数理统计CH4参数估计.ppt

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1、第四章第四章 参数估计参数估计 Parameter Estimate 10/28/20221本章内容4.1 矩估计4.2 极大似然估计4.3 估计量的评价4.4 区间估计10/28/202224.4 区间估计Interval Estimation4 参数估计10/28/20223(1)什么是区间估计？区间估计区间估计区间估计(interval estimation)：设为所考察总体的未知参数，由样本构造统计量，并依给定概率1-1-(可靠度，可信度)由该统计量导出一个可能包含参数参数的取值区间区间，称作区间估计区间估计，其中区间的起始点由样本统计量及其分位点推定。10/28/20224(2)区间

2、估计的数学表达 区间估计参数的1-1-置信区间置信下限置信上限被估参数值属于置信区间的概率至少为1-1-10/28/20225 区间估计参数的1-1-置信区间置信下限置信上限离散总体连续总体(2)区间估计的数学表达10/28/20226样本观察值只是一次抽样的结果，多次抽样则每次的样本观察值不尽相同，故置信区间是随机区间，置信下限和置信上限是随机变化的。(3)区间估计是随机区间 区间估计10/28/20227(4)区间估计的频率解释 区间估计置信度1-1-可被视作置信区间覆盖待估参数 的频率频率。例如抽样100100次得置信区间的100100个观察值，其中约9595个观察值包含参数，约5 5个

3、不包含参数 10/28/20228 区间估计示例示例：设(X1,X2,Xn)是正态总体XN(,2)的一个样本，分布参数2已知，求E(X)=的1-置信区间。(5)区间估计的一般步骤步骤步骤1 1：选择统计量Z，因其包含待估参数，不包含其它未知参数，且概率分布确定10/28/20229 区间估计步骤步骤2 2：设定置信度1-1-，以此确定统计量Z的1-/21-/2分位点和/2/2分位点步骤步骤3 3：公式表达统计量Z在其1-/21-/2分位点和/2/2分位点之间取值的概率等于置信度1-1-(5)区间估计的一般步骤10/28/202210步骤步骤4 4：做事件的等价变换，将关于统计量的不等式变换为关

4、于待估参数的不等式 区间估计步骤步骤5 5：得置信下限和置信上限，即得的1-置信区间(5)区间估计的一般步骤10/28/202211 区间估计的1-置信区间满足下面的概率式：置信区间置信系数置信下限置信上限(5)区间估计的一般步骤10/28/202212 区间估计步骤步骤1 1：选择包含待估参数但不包含其它未知参数的统计量Y，该统计量概率分布确定步骤步骤2 2：选定置信度(置信系数)1-，确定统计量Y的1-/2/2分位点和/2/2分位点步骤步骤3 3：公式表达统计量Y在其1-/21-/2分位点和/2/2分位点之间取值的概率等于置信度1-1-步骤步骤4 4：由统计量Y与其分位点形成的不等式导出关

5、于参数 的不等式步骤步骤5 5：写出参数 的1-1-置信区间(5)区间估计的一般步骤10/28/202213 区间估计(6)区间估计的统计量 从区间估计的步骤里可看出，构造包含待估参数的统计量Y是实现区间估计的关键，一旦统计量Y构造成功，后续工作水到渠成。核心思路核心思路：构造既能估计参数又能利用已知分布的统计量，即构造出服从Z、2、t和F四种分布之一的统计量。区间估计的最终结果，是参数与统计量Y的分位点等所构成的不等式区间。10/28/202214 置信上限与置信下限之差称作区间长度，它表征参数估计的精确度。若样本容量固定，区间长度愈大置信度就愈高，但估计精度低；反之，区间长度愈小置信度就愈

6、低，但估计精度高。置信度和估计精度不可兼得，欲兼得，只能扩大样本容量。区间估计(7)区间长度与样本容量置信区间半长度L10/28/2022154.4.1 正态总体均值的区间估计Mean Interval Estimation 区间估计10/28/202216 正态总体均值的区间估计 某工厂生产的零件长度被认为服从正态分布N(,0.04)N(,0.04)，现在随机抽取6 6个该产品，得零件长度的测量数据如下(单位:mm)：，试根据样本数据解决下述问题：(a)求零件平均长度的双侧置信区间；(b)求零件平均长度的单侧置信区间，即单侧置信下限和单侧置信上限。(1)案例资料10/28/202217选定包

7、含均值且概率分布确定的统计量公式表达统计量事件的概率 正态总体均值的区间估计(2)方差已知方差已知均值双侧区间估计方法及步骤10/28/202218 正态总体均值的区间估计事件变换为关于均值的不等式得的1-置信区间(2)方差已知方差已知均值双侧区间估计方法及步骤10/28/202219 正态总体均值的区间估计(2)方差已知方差已知均值双侧区间估计的1-1-置信区间半长度：置信区间方法及步骤10/28/202220适用条件：正态总体样本且方差已知 正态总体均值的区间估计计算样本均值：查表计算分位点：(2)方差已知方差已知均值双侧区间估计计算置信区间半长度：10/28/202221 正态总体均值的

8、区间估计计算的双侧置信区间的置信下限：计算的双侧置信区间的置信上限：(2)方差已知方差已知均值双侧区间估计案例与实践计算的双侧置信区间为：10/28/202222 正态总体均值的区间估计(2)方差已知方差已知均值双侧区间估计案例与实践所求的置信区间是(14.79mm,15.11mm)10/28/202223 正态总体均值的区间估计(3)方差已知方差已知均值单侧区间估计单侧置信下限的1-1-单侧置信区间10/28/202224 正态总体均值的区间估计单侧置信上限(3)方差已知方差已知均值单侧区间估计的1-1-单侧置信区间10/28/202225 正态总体均值的区间估计(3)方差已知方差已知均值单

9、侧区间估计查表计算分位点：计算的单侧置信区间的置信下限：计算的单侧置信区间的置信上限：案例与实践10/28/202226 正态总体均值的区间估计(3)方差已知方差已知均值单侧区间估计的单侧置信区间：比较的双侧置信区间：区间估计比较10/28/202227 正态总体均值的区间估计案例案例：为估计一物体的重量，将其称量了1010次，得到重量数据如下(单位:kg)：假定物体的测定重量服从正态分布N(,2)，求该物体重量的双侧和单侧置信区间。问题分析问题分析：用X表示物体的测定重量，则它的期望就是物体的真实重量，且XN(,2)，问题可归结为用样本数据对总体参数进行区间估计，但方差未知，应采用T统计量。

10、(4)方差未知方差未知均值双侧区间估计10/28/202228(4)方差未知方差未知均值双侧区间估计 正态总体均值的区间估计选定包含均值且分布确定的统计量T T公式表达统计量的事件概率方法及步骤10/28/202229 正态总体均值的区间估计得的1-置信区间事件变换为被估参数的不等式(4)方差未知方差未知均值双侧区间估计方法及步骤10/28/202230 正态总体均值的区间估计(4)方差未知方差未知均值双侧区间估计注意分位点的尾概率是/2/2均值的双侧置信区间方法及步骤10/28/202231 正态总体均值的区间估计计算样本均值：计算样本标准差：(4)方差未知方差未知均值双侧区间估计案例与实践

11、10/28/202232 正态总体均值的区间估计查表计算分位点：计算分位点的尾概率：(4)方差未知方差未知均值双侧区间估计案例与实践计算的双侧置信区间的置信下限：10/28/202233计算的双侧置信区间的置信上限：正态总体均值的区间估计(4)方差未知方差未知均值双侧区间估计案例与实践得的双侧置信区间为：10/28/202234 正态总体均值的区间估计的1-1-单侧置信区间：单侧置信下限导出关于被估参数的事件与概率：(5)方差未知方差未知均值单侧区间估计10/28/202235 正态总体均值的区间估计(5)方差未知方差未知均值单侧区间估计单侧置信下限注意分位点的尾概率是 单侧置信下限10/28

12、/202236 正态总体均值的区间估计单侧置信上限导出关于被估参数的事件与概率：(5)方差未知方差未知均值单侧区间估计的1-1-单侧置信区间：10/28/202237 正态总体均值的区间估计(5)方差未知方差未知均值单侧区间估计单侧置信上限注意分位点的尾概率是 单侧置信上限10/28/202238 正态总体均值的区间估计查表计算分位点：计算的单侧置信区间的置信下限：计算的单侧置信区间的置信上限：(5)方差未知方差未知均值单侧区间估计案例与实践10/28/202239 正态总体均值的区间估计的单侧置信区间：比较的双侧置信区间：(5)方差未知方差未知均值单侧区间估计区间估计比较10/28/2022

13、404.4.2 正态总体方差的区间估计Variance Interval Estimation 区间估计10/28/202241(1)案例资料 正态总体方差的区间估计 为估计某仪器测定物体重量的方差，将一物体称了10次，得数据如下(单位:kg)：假定物体的测定重量服从正态分布N(,2 2)，求该仪器测重量方差的置信区间。问题分析问题分析：用X表示物体的测定重量，根据题意则XN(,2 2)，其中 2 2 就是仪器测重量的方差，问题可归结为用样本数据计算s s2 2并对总体参数 2 2进行区间估计，应采用 2统计量。10/28/202242 选取包含待估参数2且有确定分布的 2统计量，2统计量与样

14、本均值无关，均值已知或未知无关紧要。(2)方差双侧区间估计 正态总体方差的区间估计包含参数2分布可知方法和步骤10/28/202243 正态总体方差的区间估计公式表达统计量事件的概率事件变换为关于2 2的不等式(2)方差双侧区间估计方法和步骤10/28/202244 正态总体方差的区间估计(2)方差双侧区间估计方法和步骤统计量的置信上限统计量的置信区间 2 2的双侧置信区间：10/28/202245 正态总体方差的区间估计(2)方差双侧区间估计计算样本方差：案例与实践计算分位点的尾概率：10/28/202246 正态总体方差的区间估计计算2的置信区间的置信上限：计算2的置信区间的置信下限：(2

15、)方差双侧区间估计10/28/202247 正态总体方差的区间估计结论结论：仪器测重方差的一个置信区间是()计算 2 2的置信区间(观察值)：案例与实践(2)方差双侧区间估计10/28/202248 正态总体方差的区间估计(3)方差单侧区间估计单侧置信下限注意分位点的尾概率是 2 2的单侧置信区间：10/28/202249 正态总体方差的区间估计(3)方差单侧区间估计单侧置信上限注意分位点的尾概率是1-1-2 2的单侧置信区间：10/28/2022504.4.3 正态总体均值差的区间估计Means Difference Interval Estimation 区间估计10/28/202251

16、正态总体均值差的区间估计 为检验两条矿泉水自动灌装生产线的灌装差异，分别抽得它们的单瓶灌装容积(mL)样本。流水线A抽样1212瓶，得均值和方差；流水线B抽样1717瓶，得均值和方差。假定单瓶罐装容积服从正态分布，在下面前题下试以置信度判断两生产线的罐装容积是否相同：a)总体方差1 12 2=和2 22 2=；b)两总体方差未知但相同。(1)案例资料10/28/202252 正态总体均值差的区间估计(2)梳理问题和条件设样本为和及相互独立且问题可归结为：a)方差已知均值差的区间估计；即在 1 12 2和 2 22 2已知条件下求参数1-2的1-置信区间；b)方差未知均值差的区间估计；即在方差未

17、知但 1 12 2=2 22 2条件下求1-2的1-置信区间10/28/202253(3)方差已知方差已知均值差双侧区间估计 正态总体均值差的区间估计选定包含待估参数均值差 1 1-2 2且概率分布确定的统计量Z包含均值差1-2 分布确定方法和步骤10/28/202254 正态总体均值差的区间估计公式表达统计量事件的概率方法和步骤(3)方差已知方差已知均值差双侧区间估计10/28/202255 1 1-2 2的1-1-置信区间 正态总体均值差的区间估计事件变换为关于均值差 1 1-2 2的不等式方法和步骤(3)方差已知方差已知均值差双侧区间估计10/28/202256 正态总体均值差的区间估计

18、方法和步骤(3)方差已知方差已知均值差双侧区间估计 1 1-2 2的1-1-双侧置信区间10/28/2022571-置信区间的半长度：正态总体均值差的区间估计计算1-2的1-置信区间：计算样本均值差：方法和步骤(3)方差已知方差已知均值差双侧区间估计10/28/202258 正态总体均值差的区间估计查表计算分位点：计算样本均值差：计算1-2的置信区间的半长度：(3)方差已知方差已知均值差双侧区间估计10/28/202259 正态总体均值差的区间估计计算1-2的置信区间的置信下限：结论结论：1-2的一个置信区间是(-1.1645,3.9645)计算1-2的置信区间的置信上限：案例与实践(3)方差

19、已知方差已知均值差双侧区间估计10/28/202260 正态总体均值差的区间估计(3)方差已知方差已知均值差双侧区间估计均值差 1 1-2 2的双侧置信区间案例与实践10/28/202261 正态总体均值差的区间估计结果与讨论结果与讨论：置信区间()表明，两生产线的灌装容积差异1-2可能小于0 0也可能大于0 0，不能确定1和和2孰大孰小，因此推断，两生产线矿泉水的灌装容积无显著差异。按小概率事件原理，认为它们的灌装容积相同，即认为1-2=0。(3)方差已知方差已知均值差双侧区间估计案例与实践10/28/202262 正态总体均值差的区间估计(4)方差已知方差已知均值差单侧区间估计单侧置信下限

20、 由Z统计量的事件概率导出关于 1 1-2 2的事件概率，进而得1-1-置信区间：10/28/202263 正态总体均值差的区间估计(4)方差已知方差已知均值差单侧区间估计单侧置信下限 1 1-2 2的1-1-单侧置信区间10/28/202264 正态总体均值差的区间估计(4)方差已知方差已知均值差单侧区间估计单侧置信上限 由Z统计量的事件概率导出关于 1 1-2 2的事件概率，进而得1-1-置信区间：10/28/202265 正态总体均值差的区间估计(4)方差已知方差已知均值差单侧区间估计单侧置信上限 1 1-2 2的1-1-单侧置信区间10/28/202266(5)方差未知方差未知均值差双

21、侧区间估计 正态总体均值差的区间估计选定包含待估参数均值差1-2且有确定分布的统计量T包含均值差1-2 分布确定方法和步骤10/28/202267 正态总体均值差的区间估计方法和步骤(5)方差未知方差未知均值差双侧区间估计合并方差其中：10/28/202268 正态总体均值差的区间估计公式表达统计量事件的概率方法和步骤(5)方差未知方差未知均值差双侧区间估计10/28/202269 正态总体均值差的区间估计拆解1-1-置信度的绝对不等式方法和步骤(5)方差未知方差未知均值差双侧区间估计10/28/202270 正态总体均值差的区间估计得1-1-置信区间的置信下限得1-1-置信区间的置信上限方法

22、和步骤(5)方差未知方差未知均值差双侧区间估计10/28/2022711-2的1-置信区间的半长度：1-2的1-置信区间：样本均值差：正态总体均值差的区间估计方法和步骤(5)方差未知方差未知均值差双侧区间估计10/28/202272 正态总体均值差的区间估计方法和步骤(5)方差未知方差未知均值差双侧区间估计 1 1-2 2的1-1-双侧置信区间10/28/202273 正态总体均值差的区间估计计算分位点的尾概率：查表计算分位点：(5)方差未知方差未知均值差双侧区间估计案例与实践10/28/202274 正态总体均值差的区间估计计算样本均值差：计算样本复合方差：(5)方差未知方差未知均值差双侧区

23、间估计案例与实践10/28/202275 正态总体均值差的区间估计计算1-2置信区间的半长度：案例与实践(5)方差未知方差未知均值差双侧区间估计10/28/202276 正态总体均值差的区间估计计算1-2的置信区间的置信上限CU：计算1-2的置信区间的置信下限CL：结论结论：置信区间为(-0.1007,2.9007)(-0.1007,2.9007)表明，两生产线罐装容积之差可能正也可能负，不能确定孰大孰小，统计上认为均值无显著差异。(5)方差未知方差未知均值差双侧区间估计案例与实践10/28/202277 正态总体均值差的区间估计(6)方差未知方差未知均值差单侧区间估计单侧置信下限 由T统计量

24、的事件概率导出关于均值差 1 1-2 2的事件概率，进而得1-1-置信区间：10/28/202278 正态总体均值差的区间估计单侧置信下限(6)方差未知方差未知均值差单侧区间估计 1 1-2 2的1-1-单侧置信区间10/28/202279 正态总体均值差的区间估计单侧置信上限(6)方差未知方差未知均值差单侧区间估计 由T统计量的事件概率导出关于均值差 1 1-2 2的事件概率，进而得1-1-置信区间：10/28/202280 正态总体均值差的区间估计单侧置信上限(6)方差未知方差未知均值差单侧区间估计 1 1-2 2的1-1-单侧置信区间10/28/2022814.4.4 正态总体方差比的区

25、间估计Variance Ratio Interval Estimation 区间估计10/28/202282 为比较两条矿泉水自动灌装生产线的灌装精度，分别抽得它们的单瓶灌装容积(mL)样本。流水线A抽样1212瓶，得均值和方差；流水线B抽样1717瓶，得均值和方差。假定单瓶罐装容积服从正态分布，试以置信度判断两生产线的罐装精度是否相同。(1)案例资料 正态总体方差比的区间估计10/28/202283 正态总体方差比的区间估计(2)梳理问题和条件已知样本和及相互独立且 问题归结为求方差比12/22的1-置信区间，即正态总体方差比的区间估计。因为将要构造的统计量F与均值无关，均值是否已知不影响区

26、间估计的结果，故而方差比的区间估计只有一种类型。10/28/202284(3)方差比双侧区间估计 正态总体方差比的区间估计选定包含待估参数方差比 1 12 2/2 22 2 且有确定分布的统计量F包含方差比12/22 分布确定方法和步骤10/28/202285事件变换为关于方差比 1 12 2/1 12 2的不等式 正态总体方差比的区间估计公式表达统计量事件的概率方法和步骤(3)方差比双侧区间估计10/28/202286 正态总体方差比的区间估计方法和步骤(3)方差比双侧区间估计得 1 12 2/2 22 2的1-1-双侧置信区间：10/28/202287 正态总体方差比的区间估计计算分位点的

27、尾概率：查表计算统计量F的/2/2分位点：(3)方差比双侧区间估计10/28/202288 正态总体方差比的区间估计查表计算统计量F的1-/21-/2分位点：(3)方差比双侧区间估计10/28/202289 正态总体方差比的区间估计计算样本方差比：计算12/22置信区间的置信下限CL：(3)方差比双侧区间估计案例与实践10/28/202290 正态总体方差比的区间估计计算12/22置信区间的置信上限CU：讨论讨论：置信区间是()的结果表明，两生产线罐装容积的方差比方差比可能大于1 1也可能小于1 1，不能确定12和22孰大孰小，统计上认为两总体方差无显著差异。(3)方差比双侧区间估计10/28

28、/202291 正态总体方差比的区间估计单侧置信下限(4)方差比单侧区间估计 由F统计量的事件概率导出关于方差比 1 12 2/2 22 2的事件概率，进而得1-1-置信区间：10/28/202292 正态总体方差比的区间估计单侧置信下限(4)方差比单侧区间估计得 1 12 2/2 22 2的1-1-单侧置信区间：10/28/202293 正态总体方差比的区间估计(4)方差比单侧区间估计单侧置信上限 由F统计量的事件概率导出关于方差比 1 12 2/2 22 2的事件概率，进而得1-1-置信区间：10/28/202294 正态总体方差比的区间估计(4)方差比单侧区间估计单侧置信上限得 1 12

29、 2/2 22 2的1-1-单侧置信区间：10/28/2022954.4.5 非正态总体的区间估计Interval Estimationnot the Normal Population 区间估计10/28/202296非正态总体非正态总体区间估计的方法 非正态总体的区间估计非正态总体指随机变量遵从其它已知分布或未知分布的总体。实际中遇到的某些参数估计问题，往往总体分布类型并不知道或难于弄清。一些离散或连续的已知总体难于确定抽样分布，不象正态总体具有完善的抽样理论。非正态总体的区间估计可应用中心极限定理完成近似估计，即所谓的大样本方法。10/28/202297 区间估计课堂小测验设X1,X2,Xn是总体的一个样本，试证明下面公式成立且是总体方差的无偏估计。10/28/202298结束结束10/28/202299