环境规划与管理的数学基础第四章讲义.ppt

《环境规划与管理的数学基础第四章讲义.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《环境规划与管理的数学基础第四章讲义.ppt（74页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第四章第四章 环境规划与管理的环境规划与管理的 数学基础数学基础 第一节第一节 环境数据处理方法环境数据处理方法 第二节第二节 最优化分析方法最优化分析方法 第三节第三节 常用决策分析方法常用决策分析方法 第四节第四节 环境数学模型环境数学模型 第一节第一节 环境数据处理方法环境数据处理方法列表法 图示法 一、数据的表示方法一、数据的表示方法 将数据列成表格，将各变量的数值将数据列成表格，将各变量的数值依照一定的形式和顺序一一对应起来，依照一定的形式和顺序一一对应起来，它通常是整理数据的第一步，能为标绘曲线图或它通常是整理数据的第一步，能为标绘曲线图或整理成数学公式打下基础。整理成数学公式打下

2、基础。将数据用图形表示出来，它能用将数据用图形表示出来，它能用更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来,可以直观地看出数据变化的特征和规律可以直观地看出数据变化的特征和规律,为后一步数学模型的建立提供依据为后一步数学模型的建立提供依据。插值法计算数值1 1、列表法、列表法例：研究电阻的阻值与温度的关系时，测试结果如下：例：研究电阻的阻值与温度的关系时，测试结果如下：测量序号测量序号温度温度t/t/电阻电阻R/R/1 110105 5101042422 229294 4101092923 342427 7111132324 460600 011118080

3、5 575750 0121224246 691910 0121267672 2、图示法、图示法n图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量y y与自变量与自变量x x相对应的相对应的y yi i与与x xi i数据表格。数据表格。n作曲线图时必须依据一定的法则，只有遵守这些作曲线图时必须依据一定的法则，只有遵守这些法则，才能得到与实验点位置偏差最小而光滑的法则，才能得到与实验点位置偏差最小而光滑的曲线图形。曲线图形。n坐标纸的选择坐标纸的选择-常用的坐标系为直角坐标系，包常用的坐标系为直角坐标系，包括笛卡尔坐标系（又称普通直角坐标系）、半对括笛卡尔坐标

4、系（又称普通直角坐标系）、半对数坐标系和对数坐标系。数坐标系和对数坐标系。2 2、图示法、图示法半对数坐标系一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另一个轴是分度不均匀的对数坐标轴。右图中的横坐标轴（x轴）是对数坐标。在此轴上，某点与原点的实际距离为该点对应数的对数值，但是在该点标出的值是真数。为了说明作图的原理，作一条平行于横坐标轴的对数数值线。半对数坐标的标度法半对数坐标的标度法对数坐标系对数坐标系两个轴两个轴(x(x和和y)y)都是对数标度的坐标轴，即每个轴的标度都都是对数标度的坐标轴，即每个轴的标度都是按上面所述的原则作成的是按上面所述的原则作成的 例：用分光光度计法测定溶液中铁的含量例：用分光

5、光度计法测定溶液中铁的含量,测得标准曲线数据如下：测得标准曲线数据如下：Fe Fe（g/mLg/mL）2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12吸光度（吸光度（A A）测得未知液的吸光度为，试求未知液中铁的含量。测得未知液的吸光度为，试求未知液中铁的含量。在图的纵坐标上处找到直线上对应点，读出其对应的横坐标即为未知在图的纵坐标上处找到直线上对应点，读出其对应的横坐标即为未知液中铁的含量液中铁的含量 3 3、插值法计算数值、插值法计算数值 （1 1）作图插值法）作图插值法所以此式即为比例法内插公式，从图上可看出，因为用yc代替了yd,产生了的误差。（2 2）比例法）比例法（3 3）牛

6、顿内插公式）牛顿内插公式一般的非线性函数都可以展开为多项式一般的非线性函数都可以展开为多项式例：制作例：制作 的查分表。的查分表。表中表中yy表示表示y y的依次差值，的依次差值，yy2 2表示表示y y的差值的差值，的差值的差值，以此类推。以此类推。在上面的例子中，在上面的例子中，x x的差值为的差值为1 1，实际上，实际上x x的差值可以为任的差值可以为任意恒量，令此恒量为意恒量，令此恒量为h h，做出差分表的通式。，做出差分表的通式。（二）数据特征（二）数据特征n数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础，是认数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础，是认识数据理论特性的基本出发点，通

7、常可分为以下三类：识数据理论特性的基本出发点，通常可分为以下三类：n位置特征数位置特征数:表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位置的特征数；置的特征数；n离散特征数离散特征数:用来描述数据分散程度；用来描述数据分散程度；n分分布布形形态态特特征征数数:刻刻划划了了根根据据所所获获数数据据绘绘制制的的分分布布曲曲线线图图的形态。的形态。1.1.位置特征数位置特征数（1 1）算术平均数：）算术平均数：式中：式中：x x1 1,x,x2 2,x,xn n为样本个体数据，为样本个体数据，n n为样本个数为样本个数（2 2）加权平均数）加权平均数 如果样本个体数据如

8、果样本个体数据x x1 1,x,x2 2,x,xn n取值因频取值因频 数不数不同或对总体重要性有所差别，则常采取加权平均方法。同或对总体重要性有所差别，则常采取加权平均方法。式中：式中：w wi i是个体数据出现频数，或是因该个体对样本是个体数据出现频数，或是因该个体对样本贡献不同而取的不同的数值。贡献不同而取的不同的数值。1.1.位置特征数位置特征数（4 4）调和平均数）调和平均数（3 3）几何平均数）几何平均数 （5 5）中位数）中位数n环境数据有时显得比较分散，甚至个别的数据离群偏环境数据有时显得比较分散，甚至个别的数据离群偏远，难以判断去留，这时往往用到中位数。远，难以判断去留，这时

9、往往用到中位数。n样本数据依次排列（从大到小或者从小到大）居中间样本数据依次排列（从大到小或者从小到大）居中间位置的数即为中位数，若数据个数为偶数，则中位数位置的数即为中位数，若数据个数为偶数，则中位数为正中两个数的平均值。为正中两个数的平均值。n只有当数据的分布呈正态分布时，中位数才代表这组只有当数据的分布呈正态分布时，中位数才代表这组数据的中心趋向，近似于真值。数据的中心趋向，近似于真值。1.1.位置特征数位置特征数 1.1.位置特征数位置特征数n环境统计中常常用到几何平均数。环境统计中常常用到几何平均数。n不不同同的的平平均均值值都都有有各各自自适适用用场场合合，选选择择的的平平均均数数

10、指指标标应能反映数据典型水平，并非随意采用。应能反映数据典型水平，并非随意采用。几何平均直径几何平均直径 2.2.离散特征数离散特征数3.3.分布形态特征数分布形态特征数 二、异常数据的剔除二、异常数据的剔除n在处理实验数据的时候，我们常常会遇到个别数据偏离在处理实验数据的时候，我们常常会遇到个别数据偏离预期或大量统计数据结果的情况，如果我们把这些数据预期或大量统计数据结果的情况，如果我们把这些数据和正常数据放在一起进行统计，可能会影响实验结果的和正常数据放在一起进行统计，可能会影响实验结果的正确性，如果把这些数据简单地剔除，又可能忽略了重正确性，如果把这些数据简单地剔除，又可能忽略了重要的实

11、验信息。这里重要的问题是如何判断异常数据，要的实验信息。这里重要的问题是如何判断异常数据，然后将其剔除。判断和剔除异常数据是数据处理中的一然后将其剔除。判断和剔除异常数据是数据处理中的一项重要任务，目前的一些方法还不是十分完善，有待进项重要任务，目前的一些方法还不是十分完善，有待进一步研究和探索。一步研究和探索。n目前人们对异常数据的判别与剔除主要采用物理判别目前人们对异常数据的判别与剔除主要采用物理判别法和统计判别法两种方法。法和统计判别法两种方法。n物理判别法就是根据人们对客观事物已有的认识，判物理判别法就是根据人们对客观事物已有的认识，判别由于外界干扰、人为误差等原因造成实测数据偏离别由

12、于外界干扰、人为误差等原因造成实测数据偏离正常结果，在实验过程中随时判断，随时剔除。正常结果，在实验过程中随时判断，随时剔除。n统计判别法是给定一个置信概率，并确定一个置信限，统计判别法是给定一个置信概率，并确定一个置信限，凡超过此限的误差，就认为它不属于随机误差范围，凡超过此限的误差，就认为它不属于随机误差范围，将其视为异常数据剔除将其视为异常数据剔除。n剔除异常数据实质上是区别异常数据由偶然误差还是剔除异常数据实质上是区别异常数据由偶然误差还是系统误差造成的问题。系统误差造成的问题。n若是人为因素的偶然误差就应剔除，如果没有足够的若是人为因素的偶然误差就应剔除，如果没有足够的理由证实是偶然

13、过失造成的时候，应对数据进行统计理由证实是偶然过失造成的时候，应对数据进行统计处理，采用一定的检验方法来决定取舍。处理，采用一定的检验方法来决定取舍。n本节着重介绍统计判别法。本节着重介绍统计判别法。1.1.拉依达准则拉依达准则 则应将则应将x xp p从该组数据中剔除，至于选择从该组数据中剔除，至于选择3s3s还是还是2s2s与与显著性水平显著性水平有关，显著性水平有关，显著性水平表示的是检验出错的表示的是检验出错的几率为几率为，或检验的可置信度为，或检验的可置信度为1 1。3s3s相当于显著相当于显著水平，水平，2s2s相当于显著水平。相当于显著水平。若可疑数据若可疑数据x xp p与样本

14、数据之算术平均值的偏差的绝与样本数据之算术平均值的偏差的绝对值大于对值大于3 3倍（倍（2 2倍）的标准偏差，即：倍）的标准偏差，即：2.2.格拉布斯准则格拉布斯准则 用格拉布斯准则检验可疑数据用格拉布斯准则检验可疑数据x xp p时，选取一定的显著时，选取一定的显著性水平性水平 ，若：，若：则应将则应将x xp p从该组数据中剔除，从该组数据中剔除，称为格拉布斯检称为格拉布斯检验临界值，可查相关表格得到。验临界值，可查相关表格得到。以上准则是以数据按正态分布为前提的，当偏离正态以上准则是以数据按正态分布为前提的，当偏离正态分布分布,特别是测量次数很少时，则判断的可靠性就差。因特别是测量次数很

15、少时，则判断的可靠性就差。因此，对粗大误差除用剔除准则外，更重要的是要提高工作此，对粗大误差除用剔除准则外，更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心。另外人员的技术水平和工作责任心。另外,要保证测量条件稳要保证测量条件稳定，防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响。定，防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响。3.3.狄克逊（狄克逊（dixondixon）法）法n狄克逊研究了狄克逊研究了n n次测量结果，按其数值大小排列成如下次次测量结果，按其数值大小排列成如下次序：序：n 当当 x xi i 服从正态分布时服从正态分布时 狄狄克克逊逊法法是是采采用用极极差差比比的的方方法法，经经严严密密推

16、推算算和和简简化化而而得得到的准则。到的准则。n用不同的公式求得用不同的公式求得 f f 值，再经过查表，得到相应的值，再经过查表，得到相应的临界值，进行比较临界值，进行比较,若计算值若计算值f(nf(n，)视为异常值，视为异常值，舍弃；再对剩余数值进行检验，直到没有异常值为舍弃；再对剩余数值进行检验，直到没有异常值为止。狄克逊通过模拟实验认为：止。狄克逊通过模拟实验认为：n7n7，使用，使用 f f1010 ；8n108n10，用，用 f f1111 ；11n1311n13，用，用 f f2121 ；n14n14，用，用 f f2222 效果好。效果好。例题例题 n用狄克逊法判断下列测试数据

17、，用狄克逊法判断下列测试数据，40.16)40.16)中的是否应舍弃？中的是否应舍弃？n解：将数据排列，取解：将数据排列，取 =0.05 =0.05 n ，n应保留。应保留。三、数据的误差分析三、数据的误差分析（一）几种误差的基本概念（一）几种误差的基本概念绝对误差 绝对误差观测值-真值。绝对误差反映了观测值偏离真值的大小。通常所说的误差一般是指绝对误差。相对误差是绝对误差和真值的比值，常用百分数表示。算术平均误差它可以反映一组数据的误差大小 标准误差也称均方根误差或标准偏差，它常用来表示观测数据的精密度，能明显地反映出较大的个别误差，标准差越小，说明数据精密度越好 例题例题:滴定的体积误差滴

18、定的体积误差V绝对误差相对误差20.00 mL0.02 mL0.1%2.00 mL0.02 mL1.0%（二）误差的来源及分类（二）误差的来源及分类1.1.随机误差随机误差 随随机机误误差差是是在在一一定定条条件件下下以以不不可可预预知知的的规规律律变变化化着着的的误误差差。这这些些偶偶然然因因素素是是操操作作者者无无法法严严格格控控制制的的，故故无无法法完完全全避避免免随随机机误误差差。但但它它的出现一般具有统计规律，大多服从正态分布。的出现一般具有统计规律，大多服从正态分布。（二）误差的来源及分类（二）误差的来源及分类2.2.系统误差系统误差 系系统统误误差差是是指指由由某某个个或或某某些

19、些不不确确定定的的因因素素所所引引起起的的误误差差。当当条条件件一一旦旦确确定定，系系统统误误差差就就是是一一个个客客观观上上的的恒恒定定值值，它它不不能能通通过过多多次次测测量量取取平平均均值值的的方方法法来来消消除除，只只能能根根据据仪仪器器的的性性能能、环境条件或个人偏差等进行校正，使之降低。环境条件或个人偏差等进行校正，使之降低。3.3.过失误差过失误差 过失误差是由于操作人员不仔细、操作不过失误差是由于操作人员不仔细、操作不正确等原因引起的，它是可以完全避免的。正确等原因引起的，它是可以完全避免的。（三）误差分析（三）误差分析 n误差可能是由于随机误差或系统误差单独造成的，误差可能是

20、由于随机误差或系统误差单独造成的，还可能是两者的叠加。误差分析中，常采用精密还可能是两者的叠加。误差分析中，常采用精密度、正确度和准确度来表示误差的性质。度、正确度和准确度来表示误差的性质。精密度反映了随机误差大小的程度，是指在相精密度反映了随机误差大小的程度，是指在相同条件下，对被测对象进行多次反复测量，测同条件下，对被测对象进行多次反复测量，测量值之间的一致量值之间的一致(符合符合)程度。程度。正确度指测量值与其正确度指测量值与其“真值真值”的接近程度。的接近程度。对对于于一一组组数数据据来来说说，精精密密度度高高并并不不意意味味着着正正确确度度也也高高；反反之之，精精密密度度不不好好，但

21、但当当测测量量次次数数相相当当多时，有时也会得到好的正确度。多时，有时也会得到好的正确度。准确度指被测对象测量值之间的一致程度以及与准确度指被测对象测量值之间的一致程度以及与其其“真值真值”的接近程度。的接近程度。准确度、正确度和精密度的关系准确度、正确度和精密度的关系四、数据的标准化处理四、数据的标准化处理 n在在大大批批的的环环境境统统计计数数据据中中，当当数数据据的的物物理理量量不不同同、单单位位或或量量值值差差别别较较大大时时，常常常常会会给给下下一一步步分分析析带带来来困困难难，这这时时就就有有必必要要对对数数据据进进行行标标准准化化处处理理，从而提高计算的精度。从而提高计算的精度。

22、n环环境境管管理理与与规规划划中中，常常采采用用下下面面的的公公式式进进行行标标准准化处理：化处理：第二节第二节 最优化分析方法最优化分析方法 一、线性规划一、线性规划二、非线性规划二、非线性规划 三、动态规划三、动态规划 一、线性规划一、线性规划 在环境规划管理中，线性规划常常用来解决两在环境规划管理中，线性规划常常用来解决两类优化问题：一是如何优化资源配置使产值最大或类优化问题：一是如何优化资源配置使产值最大或利润最高，二是如何统筹安排以便消耗最少的资源利润最高，二是如何统筹安排以便消耗最少的资源或排放最少的污染物。或排放最少的污染物。一般线性规划问题的求解，最常用的算法是单纯形法。一般线

23、性规划问题的求解，最常用的算法是单纯形法。二、非线性规划二、非线性规划 在环境规划与管理中，某些问题的决策模型可能在环境规划与管理中，某些问题的决策模型可能会出现下面的情况：会出现下面的情况：目标函数非线性，约束条件目标函数非线性，约束条件为线性；为线性；目标函数为线性，约束条件非线性；目标函数为线性，约束条件非线性；目标函数与约束条件均为非线性函数。上述情况均目标函数与约束条件均为非线性函数。上述情况均属于非线性规划问题，其数学模型的一般形式是：属于非线性规划问题，其数学模型的一般形式是：二、非线性规划二、非线性规划n数值求解非线性规划的算法大体分为两类：数值求解非线性规划的算法大体分为两类

24、：n一一是是采采用用逐逐步步线线性性逼逼近近的的思思想想，通通过过一一系系列列非非线线性性函函数数线线性性化化的的过过程程，利利用用线线性性规规划划获获得得非非线线性性规划的近似最优解；规划的近似最优解；n二二是是采采用用直直接接搜搜索索的的思思想想，根根据据部部分分可可行行解解或或非非线线性性函函数数在在局局部部范范围围内内的的某某些些特特性性，确确定定迭迭代代程程序序，通通过过不不断断改改进进目目标标值值的的搜搜索索计计算算，获获得得最最优优或满足需要的局部最优解。或满足需要的局部最优解。三、动态规划三、动态规划 n在环境规划管理中，经常遇到多阶段最优化问题，在环境规划管理中，经常遇到多阶

25、段最优化问题，即各个阶段相互联系，任一阶段的决策选择不仅即各个阶段相互联系，任一阶段的决策选择不仅取决于前一阶段的决策结果，而且影响到下一阶取决于前一阶段的决策结果，而且影响到下一阶段活动的决策，从而影响到整个决策过程的优化段活动的决策，从而影响到整个决策过程的优化问题。这类问题通常采用动态规划方法求解问题。这类问题通常采用动态规划方法求解。三、动态规划三、动态规划n基本原理为：作为多阶段决策问题，其整个过程基本原理为：作为多阶段决策问题，其整个过程的最优策略应具有这样的性质，即无论过去的状的最优策略应具有这样的性质，即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，态和决策如何，对前

26、面的决策所形成的状态而言，其后一系列决策必须构成最优决策。其后一系列决策必须构成最优决策。n可以把多阶段决策问题分解成许多相互联系的小可以把多阶段决策问题分解成许多相互联系的小问题，从而把一个大的决策过程分解成一系列前问题，从而把一个大的决策过程分解成一系列前后有序的子决策过程，分阶段实现决策的后有序的子决策过程，分阶段实现决策的“最优最优化化”，进而实现，进而实现“总体最优化总体最优化”方案。为使最后方案。为使最后决策方案获得最优决策效果，动态规划求解可用决策方案获得最优决策效果，动态规划求解可用下列递推关系式表示：下列递推关系式表示：三、动态规划三、动态规划第三节第三节 常用决策分析方法常

27、用决策分析方法 n决决策策是是指指通通过过对对解解决决问问题题备备选选方方案案的的比比较较，从从中中选出最好的方案。选出最好的方案。n决决策策贯贯穿穿于于环环境境管管理理与与规规划划的的各各个个方方面面，是是管管理理与规划的核心与规划的核心。决策技术决策技术n技术经济分析中的决策，是指对多方案进行评技术经济分析中的决策，是指对多方案进行评价与择优，从而选定一个最满意的方案。价与择优，从而选定一个最满意的方案。n决策的分类决策的分类n按决策的条件n确定型n非确定型n风险型n按决策的对象n宏观n微观按决策在企业组织中的地位分类高层决策中层决策基层决策 决策树法决策树法n决策树技术的含义决策树技术的

28、含义n是把方案的一系列因素按它们的相互关系用树是把方案的一系列因素按它们的相互关系用树状结构表示出来，再按一定程序进行优选和决状结构表示出来，再按一定程序进行优选和决策的技术方法。策的技术方法。n决策树技术的优点决策树技术的优点n便于有次序、有步骤、直观而又周密地考虑问题；便于有次序、有步骤、直观而又周密地考虑问题；n便于集体讨论和决策；便于集体讨论和决策；n便于处理复杂问题的决策。便于处理复杂问题的决策。决策树图形决策树图形；表示决策点，从它引出的分枝称为策略方案分枝，分枝树反映表示决策点，从它引出的分枝称为策略方案分枝，分枝树反映可能的方案数；可能的方案数；表示策略方案节点，其引出的分枝称

29、为概率分枝，分枝数目反表示策略方案节点，其引出的分枝称为概率分枝，分枝数目反映可能的自然状态数；映可能的自然状态数；表示事件节点，又称末梢。表示事件节点，又称末梢。决策树图形决策树图形n适用对象适用对象n多阶段决策、前一阶段的决策影响后续阶段多阶段决策、前一阶段的决策影响后续阶段的结构和决策的项目。的结构和决策的项目。n方法方法n用决策树的形式列出决策问题的逻辑结构。用决策树的形式列出决策问题的逻辑结构。n从决策树的末端向决策点倒退，计算出不同从决策树的末端向决策点倒退，计算出不同决策方案下的期望值，将未占优的方案去掉，决策方案下的期望值，将未占优的方案去掉，直到得出初始的决策方案。直到得出初

30、始的决策方案。运用决策树技术的步骤运用决策树技术的步骤（1 1）绘制决策树图；）绘制决策树图；（2 2）预计可能事件（可能出现的自然状态）及其发）预计可能事件（可能出现的自然状态）及其发生的概率；生的概率；（3 3）计算各策略方案的损益期望值；）计算各策略方案的损益期望值；（4 4）比较各策略方案的损益期望值，进行择优决策。）比较各策略方案的损益期望值，进行择优决策。若决策目标是效益，应取期望值大的方案；若若决策目标是效益，应取期望值大的方案；若 决策目标是费用或损失，应取期望值小的方案。决策目标是费用或损失，应取期望值小的方案。决策树例题决策树例题（参考书目：环境管理学（参考书目：环境管理学

31、-杨贤智编著杨贤智编著）有一石油化工企业，对一批废油渣进行综合利有一石油化工企业，对一批废油渣进行综合利用。它可以先作实验，然后决定是否综合利用；用。它可以先作实验，然后决定是否综合利用；也可以不作实验，只凭经验决定是否综合利用。也可以不作实验，只凭经验决定是否综合利用。作实验的费用每次为作实验的费用每次为30003000元，综合利用费每次为元，综合利用费每次为1000010000元。若做出产品，可收入元。若做出产品，可收入4000040000元；作不出元；作不出产品，没有收入。各种不同情况下的产品成功概产品，没有收入。各种不同情况下的产品成功概率均已估计出来，都标在图率均已估计出来，都标在图

32、1 1上。试问欲使收益期上。试问欲使收益期期望值为最大，企业应如何作出决策。期望值为最大，企业应如何作出决策。根据图中给出之数据求解。决策树采用逆顺根据图中给出之数据求解。决策树采用逆顺序计算法。序计算法。1 1计算事件点计算事件点、的期望值的期望值图图1 决策树决策树 34000400022000原决策树根据以上算出的期望值可简化为（图2a）：2.在决策点2、3、4作出决策2 按max（3400010000），024000，决定综合利用。3 按max（400010000），00，决定不综合利用。4 按max（2200010000），012000，决定综合利用。决策树继续简化为（图2b）：图图

33、2 决策树决策树3.计算状态点的期望值：144004.在决策1作出决策。5.最后得出整个问题的决策序列为：不作实验、直接综合利用，收入期望值为12000元。二、决策矩阵二、决策矩阵 n决策矩阵又称为损益矩阵，它是利用损益的期望值进行决策矩阵又称为损益矩阵，它是利用损益的期望值进行决策，常用于有限条件下资源分配的最优化决策问题。决策，常用于有限条件下资源分配的最优化决策问题。1 1，2 2，m m是是满满足足决决策策目目标标要要求求的的m m个个可可行行的的独独立立备备选选方方案案，所所有有方方案案构构成成的的集集合合A=1A=1，2 2，m m 称称为为决决策策空空间间，决决策策者者在在此此范

34、范围围内内选选择择最最终终方方案案；S S1 1，S S2 2，S S是是每每一一种种方方案案都都可可能能遇遇到到的的外外部部条条件件，所所有有外外部部条条件件的的集集合合S=S=S S1 1，S S2 2，S Sn n 称称为为状状态态空空间间；P P1 1，P P2 2，P Pn n是是各各种种外外部部状状态态可可能能发发生生的的概概率率，其其发发生生的的概概率率总总和和为为1 1，即即；决决策策矩矩阵阵的的矩矩阵阵元元素素V Vijij表表示示第第i i个个方案在第方案在第j j种外部条件下所产生的收益或损失。种外部条件下所产生的收益或损失。三、多目标决策方法三、多目标决策方法 n在环境

35、管理与规划问题中在环境管理与规划问题中,同时存在着多个目标，同时存在着多个目标，每个目标都要求达到其最优值，并且各目标之间每个目标都要求达到其最优值，并且各目标之间往往存在着冲突和矛盾，这类问题就是多目标决往往存在着冲突和矛盾，这类问题就是多目标决策问题。解决这类决策问题的方法就是多目标决策问题。解决这类决策问题的方法就是多目标决策方法。策方法。三、多目标决策方法三、多目标决策方法 第四节第四节 环境数学模型环境数学模型 一、数学模型概述一、数学模型概述 二、模型的建立二、模型的建立三、模型参数的估算方法三、模型参数的估算方法四、模型的检验四、模型的检验一、数学模型概述一、数学模型概述 n环环

36、境境数数学学模模型型是是应应用用数数学学语语言言和和方方法法来来描描述述环环境境污污染染过过程程中中的的物物理理、化化学学、生生物物化化学学、生生物物生生态态以以及及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。n它它是是建建立立在在对对环环境境系系统统进进行行反反复复的的观观察察研研究究，通通过过实实验验或或现现场场监监测测，取取得得大大量量的的有有关关信信息息和和数数据据，进进而而对对所所研研究究的的系系统统行行为为动动态态、过过程程本本质质和和变变化化规规律律有有了了较较深深刻刻认认识识的的基基础础上上，经经过过简简化化和和数数学学演演绎绎而而得得出

37、出的的一一些些数数学学表表达达式式，这这些些表表达达式式描描述述了了环环境境系系统中各变量及其参数间的关系。统中各变量及其参数间的关系。一、数学模型概述一、数学模型概述n环境数学模型主要应用于环境规划与管理、环境环境数学模型主要应用于环境规划与管理、环境影响评价和环境质量预测几个方面，其类型主要影响评价和环境质量预测几个方面，其类型主要包括大气扩散模型、水文与水动力模型、水质模包括大气扩散模型、水文与水动力模型、水质模型、土壤侵蚀模型、沉积物迁移模型和物种栖息型、土壤侵蚀模型、沉积物迁移模型和物种栖息地模型等，每一类模型又可按模型的空间维数、地模型等，每一类模型又可按模型的空间维数、时间相关性

38、、数学方程特征等来进行分类时间相关性、数学方程特征等来进行分类.二、二、模型建立模型建立建立数学模型的步骤建立数学模型的步骤(一一)建模准备建模准备n了了解解问问题题的的实实际际背背景景，明明确确建建模模目目的的，搜搜集集必必需需的各种信息，尽量弄清对象的特征。的各种信息，尽量弄清对象的特征。(二二)模型假设模型假设n根根据据对对象象的的特特征征和和建建模模目目的的，对对问问题题进进行行必必要要的的、合合理理的的简简化化，用用精精确确的的语语言言作作出出假假设设，是是建建模模至至关关重重要要的的一一步步，建建模模者者能能充充分分发发挥挥想想象象力力、洞洞察察力力和和判判断断力力，善善于于辨辨别

39、别主主次次，而而且且为为了了使使处处理理方方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。二、二、模型建立模型建立建立模型的方法建立模型的方法1 1、图解法、图解法n采用点和线组成的用以描述系统的图形称为图模型，采用点和线组成的用以描述系统的图形称为图模型，可用于描述自然界和人类社会中大量事物和实物之可用于描述自然界和人类社会中大量事物和实物之间的关系。间的关系。n图模型形象、直观，对决策者了解系统结构和功能图模型形象、直观，对决策者了解系统结构和功能之间的关系很有帮助。但图解建模法作为一种描述之间的关系很有帮助。但图解建模法作为一种描述性方法，往往精确度较差，而且受

40、人的视觉影响而性方法，往往精确度较差，而且受人的视觉影响而局限于三维空间中，因此它通常作为建立系统方程局限于三维空间中，因此它通常作为建立系统方程式模型的辅助分析工具来用。式模型的辅助分析工具来用。2 2、质量平衡法、质量平衡法 n根根据据质质量量平平衡衡原原则则建建立立微微分分方方程程是是最最常常用用的的建建立立白箱模型的方法。白箱模型的方法。n应应用用质质量量平平衡衡方方法法必必须须知知道道物物质质流流的的方方向向和和通通量量，污污染染物物质质反反应应的的方方式式和和速速度度，以以及及各各种种污污染染物物之之间的相关关系和关联作用。间的相关关系和关联作用。n环环境境数数学学模模型型中中很很

41、多多都都是是在在质质量量平平衡衡的的基基础础上上建建立立的的。值值得得注注意意的的是是，几几乎乎每每一一个个利利用用质质量量平平衡衡原原则则建建立立的的模模型型中中都都包包含含了了一一个个或或多多个个待待定定参参数数，它它们们一一般般很很难难由由过过程程的的机机理理确确定定，且且数数值值又又随随时时间间、空空间间变变化化，因因此此需需要要借借助助于于大大量量的的观观测测数数据据最终确定参数。最终确定参数。3 3、概率统计法、概率统计法n回归分析法建立在对客观事物进行大量试验和观回归分析法建立在对客观事物进行大量试验和观察的基础上，是一种用来寻找隐藏在某些现象中察的基础上，是一种用来寻找隐藏在某

42、些现象中的规律性的数理统计方法。的规律性的数理统计方法。n回回归归分分析析法法就就是是通通过过分分析析因因素素之之间间的的因因果果关关系系和和影影响响程程度度进进行行预预测测，用用过过去去和和现现在在的的环环境境监监测测数数据据确确定定函函数数关关系系式式，按按最最小小二二乘乘法法原原则则确确定定函函数数式式中中的的参参数数值值，进进而而建建立立回回归归预预测测模模型型，用用于于预预测环境要素特征发展变化的规律。测环境要素特征发展变化的规律。3 3、概率统计法、概率统计法n根根据据变变量量之之间间函函数数形形式式的的不不同同，回回归归分分析析分分为为线线形形回回归归和和非非线线性性回回归归；根

43、根据据自自变变量量个个数数的的多多少，可分为一元回归和多元回归。少，可分为一元回归和多元回归。n根根据据数数据据处处理理方方法法的的不不同同，时时间间序序列列预预测测方方法法主主要要分分为为移移动动平平均均法法、加加权权滑滑动动平平均均法法和和指指数数平均法。平均法。三、模型参数的估值方法三、模型参数的估值方法 由于环境系统中的模型基本上都是灰箱模型，由于环境系统中的模型基本上都是灰箱模型，其中至少存在着一个待定参数，因此参数的其中至少存在着一个待定参数，因此参数的估计是建立环境数学模型非常重要的一项工估计是建立环境数学模型非常重要的一项工作。下面介绍几种主要的估值方法。作。下面介绍几种主要的

44、估值方法。（一）图解法（一）图解法 凡是给定的公式或数据可以直接描述成一条直线，或经过一定处理后可以转化为直线时，常常采用图解法估计参数。作图时，将自变量x和因变量y标注在直角坐标系中，确定每一个数据点位，把所有的点位连接起来，形成一条直线，其数学表达式为：Y=b+ax（4-21）式中：a是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。（二）经验公式法（二）经验公式法 根据长时期的实际经验，人们提出了许多经验公式来估计数学模型中的相关参数。应注意的是，使用经验公式要求该系统条件与建立经验公式的条件一致或相近，否则就会出现很大偏差。（三）线性回归法（三）线性回归法 此法适用于自变量xi(i=1,2,n)与

45、因变量y呈一次线性关系的情况。线性回归分析有两个基本假设：一是所有的自变量的值xij(j=1,2,m)均不存在误差，因变量的值含有测量误差；二是与各测量值拟合得最好的线性方程：y=a1x1+a2x2+aixi+anxn+b是能使各点到直线的竖向偏差的平方和 最小的直线。根据极值存在的条件，分别对Z做ai、b的一阶偏导，使：由此可以求得偏差平方和Z最小时的参数值ai(i=1,2,n)、b。四、模型的检验四、模型的检验n数数学学模模型型只只能能近近似似地地反反映映实实际际问问题题中中的的关关系系和和规规律律，到到底底反反映映得得好好不不好好，还还需需要要接接受受检检验验，如如果果数数学学模模型型建

46、建立立得得不不好好，没没有有正正确确地地描描述述所所给给的的实实际际问问题题，数数学学解解答答再再正正确确也也是是没没有有用用的的。因因此此，在在得得出出数数学学解解答答之之后后还还要要让让所所得得的的结结论论接接受受实实际际的检验，检验其是否合理和是否可行等。的检验，检验其是否合理和是否可行等。四、模型的检验四、模型的检验n所谓检验就是用独立于确定参数时所用数据的新所谓检验就是用独立于确定参数时所用数据的新观测数据与模型的计算值相比较，进行误差分析，观测数据与模型的计算值相比较，进行误差分析，进行数据稳定性分析，如果不符合实际，还应设进行数据稳定性分析，如果不符合实际，还应设法找出原因，修改

47、原来的模型，重新求解和检验，法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行，才能算是得到了一个解答。直到比较合理可行，才能算是得到了一个解答。但是，十全十美的答案是没有的，已得到的解答但是，十全十美的答案是没有的，已得到的解答仍有改进的余地，可以根据实际情况，或者继续仍有改进的余地，可以根据实际情况，或者继续研究和改进；或者暂时告一段落，待将来有新的研究和改进；或者暂时告一段落，待将来有新的情况和要求后再作改进。情况和要求后再作改进。四、模型的检验四、模型的检验n检检验验包包括括两两部部分分，一一是是检检验验模模型型的的计计算算结结果果和和实实际际观观测测数数据据之之间间的的吻吻

48、合合程程度度，二二是是对对模模型型进进行行灵灵敏敏度度分分析析。其其中中灵灵敏敏度度分分析析用用来来估估计计模模型型计计算算结结果的偏差，本节仅介绍模型的吻合度检验方法。果的偏差，本节仅介绍模型的吻合度检验方法。四、模型的检验四、模型的检验（1 1）相关系数法）相关系数法n相相关关系系数数法法假假设设观观测测值值和和计计算算值值存存在在一一定定的的线线性性关系：关系：习题习题1.1.计计算算下下面面数数据据的的各各种种平平均均值值、标标准准差差、算算术术平平均均误误差差和和级级差。差。，2.2.对对某某合合金金中中铜铜的的含含量量进进行行测测定定，不不同同的的人人员员测测定定的的数数据据为为：，试试用用格格拉拉布布斯斯准准则则检检验验是是否否有有应应舍舍去去的数据。的数据。3.3.有有一一组组三三因因子子数数据据：x x1 1=(1,=(1,3,3,4,4,5)5)，x x2 2=(0.2,=(0.2,0.3,0.3,0.4)0.4)，x x3 3=(32,35,36)=(32,35,36)，试对它们进行标准化处理。，试对它们进行标准化处理。