无穷大量与无穷小量.ppt

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1、第5次课 第1章 函数与极限第5节 无穷小量与无穷大量二、二、无穷大量无穷大量三三、无穷小量的比较无穷小量的比较一、一、无穷小量无穷小量 当一、一、无穷小量无穷小量定义定义1.若时,函数则称函数例如:函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小量无穷小量.时为无穷小.说明说明:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!性质性质1：无穷小量与无穷小量的和、差、积仍为无穷小量无穷小量与无穷小量的和、差、积仍为无穷小量.性质性质2：无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量.例例1.求解解:利用性质 2 可知定理定理1变量变量y的极限为的极限为A等价于变量等价于

2、变量y-A为无穷小量为无穷小量.二、二、无穷大量无穷大量定义定义2 若变量变量则称变量则称变量为无穷大量，为无穷大量，的绝对值在变化过程中无限增大，的绝对值在变化过程中无限增大，记作记作如：如：性质性质1：正无穷大量与正无穷大量的和仍为正无穷大量，正无穷大量与正无穷大量的和仍为正无穷大量，负无穷大量与负无穷大量的和仍为负无穷大量负无穷大量与负无穷大量的和仍为负无穷大量.性质性质2：无穷大量与无穷大量的积仍为无穷大量无穷大量与无穷大量的积仍为无穷大量.注意注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.例如例如,函数当但所以时,不是无穷大!三、无穷小与无穷大的关

3、系三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2 在自变量的同一变化过程中,说明说明:四、无穷小的比较四、无穷小的比较都是无穷小,引例引例.但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.定义定义3若则称 是比 较高阶高阶无穷小量,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 较低阶低阶无穷小量;则称 是 的同阶同阶无穷小量;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小量;则称 是 的等价等价无穷小量,记作例如例如,当时熟记：灵活应用熟记：灵活应用-1定理定理6.设且存在,则证证:例例2,例例3 求(ab).解解 例例4 求 o解解 当x时，故