方差分析的基本原理和F测验.ppt

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1、第四章第四章 方差分析方差分析 （analysis of variance,analysis of variance,）上节课的统计假设测验是如何检验一个或者两个平均数的假设检验方法，用u测验或t测验。但实际工作中需要对多个（k3)样本平均数进行比较，并分析它们之间的差异，也就是多个（k3)样本平均数的假设检验方法，这时，若仍采用t检验法就不适宜了。这是因为：第一节第一节 方差分析的意义方差分析的意义 1、检验过程烦琐、检验过程烦琐 例如，一试验包含例如，一试验包含5个处理，采用个处理，采用t检验法要检验法要进行进行 =10次两两平均数的差异显著性检验；次两两平均数的差异显著性检验；若有若有k

2、个处理，则要作个处理，则要作 k(k-1)/2次类似的检验。次类似的检验。2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低检验的灵敏性低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。若用一个统一的试验误差的估计值。若用 t 检验法作检验法作两两比较，由于每次比较需计算一个两两比较，由于每次比较需计算一个 ，故，故使得各次比较误差的估计不统一，同时没有充分使得各次比较误差的估计不统一，同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确性降利用资料所提供的信息而使误差估计的精确性降低，从而降低检

3、验的灵敏性。低，从而降低检验的灵敏性。例如，试验有例如，试验有5个处理个处理，每个处理，每个处理 重复重复 6次，次，共有共有30个观测值。进行个观测值。进行t检验时，每次只能利用检验时，每次只能利用两个处理共两个处理共12个观测值估计试验误差个观测值估计试验误差，误差自由，误差自由度为度为 2(6-1)=10；若利用整个试验的；若利用整个试验的30个观测值个观测值估计试验误差估计试验误差，显然估计的精确性高，且误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为自由度为5(6-1)=25。可见，在用。可见，在用t检法进行检验检法进行检验时时，由，由 于估计误差的精确性低，误差自由度小，于估计误差的精确性

4、低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。3、推断的可靠性低、推断的可靠性低 即使利用资料所提供的全部信息估计了试验即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用误差，若用t 检验法进行多个处理平均数间的差检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数会增大犯均数会增大犯 I型错误的概率，降低推断的可靠型错误的概率，降低推断的可靠性。性。由于上述原因，多个平均数的差异显著性检由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用验不宜用 t 检验，须采用方差分析法。检验

5、，须采用方差分析法。方差分析方差分析(analysis of variance,ANOVA)是由是由英国统计学家于英国统计学家于1923年提出的。年提出的。这种方法是将这种方法是将这种方法是将这种方法是将k k个处理的观测值作为一个整体看待，个处理的观测值作为一个整体看待，个处理的观测值作为一个整体看待，个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体异来源的平方和及自由度

6、，进而获得不同变异来源总体异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。方差方差方差方差是平方和除以自由度的商。是平方和除以自由度的商。是平方和除以自由度的商。是平方和除以自由度的商。“方差

7、分析法是一种在若干能相互比较的资料组中，方差分析法是一种在若干能相互比较的资料组中，方差分析法是一种在若干能相互比较的资料组中，方差分析法是一种在若干能相互比较的资料组中，把产生变异的原因加以区分开来的方法与技术把产生变异的原因加以区分开来的方法与技术把产生变异的原因加以区分开来的方法与技术把产生变异的原因加以区分开来的方法与技术”，方方方方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。第四章第四章 方差分析方差分析 （analysis of variance,an

8、alysis of variance,）方差分析是用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验，以检验试验所得的两个及两个以上样本均数是否来自相同总体。它将总变异剖分为各个变异来源的相应部分，从而发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一种统计分析方法。第二节第二节 方差分析的基本原理方差分析的基本原理第四章第四章 方差分析方差分析 （analysis of variance,analysis of variance,）由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。方差分析的基本思想是：将全部观察着的总变异

9、按影响试验结果的诸因素分解为若干部分变异，构造出反映各部分变异作用的统计量，之后构造假设检验统计量F，实现对总体均属的推断。也就是通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。第一节第一节 方差分析的意义方差分析的意义第四章第四章 方差分析方差分析 （analysis of variance,analysis of variance,）方差分析主要用途：均数差别的显著性检验，分离各有关因素并估计其对总变异的作用，分析因素间的交互作用，方差齐性检验。在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理方法对实验结果的影响。通常是比较不同实验条件下样本均值间的差异。例如

10、农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作物产量的影响；不同化学药剂对作物害虫的杀虫效果等，很多问题都可以使用方差分析方法去解决。第一节第一节 方差分析的意义方差分析的意义n n一、基本原理n n二、F测验n n （一）F分布 n n （二）F测验的思想第四章第四章 方差分析方差分析 第二节第二节 方差分析的基本原理和方差分析的基本原理和F F测验测验n n一、基本原理：一、基本原理：n n看以下试验结果：有看以下试验结果：有K K个果树品种的品种对比试验，个果树品种的品种对比试验，每个品种随机抽取每个品种随机抽取n n株调查单株产量，得到如下数株调查单株产量，得到如下数据表据表 品种品种单

11、单株株及及产产量量1 12 23 3K K（i=1Ki=1K）1 12 23 3n nT Ti iX X11 11X X1212X X1313X X1n1nX X2121X X2222X X2323X X2n2nX X3131X X3232X X3333X X3n3nX XK1K1X XK2K2X XK3K3X XKnKnT T1 1T T2 2T T3 3T TK Kn n上表中上表中X X11 11、X X1212XXKnKn是是knkn个变异的数值，个变异的数值，即处理平方和即处理平方和 SSSSt t=与总平均数与总平均数用品种的平均数用品种的平均数品种不同引起的变异，品种不同引起的变

12、异，就是处理变异，就是处理变异，可能的原因有二：可能的原因有二：一是品种不同；一是品种不同；总变异总变异SSSST T是是由哪些原因导致由哪些原因导致的变异组成的变异组成？其变异用离均差平方和表示即其变异用离均差平方和表示即总变异总变异 SSSST T=之差的平方和之差的平方和乘以乘以n n表示表示 二是试验误差。二是试验误差。n n试验误差引起的变异试验误差引起的变异n n是指处理因素以外的其它偶然因素引起的变异是指处理因素以外的其它偶然因素引起的变异n n如土壤肥力、观察测定差异等如土壤肥力、观察测定差异等n n用用误差平方和误差平方和SSSSe e来表示来表示当然当然是是试验误差试验误差

13、。是品种内观测值与该品种平均值之差，是品种内观测值与该品种平均值之差，n n于是，在这个试验中，有如下关系：于是，在这个试验中，有如下关系：n n总变异平方和总变异平方和 处理间变异处理间变异SSSSt t=误差变异误差变异SSe=SSe=列成下面的表列成下面的表一、自由度和平方和的分解一、自由度和平方和的分解 设有设有k组数据，每组皆具组数据，每组皆具n个观察值，则该资料共有个观察值，则该资料共有nk个观个观察值，其数据分组如表。察值，其数据分组如表。表表 每每组组具具n个个观观察察值值的的k 组组数据的符号表数据的符号表组别组别组别组别观察值观察值观察值观察值 (y yij ij，i i=

14、1 1，2 2，k k；j j=1 1,2 2，n n)总总总总和和和和平均平均平均平均均方均方均方均方1 1y y1111y y1212y y1 1j jy y1 1n nT T1 12 2y y2121y y2222y y2 2j jy y2 2n nT T2 2i iy yi i1 1y yi i2 2y yi ij jy yi in nT Ti ik ky yk k1 1y yk k2 2y ykjkjy yknknT Tk k 在表中，总变异是在表中，总变异是nk个观察值的变异，故其自由度个观察值的变异，故其自由度v=nk1，而其平方和，而其平方和SST则为：则为：（61）其中的其中

15、的C称为矫正数：称为矫正数：(62)对于第对于第 i 组的变异，有组的变异，有从而总变异从而总变异(61)可以剖分为可以剖分为:（63）即即 总平方和总平方和=组内组内(误差误差)平方和平方和+处理平方和处理平方和 组间变异由组间变异由k个个 的变异引起，故其自由度的变异引起，故其自由度 v=k1,组组间平方和间平方和 SSt 为：为：组内变异为各组内观察值与组平均数的变异，故每组具有组内变异为各组内观察值与组平均数的变异，故每组具有自由度自由度 v=n1和平方和和平方和 ；而资料共有；而资料共有k 组，故组组，故组内自由度内自由度 v=k(n1),组内平方和组内平方和 SSe 为：为：(65

16、)（64）因此，得到表类型资料的自由度分解式为：因此，得到表类型资料的自由度分解式为：(66)总自由度总自由度DFT=组间自由度组间自由度DFt+组内自由度组内自由度DFe 求得各变异来源的自由度和平方和后，进而可得求得各变异来源的自由度和平方和后，进而可得:(67)MSMSe e作分母去除作分母去除MSMSt t，商数用，商数用F F表示，即表示，即 F=MSF=MSt t/MS/MSe en nMSMSt t可能有两种情况：可能有两种情况：n n其一其一 处理间产量处理间产量有有显著差异显著差异n n MSMSt t=处理效应方差（处理效应方差（MSMSt t）+误差方差（误差方差（MSM

17、Se e ）；n n其二其二 处理间产量处理间产量无无显著差异显著差异n n MSMSt t是是误差方差误差方差MSMSe e的估计值的估计值 MSMSt t=MS=MSe e n n前一种情况下，前一种情况下，n n后一种情况下，后一种情况下，n n可以可以根据根据F F的大小来判断处理间有无显著差异。的大小来判断处理间有无显著差异。n nF F接近于接近于1 1，处理间无显著差异；，处理间无显著差异；n nF1F1，处理间有显著差异。，处理间有显著差异。F接近于接近于1。1+1+较大的数较大的数即即 F1;方差分析的基本思路方差分析的基本思路n n方差分析的基本思路：方差分析的基本思路：n

18、 n（1 1）把全部数据看成从）把全部数据看成从 同一同一 总体抽出的几组样本，总体抽出的几组样本，求出总变异求出总变异,即即SSSST T=n n（2 2）将）将总变异总变异根据可能引起变异的原因根据可能引起变异的原因分解成由分解成由各原因引起的变异平方和与自由度，得到各原因引各原因引起的变异平方和与自由度，得到各原因引起的方差；起的方差；n n（3 3）将）将各项方差与误差方差相除得到各项方差与误差方差相除得到F F值；值；n n（4 4）若）若F1F1，推断处理间有显著差异，推断处理间有显著差异，接着做多接着做多重比较；重比较；n n（5 5）若）若F F接近于接近于1 1，推断处理间无

19、显著差异，推断处理间无显著差异，分析分析结束。结束。n n基本思路图示：（1 1）若）若F FF FF F，处理间有显著差处理间有显著差异异全全部部试试验验数数据据总变异总变异 SS SST T处理间变异处理间变异SSSSt t误差变异误差变异SSSSe e相相除除得得F F相除得相除得MSMSt t处理自由度处理自由度dfdft tF F与与F F相比相比结结论论总自由总自由度度dfdfT T相除得相除得MSMSe e结结束束误差自由度误差自由度dfdfe e判判断断多重多重比较比较 例例6.1 以以A、B、C、D 4种药剂处理水稻种子，其中种药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理各得为对照

20、，每处理各得4个苗高观察值个苗高观察值(cm)，其结果如表，试分，其结果如表，试分解其自由度和平方和。解其自由度和平方和。表表 水稻不同水稻不同药剂处药剂处理的苗高理的苗高(cm)(cm)药剂药剂药剂药剂苗高苗高苗高苗高观观观观察察察察值值值值总和总和总和总和T Ti i 平均平均平均平均 A A18 21 20 1318 21 20 1372721818B B20 24 26 2220 24 26 2292922323C C10 15 17 1410 15 17 1456561414D D28 27 29 3228 27 29 321161162929T T=336336 =21=21 根据

21、根据(66)进行总自由度进行总自由度的剖分：的剖分：总变异自由度总变异自由度DFT=(nk1)=(44)1=15 药剂间自由度药剂间自由度DFt=(k1)=41=3 药剂内自由度药剂内自由度DFe=k(n1)=4(41)=12根据根据(63)进行总平方和的剖分：进行总平方和的剖分：或或 或或 药剂药剂A内：内：药剂药剂B内：内：药剂药剂C内：内：药剂药剂D内：内：所以所以 进而可得均方：进而可得均方：二、F测验 n n前面说前面说 F 1F 1，则判断处理间有显著差异。，则判断处理间有显著差异。n n可是可是究竟大到什么程度究竟大到什么程度才能判断有显著差异的呢才能判断有显著差异的呢？n n要

22、FF，才判断处理有显著差异。n n通过通过F F与与F F 相比较来测验处理间差异是否显著的相比较来测验处理间差异是否显著的方法叫方法叫F F测验。测验。n n由上已知由上已知n n方差比的分布规律如何？我们下面进行讨论。方差比的分布规律如何？我们下面进行讨论。，是方差比。，是方差比。n n（一）（一）F F分布：分布：(1)F(1)F（0 0，+）(2)(2)F F=1=1(3)(3)分布向左偏斜分布向左偏斜F F分分布布 df df1 1=1 1 df df2 2=2 2继续以继续以 1 和和2为自由度成对地抽取样本，见图：为自由度成对地抽取样本，见图：将二者相除，将二者相除，此此“比比”

23、用用F F表示，表示，即即 求得它们的均方为求得它们的均方为和和按自由度按自由度dfdf1 1=1 1,df,df2 2=2 2抽取两个样本抽取两个样本2在在N N（，）总体中，）总体中，n n样本不同样本不同 F F值不同值不同 构成构成F F分布。分布。n nF F 连续型随机变量连续型随机变量n nF F 分布的分布的概率密度函数概率密度函数 1 1和和 2 2 分别为分别为 分布只与分布只与 1 1和和 2 2有关，即以有关，即以 1 1和和 2 2为参数为参数如如 1 1和和 2 2确定，则曲线就定了，而与原总体参数无关。确定，则曲线就定了，而与原总体参数无关。1 1和和 2 2不同

24、，就得到不同的不同，就得到不同的曲线曲线 。的自由度，的自由度，F F为自变量。为自变量。和和F分布曲线特征：分布曲线特征：（1）具有平均数）具有平均数 =1（2）取值区间为）取值区间为0，；（3）某一特定曲线的形）某一特定曲线的形状则仅决定于参数状则仅决定于参数 v1和和 v2。在在 v1=1或或 v1=2时，时，F分布分布曲线是严重倾斜成反向曲线是严重倾斜成反向J型；型；当当 v13时，曲线转为偏态时，曲线转为偏态(图图)。图图6.1 F分布曲线分布曲线（随（随v1和和v2的不同而不同）的不同而不同）n n对于任何对于任何F F分布，可以用积分的方法求区间内的概分布，可以用积分的方法求区间

25、内的概率：率：n nP(FFP(FFi i)=F(F)=F(Fi i)=)=n nP(FFP(FFi i)即阴影部分的概率，外面部分的概率为即阴影部分的概率，外面部分的概率为 P P(F(Fi i ，+)=1-P(FF+)=1-P(FFi i)。如图如图。n n应用上式求出各种自由度下应用上式求出各种自由度下F F曲线不同概率相应的曲线不同概率相应的F F值，制成值，制成F F表。请看附表：表。请看附表：5%5%与与1%1%显著点的显著点的F F值表值表。n nF F值表结构值表结构n n第一横行第一横行 大均方自由度大均方自由度 =分子自由度分子自由度 =(=(处理自处理自由度由度)n n第

26、一纵列第一纵列 小均方自由度小均方自由度 =分母自由度分母自由度 =(=(误差自误差自由度由度)n n表表 中中 F F的临界值的临界值:上行是上行是F;F;下行是下行是F F ，n n查查 dfdf1 1=8=8、dfdf2 2=20=20 的的F F 值，见下图。值，见下图。n nF=2.45 FF=2.45 F，n n含义含义 是一个分界点是一个分界点n n此点以外曲线与横轴所夹部分（阴影部分）概率为此点以外曲线与横轴所夹部分（阴影部分）概率为5%5%，此点以内概率为，此点以内概率为95%95%。n n所以所以F F是曲线上显著水准的临界值。是曲线上显著水准的临界值。图图4-2 F4-2

27、 F显著水显著水 准示意图准示意图n n（二）（二）F F测验的思想：测验的思想：n n dfdf1 1=1 1,df,df2 2=2 2F F衍生总体衍生总体总体总体 2 2符合符合dfdf1 1=1 1,df,df2 2=2 2的的F F分布分布 n n从同一个总体中按从同一个总体中按 1 1、2 2 抽出的一对样本抽出的一对样本n n方差比值方差比值F F 有有95%95%可能落在可能落在0F0F间间n n只有只有5%5%的可能的可能落在落在0F0F外，是小概率事件外，是小概率事件。n n待测样本是来自同一总体吗？待测样本是来自同一总体吗？依小概率原理否认样本来依小概率原理否认样本来自同

28、一总体自同一总体 处理间有显著差异处理间有显著差异计算计算F F 值，值，与与F F相比相比FFF FF F，再与，再与F F相比。相比。求出求出F测验需具备条件：测验需具备条件：(1)变数变数y遵循正态分布遵循正态分布N(，)，(2)s12 和和 s22 彼此独立彼此独立。另外，在另外，在F 测验中，如果作分子的均方小于作分母的测验中，如果作分子的均方小于作分母的均方，则均方，则F，应接受，应接受H0。例例6.2 测定东方红测定东方红3号小麦的蛋白质含量号小麦的蛋白质含量10次，得均方次，得均方 s12；测定农大；测定农大139小麦的蛋白质含量小麦的蛋白质含量5次，得均方次，得均方 s22。

29、试测验东方红。试测验东方红3号小麦蛋白质含量的变异是否比农大号小麦蛋白质含量的变异是否比农大139为大。为大。假设假设H0：东方红小麦总体蛋白质含量的变异和农大：东方红小麦总体蛋白质含量的变异和农大139一样，即一样，即 ，对，对 。显著水平显著水平 ，v1=9，v2=4时，时，F0.05。测验计算测验计算:F 此此FF，即，即P。推断：否定推断：否定H0，接受，接受HA，即东方红，即东方红3号小麦蛋白质含量号小麦蛋白质含量的变异大于农大的变异大于农大139。例例6.3 在例算得药剂间均方在例算得药剂间均方st2，药剂内均方，药剂内均方se2，具自，具自由度由度 v1=3，v2=12。试测验药

30、剂间变异是否显著大于药剂内变。试测验药剂间变异是否显著大于药剂内变异？异？假设假设 对对 显著水平显著水平 ，F。测验计算：测验计算：F 查附表查附表5 v1=3，v2=12时时 F，F，实得，实得FFF 。推断：否定推断：否定 ，接受，接受 ；即药剂间；即药剂间变异显著地大于药剂内变异，不同药剂对水稻苗高是具有不变异显著地大于药剂内变异，不同药剂对水稻苗高是具有不同效应的。同效应的。例和例的分析结果可以归纳在一起，列出方差分析例和例的分析结果可以归纳在一起，列出方差分析表，如表所示。表，如表所示。表表 水稻水稻药剂处药剂处理苗高方差分析表理苗高方差分析表变变变变异来源异来源异来源异来源DFDFSSSSMSMSF F显显显显著著著著F F值值值值药剂处药剂处药剂处药剂处理理理理间间间间 3 3504504168.00168.0020.5620.56F F 0.05(3,12)0.05(3,12)=3.493.49 药剂处药剂处药剂处药剂处理内理内理内理内(误误误误差差差差)1212 9898 8.178.17F F 0.01(3,12)0.01(3,12)=5.955.95总总总总1515602602