《微积分》第一篇第二章讲义导数.ppt

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1、高等数学基础微积分复合函数求导法，隐函数求导法本章难点：本章难点：隐函数求导法本章重点：本章重点：一、导数概念一、导数概念1、导数的定义、导数的定义 （P79）导函数：导函数：根据定义求导数根据定义求导数:【例如】基本初等函数的基本初等函数的导函数公式导函数公式：P81记住这些公式，也是我们以后求记住这些公式，也是我们以后求导函数的一种方法。导函数的一种方法。例如：例如：【练 习】【解】“直线的斜率及方程”直线直线l的斜率的斜率k直线直线l的方程：的方程：2、导数的几何意义、导数的几何意义根据函数的图像表示法，函数 表示平面上的一条曲线。（如图）进而根据直线的点斜式方程，可有切线的方程：【例例

2、1.2】【解解】于是切线方程为：于是切线方程为：3、微分的概念、微分的概念定义定义2.9（P86）注意：可导一定可微。注意：可导一定可微。实际上，从导数的四个记号中取两个，它们相等，就有：改写为称为函数的微分微分。可见求微分只需要求导数。求下列基本初等函数的微分求下列基本初等函数的微分二、导数的求法二、导数的求法目标是：求出目标是：求出初等函数初等函数的导数的导数前面我们前面我们用定义求导用定义求导数，这里将讨论数，这里将讨论求函数求导的求函数求导的一般方法一般方法。根据初等函数的定义，可以从三个方面入手：1、记住基本初等函数的导数 见P95上的导数基本公式；2、掌握求导（微分）与四则运算的关

3、系 见定理，2.8 P88-90【例例2.1】解：解：【例例2.2】P97 练习练习2.5 题题1 （1）解：解：【例例2.3】解：解：【例例2.4】解：解：【例例2.5】P98 题题1 （10）解：解：回顾：基本初等函数的回顾：基本初等函数的导函数公式导函数公式：幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对数函数多项式函数多项式函数熟记：五类熟记：五类基本基本初等函数初等函数 的求导公式的求导公式三角函数三角函数 掌握复合函数复合函数求导法定理定理：即复合函数的导数定理：即复合函数的导数 外函数的导数外函数的导数 内函数的导数内函数的导数 。直观地说就是两个函数，一个基本初等函数里面再套一个函数，

4、就是复合。如：如：【求复合函数导数的步骤求复合函数导数的步骤】(1)分解函数；(2)写成复合函数求导公式（定理）(3)代入，求导计算；(4)还原u。【例例2.6】解：解：则u是中间变量【例例2.7】【解解】于是于是则则u是中间变量是中间变量练习：练习：形考册形考册P3 题题3 （3）、（）、（6）、（）、（5）解：解：“导数乘法法则”三、隐函数求导三、隐函数求导函数的表示形式函数的表示形式两个变量满足一个方程 。对于隐函数应该如何求导？对于隐函数应该如何求导？隐函数的导数，方法方法如下：【第1步】方程两端都对自变量 x 求导；【第2步】遇到含有y的式子，将 y 看成中间变量，应用复合函数求导法

5、，先对y 求导，再乘以y 对x 的导数【第3步】从最后的式子中解出因变量的导数 。【例例3.1】P-94 例例15解：解：方程两边对方程两边对x求导，得：求导，得：将 y 看成中间变量【例例3.2】P-94 例例16解：解：方程两边对方程两边对x求导，得：求导，得：于是于是【练习练习】形考册形考册P-5 题题4：(1)（2)解：解：方程两边同时对x求导，有解：解：方程两边同时对x求导，有方程两边同时对x求导，有“乘法法则”【解解】四、高阶导数给定函数 ，它的导数 ，还是一个函数，于是又可以求导数，记为：，称为函数f(x)的二阶导数。进一步，可有三阶、四阶、等等，统称为高阶导数。【例例4.1】解：解：【例例4.2】P-99 例例3【解解】形考册形考册P-1 一、填空题一、填空题 5【解解】例例4.3解：解：例例4.4解：解：作业：中央形考册第3、4、5页