《函数的数值逼近》PPT课件.ppt

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1、第三章 函数的数值逼近n n引言引言n n代数多项式插值代数多项式插值n n分段线性插值与分段线性插值与“保形保形”插值插值n n三次样条函数插值三次样条函数插值n n曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法插值问题曲线拟合问题11 引言一、函数的工程化表达一、函数的工程化表达1.对于很多实际工程计算问题，函数是通过实验或观测得到的，表达形式上为函数表，无解析表达形式。2.2.虽然有些函数存在解析的表达式，但形式过于复杂而不易使用。2二、问题的提出二、问题的提出设是R中若干个不同的点，每个点对应一个数值它们可以是实测得到的，也可以是一个已知函数的值。如何近似由这组数据确定的函数？并由此可提出两

2、类问题：1.作一条曲线，其类型是事先给定的（如：代数多项式），使该曲线经过给定点 。这就是所谓的插值问题。2.作一条指定的曲线，使该曲线能在“一定意义”下逼近这一组数据。这就是所谓的曲线拟合问题。3n n(1)复杂函数的计算;n n(2)函数表中非表格点计算n n(3)光滑曲线的绘制;n n(4)提高照片分辩率算法n n(5)定积分的离散化处理;n n(6)微分方程的离散化处理;n n(7)积分方程的离散化处理;插值方法的应用插值方法的应用:4三、插值的定义与存在性三、插值的定义与存在性求P(x)的方法就是插值法。若存在一简单函数P(x)，使得l P(x)为 f(x)的插值函数l点x0,x1,

3、xn为插值节点l(1)式为插值条件l f(x)为被插函数la,b为插值区间设f(x)C a,b,取点a x0 x1xnb成立，则称定义：定义：5若P(x)是次数不超过n的实系数代数多项式,即则称P(x)为n 次插值多项式.相应的插值法称为多项式插值法(代数插值法)。P(x)=a0 +a1x+an x nx 0yy=P(x)a=x0 x1 x2 x3 xn=b(xi,yi)y=f(x)曲线P(x)近似f(x)6研究问题：（1）满足插值条件的P(x)是否存在唯一？（2）若满足插值条件的P(x)存在，如何构造P(x)？（3）如何估计用P (x)近似替代f(x)产生的误差？72 2、插值多项式的存在唯

4、一性、插值多项式的存在唯一性证明：由(1)式(2)定理若插值结点x0,x1,xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件P(xk)=yk(k=0,1,n)的n次插值多项式P(x)=a0+a1x+anxn存在且唯一。8点是互异的其系数行列式其系数行列式 ：为范德蒙行列式。只要插值节点互不相同，则系数矩阵非奇异。故方程组解存在且唯一。91.1.插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的 插值多插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多项式，但它们之间可以相互转化，本质相同，当然误值多项式，

5、但它们之间可以相互转化，本质相同，当然误差也一样。差也一样。2.2.n n+1+1组节点只能确定一个不超过组节点只能确定一个不超过n n次的多项式，若次的多项式，若 n n次，次，如设为如设为 n n+1+1(x x)，则有则有n n+2+2有待定参数有待定参数a a0 0,a a1 1,a an n,a an n+1+1需确需确定，而定，而n n+1+1个组节点，只构成个组节点，只构成n n+1+1个插值条个插值条 件，即构成件，即构成n n+1+1个方程，只能确定个方程，只能确定n n+1+1个变量的方程组。个变量的方程组。3.3.上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即上述证明是构造性

6、的（给出解决问题的方法）即 以通过解以通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此实际计算中需计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此实际计算中需要用其它方式进行。要用其它方式进行。说明：10 x 0yy=f(x)的几何意义一、线性插值与抛物线插值一、线性插值与抛物线插值一、线性插值与抛物线插值一、线性插值与抛物线插值1.线性插值(n=1)设已知区间xk,xk+1端点处的函数值yk=f(xk)，yk+1=f(xk+1)，y=L1(x)xk xk+1求线性插值多项式L 1(x)，使其满足过两点(

7、xk,yk)与(xk+1,yk+1)的直线2代数多项式插值11或L1(x)是两个线性函数的线性组合称为节点上线性插值基函数线 性 函 数 y10 xk xk+1x y10 xk xk+1x lk(x)lk+1(x)节点上的线性插值基函数：满足12几何意义:过三点(xk-1,yk-1),(xk,yk)与(xk+1,yk+1)的抛物线2.抛物插值法(n=2时的二次插值)设插值节点为：xk-1,xk,xk+1,求二次插值多项式L2(x)，使得L2(x j)=y j,j=k-1,k,k+1.先求插值基函数l k-1(x),l k(x),l k+1(x)(二次函数),满足：(4)y0y1y2=100y0

8、+010y1+001y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，构造法：13求lk-1(x):L2(x j)=y j,j=k-1,k,k+1.(5)再构造插值多项式由(4)式 插值条件14y1 0 xy1 0 xy1 0 xxk-1 xk xk+1xk-1 xk xk+1xk-1 xk xk+1L2(x)是三个二次函数的线性组合15二次插值的应用一例极值点近似计算二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，极值点近似计算公式16二、二、二、二、LagrangeLagrange多项式插值多项式插值多项式插值多项式插值(n n次次次次)求通过n+1个节

9、点的n 次插值多项式Ln(x)定义若n 次多项式lk(x)(k=0,1,n)在各节点设Ln(x)满足插值条件：L n(xj)=y j(j=0,1,n ).(6)先求插值基函数然后构造插值多项式则称这n+1个n次多项式为这n+1个节点上的n次插值基函数。上满足条件 17（类似于前面讨论n=1,2时的情形）其中，k=0,1,n.(7)1.先求插值基函数18定理（定理（LagrangeLagrange）插值多项式）插值多项式通常次数=n,但特殊情形次数可n,如：过三点的二次插值多项式共线时(8)2.构造插值多项式（Ln(x)是n+1个插值基函数的线性组合）其中函数有数表则满足插值条件的插值多项式为构

10、造插值多项式的方法：(1)先求插值基函数(2)构造插值多项式19定理（插值多项式余项）三、插值多项式的余项三、插值多项式的余项三、插值多项式的余项三、插值多项式的余项截断误差:插值多项式的余项的余项（9）（1）函数有数表则对任意有插值多项式余项其中且依赖于x。有n次插值多项式Ln(x);20证明：插值条件可设做辅助函数当t=x时，Rn（x）当t=x时，Rn（x）21即在a,b上有n+2个互异的零点。由Rolle定理，设该零点为，22由(1)、(2)知定理结论成立。注:(1)余项表达式仅当f(n+1)(x)存在时才能应用，且唯一。(2)在(a,b)内的具体位置通常不能给出。(3)若有 ,则截断误

11、差限是从而余项大小和M 和|n+1(x)|有关，因此，在n和(4)n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。若f(x)为次数不高于n次的多项式,则f(n+1)()=0,从而Rn(x)=0.给定的情况下，n+1个插值节点应使|n+1(x)|尽量小。23线性插值：(5)n=1,2时的插值余项：抛物线插值：y 0 xxkxk+1y 0 xxk-1xk xk+1用通过两点P0,P1的直线L1(x)代替f(x)余项为：用通过三点P0,P1,P2的抛物线L2(x)代替f(x)24例例 解：x0.400.500.700.80lnx-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144

12、内插式内插式较准确做线性插值误差：(1)取插值节点：25内插式内插式f(0.6)=ln0.6的真值为：-0.510826抛物插值更精确做抛物线插值(2)取插值节点：误差：26拉格朗日插值采用插值基函数的线性组合来构造插值多项式含义直观形式对称优点：缺点：计算量大已知节点为，两节点可取为与或与，此时称为外插法,但不如以上的内插法精确。另外节点还可取为与或与等。插值多项式的阶数控制问题说明：说明：273分段线性插值与保形插值一、分段线性插值法一、分段线性插值法一、分段线性插值法一、分段线性插值法1.尽可能充分使用已有的信息；2.控制插值多项式的阶数问题：高次插值过程的收敛性如何？举例：Runge反

13、例:(-5x5)28L10(t)f(t)f(x)取xk=5+k计算:f(xk)(k=0,1,10),构造L10(x).取:tkk(k=0,1,200),计算:L10(tk)注:实际应用时取Runge现象：等距节点高次插值产生的小区间内逼近很差的现象29结论：设，由Taylor 展开式，注：由图形可知，在节点处的光滑性较差，为了提高光滑性，讨论新的插值方法。因而有即一致收敛于。在整个区间a，b上为折线。几何意义：相邻两节点间的函数为一次线性函数,图形为线段。插值节点满足:x0 x1xn已知yj=f(xj)(j=0,1,2,n)(j=0,1,n-1)xxj，xj+1时,线性插值函数30二、保形插值

14、（二、保形插值（二、保形插值（二、保形插值（HermiteHermite插值）的思想插值）的思想插值）的思想插值）的思想出发点：分段线性插值光滑性较差插值信息中引入函数的导数1.讨论Hermite插值问题（以一阶导数,i=0,1,n为例）函数表及导数表已知其中求2n+1次多项式H2n+1(x)使满足插值条件：问题：(12)31定理:且已知函数表及导数表，如果则存在唯一次数不超过2n+1次多项式H2n+1(x)满足插值条件(12)证明：唯一性。为次数的多项式且满足条件：及都是插值问题(12)的解，则设有这说明都是的二重零点，即Q(x)共有2n+2个零点Q(x)0，即32（用构造法，同构造L-插值

15、多项式的方法）存在性。思路：可以设想，如果构造出两组函数2n+1次多项式满足：显然，多项式满足插值条件(12)。33第一，求Hermite插值基函数为的二重零点且(13)其中c为待定常数,的2n+1次多项式(a)求满足插值条件：可令由34(13)式求导，得(b)已知求2n+1次多项式,使满足插值条件：35由于为的二重零点且又由，则有可令于是(14)36第二，求多项式（满足插值条件(12)的多项式）事实上,有即(15)式是满足插值条件(12)的插值多项式.所以存在2n+1次多项式满足插值条件(12).为Hermite插值基函数,即其中(15)37Quiz:给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4

16、,5.下面哪个是(x)的图像？x0-10.5123456yxy0-10.5123456斜率=1 求Hermite多项式的基本步骤：写出相应于条件的(x)，(x)的组合形式；对每一个(x)，(x)找出尽可能多的条件给出的根；根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；最后完整写出H2n+1(x)。38为Hermite插值多项式，则2.Hermite插值余项定理(Hermite插值余项)证明与Lagrange余项公式证明类似.设393.带导数的两点插值(重要特例:当n=1时)函数表及导数表求3次多项式H3(x)使满足插值条件:存在且唯一，表达式为结论：问题：已

17、知40(17)其中(16)41三、分段三次埃尔米特插值三、分段三次埃尔米特插值定义：(分段3次Hermite插值)如果Ih(x)满足：(1)(2)在每个小区间Ih(x)为3次多项式；(3)满足插值条件：当时，为3次Hermite插值多项式，称Ih(x)为f(x)的分段3次Hermite插值函数。则有以下两种形式：42公式1：由式(17)代入(16)即得：(18)43设由插值条件确定对由，得。再由公式2:(待定系数法)求导，有44解得于是，当时，有(19)得45定理:(1)设，且已知 的函数及导数表(2)为上的分段3次Hermite插值函数，误差估计：其中证明:存在k 使（对一致收敛）且46于是

18、，极值的求法且有。（一致收敛）优点：分段线性插值与分段3次Hermite插值函数在每个小区缺点：分段线性插值光滑性差；间上都收敛于函数。分段3次Hermite插值能保证插值多项式图形的光滑演示演示Matlab程序程序即令记则且47高次插值出现龙格现象L-插值Hermite插值分段插值但分段线性插值在节点处不一定光滑分段Hermite插值但导数值不容易提取（找到）三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段Hermite插值解决问题）1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；2木样条的来源。一、发展背景一、发展背景工程实例：4三次样条插值48所谓所谓样条（样条（SplineSplin

19、e）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制造过程中，被用它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制造过程中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压铁将其固定在一些给定的于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压铁将其固定在一些给定的型值点上，在其它地方任其自然弯曲，并稍作调整，使样条具有型值点上，在其它地方任其自然弯曲，并稍作调整，使样条具有满意的形状（各段接口处呈光滑状），然后沿样条画出曲线，称满意的形状（各段接口处呈光滑状），然后沿样条画出曲线，称为样条曲线，它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点即为样条曲线，它实际上

20、是由分段三次曲线拼接而成，在连接点即型值点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导数也型值点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导数也是连续的。由此抽象出数学模型称为是连续的。由此抽象出数学模型称为样条函数样条函数。注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道f 的导数值(除了在2个端点可能需要)；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。49定义（3次样条函数）：在每一个小区间上是次数多项式。若(1)中3次样条函数S(x)满足插值条件，即具有连续的一阶，二阶导数。如果函数S(x)满足下述条件：(1)设有对a,b的剖分则称S(x)为f(

21、x)关于剖分的一个3次样条函数。问题：3次样条插值函数存在性，唯一性？构造？误差估计函数表(2)设给定二、样条函数定义二、样条函数定义二、样条函数定义二、样条函数定义则称S(x)为f(x)关于剖分的一个3次样条插值函数。50分析：因S(x)在xj,xj+1上是3次多项式，即4n个待定系数:n+1个条件内部条件：已有条件：连续性3(n-1)个条件共有4n-2个条件，尚须2个附加条件51常见边界条件有三种：第1种边界条件：第2种边界条件：若，称为自然边界条件。已知已知第3种边界条件(周期边界条件)：为周期函数，此时称为周期样条函数。亦是周期函数，周期为即取要求 注：一般不取一端是一阶导数而另一端是

22、二阶导数。即即52三、三次样条插值函数表达式三、三次样条插值函数表达式思路：以分段三次Hermite插值为基础，由(3)三种边界条件中的某一种推导3次样条插值函数。方法：1、先确定插值函数在节点处的一阶导数，记为即为3次样条插值函数的一阶导数表示。2、先确定插值函数在节点处的二阶导数，记为即为3次样条插值函数的二阶导数表示。(1)函数表53不固定,是待定参数，共(n+1)个1、一阶导数表示分段3次Hermite插值已知的一阶导数值令(20)仿(21)54若要则需满足：n-1个条件加某一边界条件（2个）个条件 对(20)式求导:(22)(23)有由条件,得(24)xj-1,xj xj-2,xj-

23、1 55把(21)代入(24)得到所满足线性方程组两边同除以，得56令说明：(b)(25)式有n-1个方程,要确定n+1个未知量缺少两个方程,由边界条件补足.方程组成的方程组.mj(j=0,1,n)在力学上叫做细梁xj(j=0,1,n)的n-1个(a)(25)式是关于n+1个未知量三种边界条件处的转角，数学上叫做变化率。方程(25)反映了mj与mj-1,mj+1的关系,因此(25)叫做三转角方程。(25)有57方程组(25)为关于所满足的方程组：(1)增加第1种边界条件：则方程组(25)为关于所满足的方程组可写为：(26)矛盾方程组n+1个未知量，n-1个方程58(2)增加第2种边界条件：则由

24、(22)式取j=0及(23)式取j=n得到2个方程(利用(21)式中)由(21)式(21)(27)59得(j=0,j=n-1)(21)把(21)式分别代入（27），得60整理得两个方程:(28)于是,得到所满足的线性方程组：上式简记为(29)可通过引入第三种边界条件推导，练习！61则方程组(26)和(29)有唯一解可由解方程组的方法求解，从而由(20)给出表达式，且S(x)具有连续的一阶,二阶导数(即S(x)为3次样条插值函数。说明：方程组（26）和（29）的系数矩阵都是严格对角占优矩阵，由此可知这些方程组的系数阵为非奇异矩阵，62(2)求解方程组(26)(或(29),求。存在唯一性且定理（三

25、次样条插值函数存在唯一）三次样条插值函数f(x)，且满足给定的边界条件。计算步骤：(1)先计算(26)式中的（若是第二类或第三类边界条件，要计算）(3)用(20)及(21)式进行插值计算(先确定x所在区间)(1)如果f(x)是定义在a,b上的函数，且已知y=f(x)有函数表(2)给定边界条件(a)(或(b)或(c)，则f(x)在a,b存在唯一的63因为Sj(x)是三次样条插值函数，所以是一次函数。2、二阶导数表示由两点Lagrange插值得参数对上式积分,得再积分再积分,得得(30)(31)(32)令令64由条件，确定积分常数即得将上式代入(32)得到3次样条插值函数的表达式(33)(34)6

26、5将(33)代入(31),得由条件满足的线性方程组两边同除以(35)(36)66 两个条件。上式有n-1个方程,要确定n+1个未知量 需增加三弯矩方程(37)则令j=0，由(35),得令j=n，由(36),得(1)若已知，n-1个方程67(38)(2)若已知，代入方程(37)，只需解n-1个方程(39)满足方程68计算步骤:同三次样条插值函数的一阶导数表示的计算步骤。说明：此方程组(38)和(39)有唯一解Mj。（2）三弯矩方程(37)与(25)比较，与交换了位置。（1）方程组(38)和(39)的系数矩阵都是严格对角占优矩阵，因（3）Mj在力学上为细梁在xj 处截面处的弯矩,且弯矩与相邻的两个

27、弯矩有关,故方程组(38)和(39)称为三弯矩方程。Mj在数学上称为曲率。而方程(25)叫做三转角方程。Mj 在力学上叫做细梁上xj处的转角，在数学上叫做变化率。69一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出1函数逼近设f(x)为a,b上的连续函数，寻求一个近似函数P(x)，在a,b上均匀逼近f(x)。2数据逼近（实验数据）已知,求n次多项式Pn(x),nn),则是y=f(x)在S中最小二乘逼近函数81定理（最小二乘逼近）：(1)设有y=f(x)实验数据(xi,f(xi)(i=1,m),(a)y=f(x)在Hn中的最小二乘逼近函数存在且唯一。线性无关，则(2)设S=Hn中连续函数

28、组关于点集可由法方程（正规方程组）82(c)最小平方误差最大偏差：注：事实上，(42)(1)权系数i 的选取可取i=1(i=1,m),也可以适当选取使得离散内积近似于连续内积：即83将(43)带入(42),合并得(43)又取则84(2)矩阵G为对称正定阵设i=1(i=1,m),并将第j个基函数在xi处记为aij,即则有即85从而即G=ATA为对称正定阵。若f=f(x1),f(x2),f(xm)T则即法方程组为(上线性无关时)。86(3)计算方法若已知y=f(x)的实验数据其中(a)选取Hn中基1,x,xn及i(i=1,m),计算(b)解法方程组，得到由此得到y=f(x)的最小二乘逼近多项式87

29、求下面数据表的最小二乘二次拟合多项式求下面数据表的最小二乘二次拟合多项式：i i1 12 23 34 45 56 67 78 89 9 x xi i-1-1-0.75-0.75-0.5-0.5-0.250.250 00.250.250.50.50.750.751 1 y yi i-0.22090.22090.32950.32950.88260.88261.43921.43922.00032.00032.56452.56453.13343.13343.76013.76014.28364.2836解：设二次拟合多项式为解：设二次拟合多项式为P P2 2(x x)=)=a a00+a a1 1x x

30、+a a2 2x x2 2，将数据表直接，将数据表直接代代 入正规方程组：入正规方程组：其解为其解为a a0 0=2.0034,=2.0034,a a1 1=2.2625,=2.2625,a a2 2。所以此数据组的最小二乘二次。所以此数据组的最小二乘二次拟合多项式为：拟合多项式为：例例 88例：xy(xi,yi),i=1,2,m方案一：设求a和b使得最小。线性化/*linearization*/：令，则就是个线性问题将化为后易解a和b。),(iiYX),(iiyx89方案二：设(a0,b0)线性化：由做变换BXAY+就是个线性问题将化为后易解A和B),(iiYX),(iiyx90(4)用正交

31、多项式作最小二乘逼近实际中，法方程组往往是病态方程组，用一般方法求解实际中，法方程组往往是病态方程组，用一般方法求解误差较大。一般选择误差较大。一般选择 H Hn n 中正交多项式进行插值。中正交多项式进行插值。(见下节见下节)91二、用正交多项式作曲线拟合二、用正交多项式作曲线拟合二、用正交多项式作曲线拟合二、用正交多项式作曲线拟合1.1.正交函数族和正交多项式正交函数族和正交多项式定义定义(正交函数族正交函数族):):若Ca,b上有函数族满足称函数族为带权(x)的正交函数族；若Ak=1，称为标准正交函数族。92定义定义(正交多项式正交多项式):):若Ca,b上有多项式序列如果序列中的多项式

32、两两正交，称多项式序列为带权(x)的正交多项式。注：正交多项式可以由线性无关函数族xk(k=0,1,)，通过Schmidt方法求得：932.正交多项式性质是最高次项的系数为1的n次多项式。任何n次多项式都可以表示成前n+1个多项式的线性组合对于kj，有，且与任意次数小于k的多项式正交。有递推关系接下页94设是在a,b上带权(x)的正交多项式，则的n个根都是(a,b)上的单重实根。2.正交多项式性质(接上页)是权系数。其中95常用正交多项式Legendre多项式是区间-1,1上权函数(x)=1的正交多项式,且满足:a)b)有递推公式96Chebyshev多项式常用正交多项式(续1)是区间-1,1

33、上关于权函数(x)=的正交多项式,且满足:a)b)有递推公式c)Tn(x)在-1,1上的n个零点为97Hermite多项式常用正交多项式(续2)是区间-,+上关于权函数(x)=的正交多项式,且满足:a)b)有递推公式983.正交多项式数据拟合已知点集且数表步骤a)选取Hn中正交基选取Hn中关于点集X以及权系数的正交多项式组即b)求解aj*得到Pn*(x)接下页99步骤c)计算最小平方误差接下页100于是，随n增加优点：增加一个节点，只需计算an+1*，计算量小利用多项式利用多项式 0 0(x x),),1 1(x x),),m m(x x)的离散正交性易的离散正交性易知，此时法方程组（知，此时

34、法方程组（4141）的系数矩阵）的系数矩阵G G为对角阵为对角阵。如此，无需解如此，无需解线性方程组，可减线性方程组，可减少含入误差，避免少含入误差，避免病态情况出现。病态情况出现。101利用离散正交多项式求所给数据表的二次拟合多项式利用离散正交多项式求所给数据表的二次拟合多项式 例例解解：按三项递推式及：按三项递推式及 k k,k k的计算公式可得：的计算公式可得：而由系数而由系数a ak k的计算公式有的计算公式有：i i1 12 23 34 45 56 67 78 89 9 x xi i-1-1-0.75-0.75-0.5-0.5-0.25-0.250 00.250.250.50.50.

35、750.751 1 y yi i-0.22090.22090.32950.32950.88260.88261.43921.43922.00032.00032.56452.56453.13343.13343.76013.76014.28364.2836102无需解正规方程组，只需要计算内积，避免出现病态方程组的可能。无需解正规方程组，只需要计算内积，避免出现病态方程组的可能。并且当逼近次数增加一次时，只需在原有的多项式中增加一项，即在并且当逼近次数增加一次时，只需在原有的多项式中增加一项，即在上例还可求三次、四次拟合多项式。上例还可求三次、四次拟合多项式。由此可得最小二乘二次拟合多项式为：由此可

36、得最小二乘二次拟合多项式为：103104三、三、三、三、用最小二乘法解矛盾方程组用最小二乘法解矛盾方程组用最小二乘法解矛盾方程组用最小二乘法解矛盾方程组已知已知 y y=f f(x x)的实验数据的实验数据用较简单和合适的函数来逼近（或拟合）实验数据。假设选用n次插值多项式要满足n+1m方程组的解不能唯一确定，因此，不能要求方程精确成方程组的解不能唯一确定，因此，不能要求方程精确成立，需要允许每个等式有偏差，但偏差尽可能小。立，需要允许每个等式有偏差，但偏差尽可能小。105解法：对矛盾方程组作辅助函数a0,a1,an的多元二次函数106整理为以a0,a1,an为变量的线性方程组-法方程写成矩阵

37、形式Bu=C，其中107是(n+1)(n+1)阶对称方程组，称为法方程，只要B非奇异，就可解出唯一解(a0,a1,a2,an)T，即为矛盾方程组的最小二乘解。事实上,矛盾方程组108可写成矩阵形式：即109例用二次多项式来拟合函数解:计算B、C110111112凸性（凹向上或凹向下）时，对于给定y=f(x)实验数据的走向、趋势选择合适的数根据数据学模型。例如,当实验数据具有单调来拟合实验数据，其中可选择下述适当的数学模型a、b为参数，如图。四、非线性模型举例四、非线性模型举例四、非线性模型举例四、非线性模型举例 113例在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下，求浓度与时间的拟合曲线114解：(1)选取数学模型求对数:作变换:令则求解模型变为:于是，问题化为由已知数据作变换，将此模型转化为线性模型求解。115求参数A，B使其中，模型线性模型，可求得及最小平方误差：且最大偏差：于是得到模型从而116其中a,b为待定参数，并有作变换，令于是问题化为，已知数据寻求a，b使其中为线性模型。(2)选取数学模型为双曲函数117求解法方程得到从而得数学模型118最大偏差：说明：小，所以用作拟合曲线比双曲模型要好。选取指数模型最小平方误差：都比较119120作业作业思考题思考题 1.2.3.习题习题 1.4.5.121