时间序列分析-第三章平稳时间序列分析.ppt

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1、第三章平稳时间序列分析2022/10/281本章结构n方法性工具 nARMA模型 n平稳序列建模n序列预测 2022/10/2823.1 方法性工具 n差分运算n延迟算子n线性差分方程2022/10/283差分运算n一阶差分n 阶差分 n 步差分2022/10/284延迟算子n延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻 n记B为延迟算子，有 2022/10/285延迟算子的性质n n n n n ，其中 2022/10/286用延迟算子表示差分运算n 阶差分 n 步差分2022/10/287线性差分方程 n线性差分方程n齐次线性差分方程

2、2022/10/288齐次线性差分方程的解n特征方程n特征方程的根称为特征根，记作n齐次线性差分方程的通解n不相等实数根场合n有相等实根场合n复根场合2022/10/289非齐次线性差分方程的解 n非齐次线性差分方程的特解n使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解n非齐次线性差分方程的通解n齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和2022/10/28103.2 ARMA模型的性质 nAR模型（Auto Regression Model）nMA模型（Moving Average Model）nARMA模型（Auto Regression Moving Average model）202

3、2/10/2811AR模型的定义n具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为n特别当 时，称为中心化 模型2022/10/2812 AR(P)序列中心化变换n称 为 的中心化序列，令2022/10/2813自回归系数多项式n引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为 n自回归系数多项式2022/10/2814AR模型平稳性判别 n判别原因nAR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的 n判别方法n单位根判别法n平稳域判别法2022/10/2815例3.1:考察如下四个模型的平稳性2022/10/28162022/10/28172022/10/2818AR模型平稳性判别方

4、法n特征根判别nAR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内n根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外n平稳域判别 n平稳域2022/10/2819AR(1)模型平稳条件n特征根n平稳域2022/10/2820AR(2)模型平稳条件n特征根n平稳域2022/10/2821模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳2022/10/2822平稳AR模型的统计性质n均值n方差n协方差n自相关系数n偏自相关系数2022/10/2823均值 n如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有n根据平稳序列均值为常

5、数，且 为白噪声序列，有n推导出2022/10/2824Green函数定义nAR模型的传递形式n其中系数 称为Green函数2022/10/2825Green函数递推公式n原理n方法n待定系数法n递推公式2022/10/2826方差n平稳AR模型的传递形式n两边求方差得2022/10/2827例3.2:求平稳AR(1)模型的方差n平稳AR(1)模型的传递形式为nGreen函数为n平稳AR(1)模型的方差2022/10/2828协方差函数n在平稳AR(p)模型两边同乘 ，再求期望n根据n得协方差函数的递推公式2022/10/2829例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差n递推公式n平稳AR(1)

6、模型的方差为n协方差函数的递推公式为2022/10/2830例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差n平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为2022/10/2831自相关系数n自相关系数的定义n平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式2022/10/2832常用AR模型自相关系数递推公式nAR(1)模型nAR(2)模型2022/10/2833AR模型自相关系数的性质n拖尾性n呈复指数衰减2022/10/2834例3.5:考察如下AR模型的自相关图2022/10/2835例3.5n自相关系数按复指数单调收敛到零2022/10/2836例3.5:2022/10/2837例3.5:n自相关系数呈现出“

7、伪周期”性2022/10/2838例3.5:n自相关系数不规则衰减2022/10/2839偏自相关系数n定义对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量 的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对 影响的相关度量。用数学语言描述就是2022/10/2840偏自相关系数的计算n滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。2022/10/2841偏自相关系数的截尾性nAR(p)模型偏自相关系数P阶截尾2022/10/2842例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图2022/10/2843例3.5n理论偏自相关系数n样本偏自相关

8、图2022/10/2844例3.5:n理论偏自相关系数n样本偏自相关图2022/10/2845例3.5:n理论偏自相关系数n样本偏自相关图2022/10/2846例3.5:n理论偏自相关系数n样本偏自相关系数图2022/10/2847MA模型的定义n具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为n特别当 时，称为中心化 模型2022/10/2848移动平均系数多项式n引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为 n 阶移动平均系数多项式2022/10/2849MA模型的统计性质n常数均值n常数方差2022/10/2850MA模型的统计性质n自协方差函数P阶截尾n自相关系数P阶截尾2022/10/285

9、1常用MA模型的自相关系数nMA(1)模型nMA(2)模型2022/10/2852MA模型的统计性质n偏自相关系数拖尾2022/10/2853例3.6:考察如下MA模型的相关性质2022/10/2854MA模型的自相关系数截尾n n 2022/10/2855MA模型的自相关系数截尾n n 2022/10/2856MA模型的偏自相关系数拖尾n n 2022/10/2857MA模型的偏自相关系数拖尾n n 2022/10/2858MA模型的可逆性nMA模型自相关系数的不唯一性nMA模型具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数2022/10/2859可逆的定义n可逆MA模型定义n若一个MA模型能够表示

10、称为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型n可逆概念的重要性n一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。2022/10/2860可逆MA(1)模型n n 2022/10/2861MA模型的可逆条件nMA(q)模型的可逆条件是：nMA(q)模型的特征根都在单位圆内n等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外2022/10/2862逆函数的递推公式n原理n方法n待定系数法n递推公式2022/10/2863例3.6续:考察如下MA模型的可逆性2022/10/2864(1)(2)n n n逆函数n逆转形式2022/10/2865(3)(4)n n n逆函数n逆转形式2022/10/286

11、6ARMA模型的定义n具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为n特别当 时，称为中心化 模型2022/10/2867系数多项式n引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为 n 阶自回归系数多项式n 阶移动平均系数多项式2022/10/2868平稳条件与可逆条件nARMA(p,q)模型的平稳条件nP阶自回归系数多项式 的根都在单位圆外n即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定nARMA(p,q)模型的可逆条件nq阶移动平均系数多项式 的根都在单位圆外n即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定2022/10/2869传递形式与逆转形式n传递形式n逆

12、转形式2022/10/2870ARMA(p,q)模型的统计性质n均值n协方差n自相关系数2022/10/2871ARMA模型的相关性n自相关系数拖尾n偏自相关系数拖尾2022/10/2872例3.7:考察ARMA模型的相关性n拟合模型ARMA(1,1):并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。2022/10/2873自相关系数和偏自相关系数拖尾性n样本自相关图n样本偏自相关图2022/10/2874ARMA模型相关性特征模型自相关系数偏自相关系数AR(P)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾2022/10/2875平稳序列建模 n建模步骤n模型识别n参数估计n

13、模型检验n模型优化n序列预测2022/10/2876建模步骤平平稳稳非非白白噪噪声声序序列列计计算算样样本本相相关关系系数数模型模型识别识别参数参数估计估计模型模型检验检验模模型型优优化化序序列列预预测测YN2022/10/2877计算样本相关系数n样本自相关系数n样本偏自相关系数2022/10/2878模型识别n基本原则选择模型拖尾P阶截尾AR(P)q阶截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)2022/10/2879模型定阶的困难n因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的 或 仍会呈现出小值振荡的情况n由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数

14、 ，与 都会衰减至零值附近作小值波动？当 或 在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？2022/10/2880样本相关系数的近似分布nBarlettnQuenouille2022/10/2881模型定阶经验方法n95的置信区间n模型定阶的经验方法n如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。2022/10/2882n选择合适的

15、模型ARMA拟合1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列。2022/10/2883序列自相关图2022/10/2884序列偏自相关图2022/10/2885拟合模型识别n自相关图显示延迟3阶之后，自相关系数全部衰减到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾 n偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾 n所以可以考虑拟合模型为AR(1

16、)2022/10/2886美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列 2022/10/2887序列自相关图2022/10/2888序列偏自相关图2022/10/2889拟合模型识别n自相关图显示除了延迟1阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其它阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根据这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，可以认为该序列自相关系数1阶截尾n偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。n综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为MA(1)2022/10/2890n1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列 2022/10

17、/2891序列自相关图2022/10/2892序列偏自相关图2022/10/2893拟合模型识别n自相关系数显示出不截尾的性质n偏自相关系数也显示出不截尾的性质n综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可以尝试使用ARMA(1,1)模型拟合该序列2022/10/2894参数估计n待估参数n 个未知参数n常用估计方法n矩估计n极大似然估计n最小二乘估计2022/10/2895矩估计n原理n样本自相关系数估计总体自相关系数n样本一阶均值估计总体均值，样本方差估计总体方差2022/10/2896例3.10:求AR(2)模型系数的矩估计nAR(2)模型nYule-Walker方程n矩估计（Yule-

18、Walker方程的解）2022/10/2897例3.11:求MA(1)模型系数的矩估计nMA(1)模型n方程n矩估计2022/10/2898例3.12:求ARMA(1,1)模型系数的矩估计nARMA(1,1)模型n方程n矩估计2022/10/2899对矩估计的评价n优点n估计思想简单直观n不需要假设总体分布n计算量小（低阶模型场合）n缺点n信息浪费严重n只用到了p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略n估计精度差n通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值 2022/10/28100极大似然估计n原理n在极大似然准则下，认为样本来自使该样本出现概率最大的总体。因此未知参

19、数的极大似然估计就是使得似然函数（即联合密度函数）达到最大的参数值 2022/10/28101似然方程n由于 和 都不是 的显式表达式。因而似然方程组实际上是由p+q+1个超越方程构成，通常需要经过复杂的迭代算法才能求出未知参数的极大似然估计值 2022/10/28102对极大似然估计的评价n优点n极大似然估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高n同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐近有效性等许多优良的统计性质n缺点n需要假定总体分布2022/10/28103最小二乘估计n原理n使残差平方和达到最小的那组参数值即为最小二乘估计值 2022/10/28104条件最小二乘估计n

20、实际中最常用的参数估计方法n假设条件n残差平方和方程n解法n迭代法2022/10/28105对最小二乘估计的评价n优点n最小二乘估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高n条件最小二乘估计方法使用率最高n缺点n需要假定总体分布2022/10/28106n确定1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径 n拟合模型：AR(1)n估计方法：极大似然估计n模型口径2022/10/28107n确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径 n拟合模型：MA(1)n估计方法：条件最小二乘估计n模型口径2022/10/28108n确定18

21、80-1985全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型的口径 n拟合模型：ARMA(1,1)n估计方法：条件最小二乘估计n模型口径2022/10/28109模型检验n模型的显著性检验n整个模型对信息的提取是否充分n参数的显著性检验n模型结构是否最简2022/10/28110模型的显著性检验n目的n检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）n检验对象n残差序列n判定原则n一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列 n反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效2022/10/28111假设条件

22、n原假设：残差序列为白噪声序列n备择假设：残差序列为非白噪声序列2022/10/28112检验统计量nLB统计量2022/10/28113n检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的显著性 n残差白噪声序列检验结果延迟阶数LB统计量P值检验结论65.830.3229拟合模型显著有效1210.280.50501811.380.83612022/10/28114参数显著性检验n目的n检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著参数使模型结构最精简 n假设条件n检验统计量2022/10/28115n检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列极大似然估计模型的参数是否显

23、著 n参数检验结果检验参数t统计量P值结论均值46.120.0001显著6.720.0001显著2022/10/28116例3.8续:对OVERSHORTS序列的拟合模型进行检验 n残差白噪声检验n参数显著性检验检验参数t统计量P值结论均值3.750.0004显著10.600.0001显著延迟阶数LB统计量P值结论63.150.6772模型显著有效129.050.61712022/10/28117例3.9续:对1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型进行检验 n残差白噪声检验n参数显著性检验检验参数t统计量P值结论16.340.0001显著3.50.0007显著延迟阶数LB统计

24、量P值结论65.280.2595模型显著有效1210.300.42472022/10/28118模型优化n问题提出n当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。n优化的目的n选择相对最优模型 2022/10/28119例3.13:拟合某一化学序列2022/10/28120序列自相关图2022/10/28121序列偏自相关图2022/10/28122拟合模型一n根据自相关系数2阶截尾，拟合MA(2)模型n参数估计n模型检验n模型显著有效 n三参数均显著 2022/10/28123拟合模型二n根据偏自相关系数1阶截尾，拟合MA(

25、1)模型n参数估计n模型检验n模型显著有效 n两参数均显著 2022/10/28124问题n同一个序列可以构造两个拟合模型，两个模型都显著有效，那么到底该选择哪个模型用于统计推断呢？n解决办法n确定适当的比较准则，构造适当的统计量，确定相对最优2022/10/28125AIC准则n最小信息量准则（An Information Criterion）n指导思想n似然函数值越大越好 n未知参数的个数越少越好 nAIC统计量2022/10/28126SBC准则nAIC准则的缺陷n在样本容量趋于无穷大时，由AIC准则选择的模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多 nSBC统计量202

26、2/10/28127n用AIC准则和SBC准则评判例中两个拟合模型的相对优劣 n结果nAR(1)优于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556543.2011AR(1)535.7896540.28662022/10/28128序列预测n线性预测函数n预测方差最小原则2022/10/28129序列分解预测误差预测误差预测值预测值2022/10/28130误差分析n估计误差n期望n方差2022/10/28131AR(p)序列的预测n预测值n预测方差n95置信区间2022/10/28132n已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型（单位：万元/每月）n今年第一季度该超市月销售额分别为：n请

27、确定该超市第二季度每月销售额的95的置信区间 2022/10/28133例3.14解：预测值计算n四月份n五月份n六月份2022/10/28134例3.14解：预测方差的计算nGREEN函数n方差2022/10/28135例3.14解：置信区间n公式n估计结果预测时期95置信区间四月份（85.36，108.88）五月份（83.72，111.15）六月份（81.84，113.35）2022/10/28136例2.5:北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图 2022/10/28137MA(q)序列的预测n预测值n预测方差2022/10/28138n已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模

28、型（单位：万）：n最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：n预测未来5年该地区常住人口的95置信区间年份统计人数预测人数2002104110200310810020041051092022/10/28139例3.15解：随机扰动项的计算2022/10/28140例3.15解：估计值的计算2022/10/28141例3.15解：预测方差的计算2022/10/28142例3.15解：置信区间的计算预测年份95置信区间2005（99，119）2006（83，109）2007（87，115）2008（86，114）2009（86，114）2022/10/28143ARMA(p,q)序列预测n预测值n

29、预测方差2022/10/28144n已知模型为：n且 n预测未来3期序列值的95的置信区间。2022/10/28145例3.16解：估计值的计算2022/10/28146例3.16解：预测方差的计算nGreen函数n方差2022/10/28147例3.16解：置信区间的计算时期95置信区间101（0.136，0.332）102（0.087，0.287）103（0.049，0.251）2022/10/28148修正预测n定义n所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值 n方法n在新的信息量比较大时把新信息加入到旧的信息中，重新拟合模型 n在新的信息量很小时不重新拟合模型，只是将

30、新的信息加入以修正预测值，提高预测精度2022/10/28149修正预测原理n在旧信息的基础上，的预测值为n假设新获得一个观察值 ，则n 的修正预测值为n修正预测误差为n预测方差为2022/10/28150一般情况n假设新获得p个观察值 ，则n 的修正预测值为n修正预测误差为n预测方差为2022/10/28151例3.14续:假如四月份的真实销售额为100万元，求二季度后两个月销售额的修正预测值 n计算四月份的预测误差n计算修正预测值n计算修正方差2022/10/28152修正置信区间预测时期修正前置信区间修正后置信区间四月份（85.36，108.88）五月份（83.72，111.15）（87.40，110.92）六月份（81.84，113.35）（85.79，113.21）2022/10/28153