数量积、向量积、混合积.ppt

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1、启示启示实例实例两向量作两向量作这样的运算的运算,结果是一个数量果是一个数量.定义定义一、两向量的数量一、两向量的数量积第四第四节 数量数量积、向量、向量积、混合、混合积数量数量积也称也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积.关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：（3 3）若）若 为数为数：若若 、为数为数：设数量积的坐标表达式数量积的坐标

2、表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件由此可知两向量垂直的充要条件为解解证证实例实例二、两向量的向量二、两向量的向量积定义定义cr的方向既垂直于的方向既垂直于ar，又垂直于，又垂直于br，指向符合，指向符合右手系右手系.关于向量积的说明：关于向量积的说明：/向量向量积也称也称为“叉积叉积”、“外积外积”.向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：证证/设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量向量积还可用三可用三阶行列式表示行列式表示/由上式可推出由上式可推出补充补充例如，例如，解解解解三

3、角形三角形ABC的面的面积为解解定义定义设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合三、向量的混合积（1）向量混合）向量混合积的几何意的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：解解例例6解解式中正式中正负号的号的选择必必须和行列式的符号一致和行列式的符号一致.向量的数量向量的数量积向量的向量向量的向量积向量的混合向量的混合积（结果是一个数量）果是一个数量）（结果是一个向量）果是一个向量）（结果是一个数量）果是一个数量）（注意共（注意共线、共面的条件）、共面的条件）四、小四、小结练练 习习 题题练习题答案练习题答案例例5解解解解例例6 试在试在xOy平面上，求与平面上，求与a=-4

4、,3,7垂直的单位向量。垂直的单位向量。解解解解 设所求单位向量为设所求单位向量为b=m,n,p,由于它在由于它在xOy平面平面上，且是单位向量，所以满足上，且是单位向量，所以满足六、向量的向量积六、向量的向量积 定义定义 给定向量给定向量a与与b的的向量积向量积或称或称外积外积product)、叉积叉积是满足下面条件的一个向量，记为是满足下面条件的一个向量，记为ab,它的模它的模和方向为：和方向为：(1)ab=a bsin(a,b)(2)(2)ab分别垂直于分别垂直于a和和b，且，且a,b,ab符合右手规符合右手规则（图则（图514）。）。aba b图图514 由图由图514及定义知，及定义

5、知，a b的模在几何上恰为以的模在几何上恰为以a和和b为平行四边形的面积，为平行四边形的面积，a b的方向垂直于这个平的方向垂直于这个平行四边形所在平面。行四边形所在平面。两个向量的向量积满足以下运算率及性质：两个向量的向量积满足以下运算率及性质：(1)反交换率反交换率 b a a b(2)与数乘向量的结合率与数乘向量的结合率 (a)b=a (b)=a b (是实数是实数)(3)分配率分配率(a+b)c=a cb c(4)a (b+c)=a ba c(4)两个非零向量两个非零向量a与与b平行的充分必要条件是平行的充分必要条件是a b0(5)a a=0 为了便于记忆，上式可用行列式表示：为了便于记忆，上式可用行列式表示：由上式容易推得，向量由上式容易推得，向量a与与b平行的充要条件是平行的充要条件是即对应坐标成比例。即对应坐标成比例。已知已知a=4,2,1,b=3,0,2,求求ab.例例7例例8 求以求以A(4,10,7),B(7,9,8),C(5，5，8）为顶点的三）为顶点的三角形的面积角形的面积S.