述如何由随机变量在本节中我们将论述如何由随机变量X的分的分布导出它的函数布

2、导出它的函数 Y=g(X)(g(.)是已知的连续函是已知的连续函数数)的分布。的分布。（一）（一）离散型随机变量函数分离散型随机变量函数分布布例例1：设随机变量：设随机变量X的分布律为的分布律为解：解：解：解：由由X的分布律可得的分布律可得由此可得由此可得（二）（二）连续型随机变量函数分布连续型随机变量函数分布例例2：设随机变量：设随机变量X的概率密度为的概率密度为求随机变量求随机变量 Y=2X+8 的概率密度。的概率密度。解：解：解：解：例例3：设随机变量：设随机变量X的概率密度为的概率密度为求随机变量求随机变量 的概率密度。的概率密度。解：解：解：解：2.3 随机变量的数字特征随机变量的数

3、字特征一个随机变量，知道概率分布也就知道它的全部统一个随机变量，知道概率分布也就知道它的全部统计特征。然而实际问题中，随机变量的概率分布往计特征。然而实际问题中，随机变量的概率分布往往不易求得，也有不少问题并不要求全部统计特性往不易求得，也有不少问题并不要求全部统计特性.如比较电子元件寿命如比较电子元件寿命,不能一个一个比较，而是用它不能一个一个比较，而是用它寿命平均比较；其次比较元件寿命寿命平均比较；其次比较元件寿命“离散程度离散程度”,离离散程度大散程度大,说明生产不稳定，反之说明生产不稳定，反之,说明生产比较稳说明生产比较稳定。定。用来描述随机变量统计特征的数字，称为随机用来描述随机变量

4、统计特征的数字，称为随机变量的变量的数字特征数字特征数字特征数字特征。随机变量常用数字特征：随机变量常用数字特征：数学期望数学期望数学期望数学期望(均值均值均值均值)、方差、协方差方差、协方差方差、协方差方差、协方差和和和和相关系数相关系数相关系数相关系数。一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望 对于随机变量，时常要考虑它平均取什么值。对于随机变量，时常要考虑它平均取什么值。先来看一个例子：一批钢筋共有先来看一个例子：一批钢筋共有10根，抗拉强度指根，抗拉强度指标为标为120和和130的各有的各有2根，根，125的有的有3根，根，110，135，140的各有的各有1根。根。则它们的平均抗

5、拉强度指标为：则它们的平均抗拉强度指标为：从计算中可以看到，平均抗拉强度指标并不从计算中可以看到，平均抗拉强度指标并不是这是这10根钢筋所取得的根钢筋所取得的 6 个值的简单平均，而是个值的简单平均，而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（即频率）以取这些值的次数与试验总次数的比值（即频率）为权数的加权平均。为权数的加权平均。定义：定义：定义：定义：例例1.甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为X1，X2，它们的分布律分别为：，它们的分布律分别为：试评定他们的成绩的好坏。试评定他们的成绩的好坏。解：解：解：解：很明显，乙的成绩远不如甲的成绩。很明显，乙的成绩远

6、不如甲的成绩。例例2.若有若有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取到每把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开一次后除到每把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开一次后除去。试求试开次数去。试求试开次数 X 的数学期望。的数学期望。解：解：解：解：设设X=k表示前面表示前面 k-1 次没有打开，第次没有打开，第 k 次打开。次打开。则则例例3.试求下列数学期望试求下列数学期望 10张中张中1张写数字张写数字1，2张写数字张写数字2，3张写张写数字数字3，4张写数字张写数字4。X的可能取

7、值为的可能取值为2，3，4。且且定义：定义：定义：定义：例例1.设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为求数学期望求数学期望 E(X).解：解：解：解：例例2.若若X服从服从a,b区间上的均匀分布区间上的均匀分布,求求EX.解：解：解：解：EX=例例3 设随机变量设随机变量X X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布,求求EXEX.解解解解 X密度函数为密度函数为EX=类似计算可得类似计算可得:若若XN(,2),则则EX=.常用分布随机变量的数学期望常用分布随机变量的数学期望例例4.某公司有足够的资金从事某公司有足够的资金从事20个项目的独个项目的独立开发，任何一个项目开发

8、成功的概率为立开发，任何一个项目开发成功的概率为0.1,求下列问题求下列问题:(1)至少一项开发成功的概率；至少一项开发成功的概率；(2)预期多少项目可以开发成功？预期多少项目可以开发成功？解：解：解：解：设设X为开发成功项目数，为开发成功项目数，(1)至少一项开发成功的概率为至少一项开发成功的概率为(2)求项目可以开发成功的预期个数也就求项目可以开发成功的预期个数也就 是求随机变量是求随机变量X的数学期望，的数学期望，(个个)定理：定理：设设Y=g(X)是是 r.v.X 的函数，的函数，(其中其中g()是连续函数是连续函数)(1)如如X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为

9、则有则有(2)如如X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),则有则有例例1：设随机变量：设随机变量X的分布律为的分布律为解：解：解：解：例例2 2 设随机变量X服从0,的均匀分布,求解解解解 由题意得由题意得 数学期望的性质数学期望的性质（假设所遇到的随机变量的数学期望均存在）（假设所遇到的随机变量的数学期望均存在）1.设设c是常数，则是常数，则2.设设X是随机变量，是随机变量，c是常数，则是常数，则3.设设X,Y是两个随机变量，则是两个随机变量，则这个性质可推广到任意有限个随机变量之和的情形。这个性质可推广到任意有限个随机变量之和的情形。4.设设X,Y是两个相

10、互独立的随机变量，则是两个相互独立的随机变量，则这个性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量这个性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情形。之积的情形。例例1：已知随机变量：已知随机变量 X服从参数为服从参数为1/2的指数的指数分布，则分布，则随机变量随机变量 Z=3X-2的数学期望的数学期望E(Z)=（）。）。解：解：解：解：EZ=3EX-2=4解解解解:EZ=EX-EY=2-(-2)=4 E(XY)=(EX)(EY)=-4例例2：已知随机变量：已知随机变量 X服从参数为服从参数为2的泊松的泊松(Poisson)分布分布,YN(-2,4),Z=X-Y,则则EZ=();若若X,Y独立独

11、立,则则E(XY)=().例例3：一民航送客车载有：一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客位旅客自机场开出，旅客有有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以车就不停车。以 X 表示停车的次数，求表示停车的次数，求 E(X)(设每设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立否下车相互独立)。解：解：解：解：引入随机变量引入随机变量易知易知按题意，任一旅客在第按题意，任一旅客在第 i 站不下车的概率为站不下车的概率为 9/10，因此因此20位旅客都不在第位旅客都不在第 i 站下车的概率为站下车的概率为 在第在第 i 站有人下车的概率为站有人下车的概率为即即所以所以则则=8.784（次次）