《导数和极限》PPT课件.ppt

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1、第二章第二章 导数与极限导数与极限2.1 导数的概念导数的概念2.2 极限极限2.3 函数的连续性函数的连续性2.4 导数的计算导数的计算2.5 高阶导数高阶导数2.1 导数的概念导数的概念1 问题的引出问题的引出2 导数的定义导数的定义3 由定义求导数由定义求导数4 导数的几何意义和物理意义导数的几何意义和物理意义一、问题的提出一、问题的提出-瞬时速度问题瞬时速度问题设作直线运动的质点，它的路程规律是设作直线运动的质点，它的路程规律是s=s(t)，求它在任意时刻求它在任意时刻t0的速度的速度v(t0).0S时间时间:路程路程:第第一一步步第第二二步步在这段时间间隔内的平均速度在这段时间间隔内

2、的平均速度最最后后切线问题切线问题播放播放如图如图,如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即二、导数的定义二、导数的定义定义定义其它形式其它形式即即思考思考三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步骤:例例1 1例例四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为2.物理意义物理意义在均匀情况下，凡是用除法定义的物理概念，在均匀情况下，凡是用除法定义的物理概念，在不均匀情况下，绝大多数是导数在不均匀情况下，绝大多数是导

3、数均匀均匀不均匀不均匀速度速度加速度加速度电流强度电流强度线密度线密度 角速度角速度关于导数的说明：关于导数的说明：五小结五小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;2.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;3.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.2.2 极限极限 1 数列极限的定义数列极限的定义 2 函数极限的定义函数极限的定义 数列的极限数列的极限1 数列的定义数列的定义2 数列极限的定义数列极限的定义3 数列极限的性质数列极限的性质一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭一根一尺长的木棒，每天拿去剩下的一半，却一根一

4、尺长的木棒，每天拿去剩下的一半，却永远拿不完。永远拿不完。一、数列的定义一、数列的定义例如例如注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数 有界性有界性例如例如,有界有界无界无界 单调性单调性单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列二、数列的极限二、数列的极限问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.如果

5、数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：几何解释几何解释:数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于其本身常数列的极限等于其本身.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.例例3证证例例4证证三、数列极限的性质三、数列极限的性质四四则则运运算算法法则则 子数列子数列注意：注意：例如，例如，定理定理1 1 以下三个命题等价以下三个命题等价 n有一子列发散的数列必发散有一

6、子列发散的数列必发散n或两个子列都收敛但收敛于不同值或两个子列都收敛但收敛于不同值的数列也发散，例的数列也发散，例定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.例例 函数极限的定义函数极限的定义1 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限2 自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限1 自变量趋向于有限值时函数的极限自变量趋向于有限值时函数的极限xyo问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.记作

7、记作几何解释几何解释:注意：注意：单侧极限单侧极限:例如例如,左极限左极限右极限右极限例例2 自变量趋向于无穷大时函数的极限自变量趋向于无穷大时函数的极限另两种情形另两种情形:几何解释几何解释:例例函数极限的统一定义函数极限的统一定义小结小结过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 2.2.3 函数极限的性质函数极限的性质1 唯一性唯一性 2局部有界性局部有界性3局部保序性局部保序性 4局部保号性局部保号性2.有界性有界性1.唯一性唯一性一一 函数极限的性质函数极限的性质注意：注意：这是极限存在的一个必要不充分条件。这是极限存在的一个必要不充分条件。可得又一个判断极限不存在的方法：可得又一

8、个判断极限不存在的方法：函数在某点的去心邻域内无界，则在这点的极限必不存在。函数在某点的去心邻域内无界，则在这点的极限必不存在。3.不等式性质不等式性质定理定理7(7(保序性保序性)定理（比较区别）定理（比较区别）推论推论1(1(保号性保号性)推论推论2 2.2.4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大1 无穷小的定义与性质无穷小的定义与性质2 无穷大的定义与性质无穷大的定义与性质3 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系1、定义、定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.二二 无穷小与无穷大无穷小与无穷大注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;

9、（2）零是唯一可以作为无穷小的常数）零是唯一可以作为无穷小的常数.性质：无穷小与函数极限的关系性质：无穷小与函数极限的关系意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);定义定义 绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.2 无穷大无穷大若若 ，则称函数，则称函数f(x)为为 时的无穷大。时的无穷大。特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是但是 无界变量未必是无穷大

10、无界变量未必是无穷大.定理定理9 9 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.3 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.性质性质:(1)若在若在x的某一变化过程中，的某一变化过程中，f(x)是无穷大，是无穷大，g(x)是有界量，则是有界量，则f(x)+g(x)是无穷大。是无穷大。(2)若在若在x的某一变化过程中，的某一变化过程中，f(x)是无穷大，是无穷大，g(x)满足满足|g(x)|M(M0),则则f(x

11、)g(x)是无穷大。是无穷大。2.2.5 极限的运算法则极限的运算法则 A 无穷小的运算法则无穷小的运算法则 B 极限的运算法则极限的运算法则 C 复合函数求极限的换元法复合函数求极限的换元法 D 夹逼准则夹逼准则 A、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理10 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的和仍是无穷小有限个无穷小的和仍是无穷小.定理定理11 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积有极限的变量与无穷小的乘积 是无穷小是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小

12、.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理定理12B 极限的运算法则极限的运算法则推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2小结小结:解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例解解例例(消去零因子法消去零因子法)例例解解(无穷小因子无穷小因子分出法分出法)小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子以分母中自变量的最高次幂除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限

13、，无极无极限，那么限，那么 是否有极限？为什么是否有极限？为什么？极限不存在极限不存在在某个过程中，若在某个过程中，若f(x)极限不存在，极限不存在，g(x)极极限也不存在，则限也不存在，则f(x)+g(x)极限是否存在？极限是否存在？为什么？为什么？不一定，可能存在，可能不存在不一定，可能存在，可能不存在意义：意义：D 极限存在准则极限存在准则C 复合函数求极限的换元法复合函数求极限的换元法 E 两个重要极限两个重要极限 2.2.5 极限的运算法则极限的运算法则 2.2.6 无穷小的比较无穷小的比较A 无穷小的阶无穷小的阶B 等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理C 无穷小的主部无穷小的主部D

14、 极限存在准则极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则 例例E、两个重要极限、两个重要极限(1)(2)O证明证明:不妨设不妨设|x|ACBD显然显然,即即有有即即两个重要极限的推广两个重要极限的推广例例1例例2例例3例例4例例5例例6另一个常用的重要极限另一个常用的重要极限例例1例例2例例3其中其中结论结论例例4 无穷小的比较无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限A 无穷小的阶无穷小的阶定义定义:例例2例例1例例3从而得从而得例例4 即即即即B 等价无穷小代换等价无穷小代换定理定理12(12(等价无穷小代

15、换定理等价无穷小代换定理)若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限注意注意不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换.例例1显然显然而而所以所以即即=1例例2解解:由题意知由题意知所以所以a=2例例3例例4例例5注意注意:在用等价无穷小代换时在用等价无穷小代换时,

16、必须是在必须是在乘积形式乘积形式 的极限中的极限中,和差形式不能代换和差形式不能代换.例例6C 无穷小的主部无穷小的主部意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,常用等价无穷小常用等价无穷小:小结小结1、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的无穷小的阶阶.则则思考：思考：证明：证明：