阶常系数线性齐次微分方程.ppt

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1、课前练习：课前练习：的通解的通解在在 连续，且满足连续，且满足 求求f(t)答案：答案：2.知识点：知识点：1）二重积分（极坐标）；）二重积分（极坐标）；2）变上）变上限求导；限求导；3）一阶线性方程求解；）一阶线性方程求解；4）常数）常数c的的确定。确定。微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程分离变量法分离变量法齐次方程齐次方程公式法公式法常数变易法常数变易法一、二阶常系数线性齐次方程一、二阶常系数线性齐次方程二、二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程标准形式标准形式齐次齐次线性方程的标准形式线性方程的标准形式非齐次非齐次线性方

2、程的标准形式线性方程的标准形式一、二阶常系数线性齐次方程的通解一、二阶常系数线性齐次方程的通解1.1.二阶齐次方程解的结构定理二阶齐次方程解的结构定理:注意注意:常数，若 常数 证明时，应先证明证明时，应先证明y是解，然后说明是通解是解，然后说明是通解定理也可描述为：定理也可描述为：齐次方程（齐次方程（1）的通解是它的两个线性无关特）的通解是它的两个线性无关特解的线性组合。解的线性组合。2、特征方程、特征方程故有故有特征方程特征方程将其代入上方程将其代入上方程思考：哪一类函数可能是方程（思考：哪一类函数可能是方程（1）的解？）的解？练习：写出下列微分方程的特征方程练习：写出下列微分方程的特征方

3、程得得满足特征方程的满足特征方程的r值，构成的值，构成的 就是方程就是方程（1）的解）的解特征方程特征方程练习：写出下列微分方程的特征方程练习：写出下列微分方程的特征方程特征方程（二次方程）的解称为特征根特征方程（二次方程）的解称为特征根特征根特征根并求特征根并求特征根3、解的形式、解的形式1.1.）有两个不相等的实根有两个不相等的实根方程方程(1)两个特解两个特解常数，得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为故两个特解，线性无关故两个特解，线性无关如微分方程如微分方程 的特征方程的特征方程特征根特征根通解：通解：2.2.）有两个相等的实根）有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次

4、方程的通解为3.3.）有一对共轭复根有一对共轭复根利用欧拉公式得另一形式的两个根利用欧拉公式得另一形式的两个根得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为齐次方程（齐次方程（1）的通解公式：）的通解公式：例例1 1解解特征方程为特征方程为特征根特征根故通解为故通解为解解特征方程为特征方程为特征根特征根故通解为故通解为例例2 2例例3 3解解特征方程为特征方程为特征根特征根 故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为特征根特征根 故所求通解为故所求通解为例例4：注意这种类型，往往注意这种类型，往往容易写成容易写成 错错了！了！练习练习解解特征方程为特征方程为特征根特征根 通解为通解为将将 分别代入

5、上两式，得：分别代入上两式，得：故原方程所求特解为故原方程所求特解为作业：作业：P405，3（1，2）4(3)小结小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.二、二阶常系数非齐次线性方程通解二、二阶常系数非齐次线性方程通解1 1、解的结构定理、解的结构定理:非齐次的两个特解之差是齐次方程的解非齐次的两个特解之差是齐次方程的解证明证明:(同学们试一试同学们试一试)非齐次通解齐次通解非齐次特解非齐次通解齐次

6、通解非齐次特解怎样求？怎样求？定理可简单描述为：定理可简单描述为：2、非齐次方程特解的求法、非齐次方程特解的求法试解函数检验法试解函数检验法根据非齐次项，根据非齐次项，假设假设其解函数，检验后，求出其解函数，检验后，求出待定系数，得其特解。待定系数，得其特解。试解函数试解函数Q(x)f(x)说明说明:1、不论、不论f(x)是几项多项式是几项多项式,Q(x)必须是必须是“同同 次完全多项式次完全多项式”。2、不论、不论f(x)是否只含正弦、余弦，是否只含正弦、余弦，Q(x)都要设为都要设为其线性组合。其线性组合。3、f(x)是两类函数乘积是两类函数乘积,Q(x)也是对应两类函数乘也是对应两类函数乘积积若有，则将试解函数乘以若有，则将试解函数乘以 x,再检验，直到没有再检验，直到没有同类项为止。同类项为止。最后，将试解函数代入原方程，求各个待定系数。最后，将试解函数代入原方程，求各个待定系数。检验：试解函数中是否与齐次通解有同类项？检验：试解函数中是否与齐次通解有同类项？练习：练习：P406 6 写出特解的形式写出特解的形式