《复变函数的积分》PPT课件.ppt

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1、第3章 复变函数的积分 复复复复变变变变函函函函数数数数积积积积分分分分理理理理论论论论是是是是复复复复变变变变函函函函数数数数的的的的核核核核心心心心内内内内容容容容，关关关关于于于于复复复复变变变变函函函函数数数数的的的的许许许许多多多多结结结结论论论论都都都都是是是是通通通通过过过过积积积积分分分分来来来来讨讨讨讨论论论论的的的的，更更更更重重重重要要要要的的的的是是是是我我我我们们们们要要要要讨讨讨讨论论论论解解解解析析析析函函函函数数数数积积积积分分分分的的的的性性性性质质质质，并并并并给给给给出出出出解解解解析析析析函函函函数数数数积积积积分分分分的的的的基基基基本本本本定定定定理

2、理理理与与与与基基基基本本本本公公公公式式式式，这这这这些些些些性性性性质质质质是是是是解解解解析析析析函函函函数数数数理理理理论论论论的的的的基基基基础础础础，我我我我们们们们还还还还将将将将得得得得到到到到解解解解析析析析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。3.1:复变函数的积分复变函数的积分 3.2:柯西柯西-(古萨古萨)积分定理积分定理3.3:复合闭路定理复合闭路定理3.4:科西积分公式科西积分公式3.5:解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数3.6:几个重要的定理几个重

3、要的定理3.7:解析函数与调和函数解析函数与调和函数本章补充新题型本章补充新题型本章小节本章小节本章测试题本章测试题本章基本内容:重点内容:(1)柯西积分定理柯西积分定理(单、复连通区域单、复连通区域);(4)调和函数的应用调和函数的应用；(2)柯西积分公式柯西积分公式(单、复连通单、复连通,无界区无界区域域);(3)高阶导数公式及其应用高阶导数公式及其应用;3.1 复变函数的积分3.1.1 3.1.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念复变函数积分的概念复变函数积分的概念 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线在讨

4、论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：向是这样规定的：向是这样规定的：向是这样规定的：定义定义定义定义3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 有向曲线有向曲线有向曲线有向曲线 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的在讨论复变函数积分时，将要用

5、到有向曲线的在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：是这样规定的：是这样规定的：是这样规定的：(1)(1)如果曲线如果曲线如果曲线如果曲线 是开口弧段，若规定它的端点是开口弧段，若规定它的端点是开口弧段，若规定

6、它的端点是开口弧段，若规定它的端点 为起点，为起点，为起点，为起点，为终点，则沿曲线为终点，则沿曲线为终点，则沿曲线为终点，则沿曲线 从从从从 到到到到 的方向的方向的方向的方向为曲线为曲线为曲线为曲线 的正方向（简称正向），把正向曲线记的正方向（简称正向），把正向曲线记的正方向（简称正向），把正向曲线记的正方向（简称正向），把正向曲线记为为为为 或或或或 .而由而由而由而由 到到到到 的方向称为的负方向的方向称为的负方向的方向称为的负方向的方向称为的负方向（简称负向），负向曲线记为（简称负向），负向曲线记为（简称负向），负向曲线记为（简称负向），负向曲线记为 .(2)(2)如果如果如果如果

7、是简单闭曲线，通常总规定逆时针方是简单闭曲线，通常总规定逆时针方是简单闭曲线，通常总规定逆时针方是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向向为正方向，顺时针方向为负方向向为正方向，顺时针方向为负方向向为正方向，顺时针方向为负方向(3)(3)如果如果如果如果 是复平面上某一个复连通域的边界曲是复平面上某一个复连通域的边界曲是复平面上某一个复连通域的边界曲是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则线，则线，则线，则 的正方向这样规定：当人沿曲线的正方向这样规定：当人沿曲线的正方向这样规定：当人沿曲线的正方向这样规定：当人沿曲线 行行行行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界走时，

8、区域总保持在人的左侧，因此外部边界走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向为正方向为正方向为正方向 定义定义定义定义3.1.2 3.1.2 复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分 设函数设函数设函数设函数 在给定的光滑在给定的光滑在给定的光滑在给定的光滑或逐段光滑曲线或逐段光滑曲线或逐段光滑曲线或逐段光滑曲线 上有定义，且上有定义，且上有定义，且上有定义，且 是以是以是以

9、是以 为起点，为起点，为起点，为起点，为终点的一条有向曲线，如图所示把为终点的一条有向曲线，如图所示把为终点的一条有向曲线，如图所示把为终点的一条有向曲线，如图所示把 曲线任曲线任曲线任曲线任意分成意分成意分成意分成n n个小弧段，设分点依次为个小弧段，设分点依次为个小弧段，设分点依次为个小弧段，设分点依次为 ,在某小弧段在某小弧段在某小弧段在某小弧段 上任意取一点上任意取一点上任意取一点上任意取一点 ，并作和，并作和，并作和，并作和 其中其中其中其中 ，记，记，记，记 的最大长的最大长的最大长的最大长度为度为度为度为 则当则当则当则当n n无限增大，且无限增大，且无限增大，且无限增大，且 时

10、，时，时，时，如果无论对如果无论对如果无论对如果无论对L L的分法及的分法及的分法及的分法及 的取法如何，都有惟的取法如何，都有惟的取法如何，都有惟的取法如何，都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线L L的积分，记作的积分，记作的积分，记作的积分，记作 ，即，即，即，即 我们称之为我们称之为我们称之为我们称之为复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分，简称，简称，简称，简称复积分复积分复积分复积分 定义定义定义定义3.1.3 3.1.3 闭合环

11、路积分闭合环路积分闭合环路积分闭合环路积分 当当L L为封闭曲线时，那么沿为封闭曲线时，那么沿L L的积分为，的积分为，并称为复变函数并称为复变函数 的的闭合环路积分（简称环路闭合环路积分（简称环路闭合环路积分（简称环路闭合环路积分（简称环路积分）积分）积分）积分）.为了方便，我们还可以在积分中标出环为了方便，我们还可以在积分中标出环路积分的方向路积分的方向,若沿逆时针方向积分，可用环路若沿逆时针方向积分，可用环路积分积分 表示表示.若沿顺时针方向积分，可用若沿顺时针方向积分，可用 表示表示.由此可知，当由此可知，当由此可知，当由此可知，当 ，且小弧段长度的最大值，且小弧段长度的最大值，且小弧

12、段长度的最大值，且小弧段长度的最大值 时，不论对时，不论对时，不论对时，不论对L L的分法如何，点的分法如何，点的分法如何，点的分法如何，点 的取法如何，只要上式的取法如何，只要上式的取法如何，只要上式的取法如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，由于由于由于由于 连续，则连续，则连续，则连续，则 都是连续函数，根据曲线积都是连续函数，根据曲线积都是连续函数，根据曲线积都是连续函数，根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分

13、的定义得到分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到 (3.1.3)(3.1.3)即我们可以把复积分即我们可以把复积分即我们可以把复积分即我们可以把复积分 的计算化为两个的计算化为两个的计算化为两个的计算化为两个二元实变函数的曲线积分为便于记忆公式，可二元实变函数的曲线积分为便于记忆公式，可二元实变函数的曲线积分为便于记忆公式，可二元实变函数的曲线积分为便于记忆公式，可把把把把 理解为理解为理解为理解为 ，则，则，则，则 上式说明了两个问题：上式说明了两个问题：上式说明了两个问题：上式说明了两个问题：(1)(1)当当

14、当当 是连续函数，且是连续函数，且是连续函数，且是连续函数，且L L是光滑曲线时，积是光滑曲线时，积是光滑曲线时，积是光滑曲线时，积分分分分 一定存在；一定存在；一定存在；一定存在；(2)(2)可以通过两个二元实变函数的线可以通过两个二元实变函数的线可以通过两个二元实变函数的线可以通过两个二元实变函数的线积分来计算积分来计算积分来计算积分来计算.3.1.3 复积分的基本性质(1)(1)若若若若 沿沿沿沿 可积，且可积，且可积，且可积，且 由由由由 和和和和 连接而成，则连接而成，则连接而成，则连接而成，则 （）（）（）（）(2)(2)常数因子常数因子常数因子常数因子 可以提到积分号外，即可以提

15、到积分号外，即可以提到积分号外，即可以提到积分号外，即 （）（）（）（）(3)(3)函函函函数数数数和和和和（差差差差）的的的的积积积积分分分分等等等等于于于于各各各各函函函函数数数数积积积积分分分分的的的的和和和和（差差差差），即即即即 (4)(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即 （）（）（）（）为为为为 的负向曲线的负向曲线的负向曲线的负向曲线(5)(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即积分的模不大于被积表达式模的积分，即积分的模不大于被积表达式模的

16、积分，即积分的模不大于被积表达式模的积分，即 (3.1.10)(3.1.10)这里这里这里这里 表示弧长的微分，即表示弧长的微分，即表示弧长的微分，即表示弧长的微分，即 【证明】【证明】【证明】【证明】因为因为因为因为 ，其中其中其中其中 分别表示曲线分别表示曲线分别表示曲线分别表示曲线 上弧段上弧段上弧段上弧段 对应的弦对应的弦对应的弦对应的弦长和弧长，两边取极限就得到长和弧长，两边取极限就得到长和弧长，两边取极限就得到长和弧长，两边取极限就得到（6 6）积分估值定理）积分估值定理）积分估值定理）积分估值定理 若沿曲线若沿曲线若沿曲线若沿曲线 ，连续，且连续，且连续，且连续，且 在在在在 上

17、满足上满足上满足上满足 ，则，则，则，则 (3.1.11)(3.1.11)其中其中其中其中 为曲线为曲线为曲线为曲线 的长度的长度的长度的长度【证明】【证明】【证明】【证明】由于由于由于由于 在在在在 上恒有上恒有上恒有上恒有 ，所以所以所以所以又又又又 ，则，则，则，则 成立。成立。成立。成立。3.1.4 复积分的计算典型实例复积分的计算典型实例 公式（）提供了一种复积分的计算方法，即把公式（）提供了一种复积分的计算方法，即把公式（）提供了一种复积分的计算方法，即把公式（）提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分复积

18、分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分当曲线积分的积分路径当曲线积分的积分路径当曲线积分的积分路径当曲线积分的积分路径C C由参数方程给出时，由参数方程给出时，由参数方程给出时，由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分复积分又可以转化为单变量的定积分复积分又可以转化为单变量的定积分复积分又可以转化为单变量的定积分 例例例例 计算计算计算计算 ，其中，其中，其中，其中C C为从原点到点为从原点到点为从原点到点为从原点到点3+4i3+4i的直线的直线的直线的直线段段段段 【解】【解】【解】【解】直线的方程可写成直线的方程可写成直线的方程可写成直线

19、的方程可写成 或或或或 于是于是于是于是 又因又因又因又因 由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以分与路径无关的条件，所以分与路径无关的条件，所以分与路径无关的条件，所以 的值不论的值不论的值不论的值不论 是怎样的是怎样的是怎样的是怎样的曲线都等于曲线都等于曲线都等于曲线都等于 ，这说明有些函数的积分值与积，这说明有些函数的积分值与积，这说明有些函数的积分值与积，这说明有些函数的积分值与积分路径无关分路径无关分路径无关分路径无关3.1

20、.5 复变函数环路积分的物理意义复变函数环路积分的物理意义 而且有对应关系而且有对应关系而且有对应关系而且有对应关系 则则则则 故复变函数的环路积分为故复变函数的环路积分为故复变函数的环路积分为故复变函数的环路积分为 由场论知识可知：闭合环路积分由场论知识可知：闭合环路积分由场论知识可知：闭合环路积分由场论知识可知：闭合环路积分 的物的物的物的物理意义为理意义为理意义为理意义为,实部实部实部实部 表示向量场表示向量场表示向量场表示向量场 沿沿沿沿 曲线的环量曲线的环量曲线的环量曲线的环量虚部虚部虚部虚部 表示向量场沿曲线表示向量场沿曲线表示向量场沿曲线表示向量场沿曲线 的通量的通量的通量的通量

21、3.2 柯西积分定理柯西积分定理 早在早在早在早在18251825年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为一条基本定理，现称为一条基本定理，现称为一条基本定理，现称为柯西积分定理柯西积分定理柯西积分定理柯西积分定理（简称（简称（简称（简称柯西定理柯西定理柯西定理柯西定理）定理定理定理定理3.2.1 3.2.1 柯西积分定理柯西积分定理柯西积分定理柯西积分定理 如果函数如果函数如果函数如果函数 在单连通区域在单连通区域在单连通区域在单连通区域 内及其边界线内

22、及其边界线内及其边界线内及其边界线L L上解析（即为在单连通闭区域上解析（即为在单连通闭区域上解析（即为在单连通闭区域上解析（即为在单连通闭区域 解析），解析），解析），解析），那么函数那么函数那么函数那么函数 沿边界沿边界沿边界沿边界L L或区域或区域或区域或区域 内任意闭曲线内任意闭曲线内任意闭曲线内任意闭曲线 的积分为的积分为的积分为的积分为零，即零，即零，即零，即 （）（）（）（）或或或或 （）（）（）（）证明：证明：证明：证明：如图如图如图如图 所示，由于对函数所示，由于对函数所示，由于对函数所示，由于对函数 在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即在闭区域解析概念的理解，故函数的导数

23、即在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即 在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也是连续的再根据格林定理有是连续的再根据格林定理有是连续的再根据格林定理有是连续的再根据格林定理有 由于函数在闭区域解析，故满足由于函数在闭区域解析，故满足由于函数在闭区域解析，故满足由于函数在闭区域解析，故满足C-RC-R条件条件条件条件代入即得代入即得代入即得代入即得 如如如如果果果果我我我我们们们们在在在在该该该该闭闭闭闭区区区区域域域域 内内内

24、内任任任任选选选选某某某某一一一一单单单单连连连连通通通通闭闭闭闭区区区区域域域域 ，其边界为，其边界为，其边界为，其边界为 由上述推导中由上述推导中由上述推导中由上述推导中 将将将将 ,则同理可证明则同理可证明则同理可证明则同理可证明 故结论成立故结论成立故结论成立故结论成立.这这这这个个个个定定定定理理理理是是是是柯柯柯柯西西西西(Cauchy)(Cauchy)于于于于18251825年年年年发发发发表表表表的的的的，古古古古莎莎莎莎(Goursat)(Goursat)于于于于19001900年年年年提提提提出出出出了了了了修修修修改改改改，故故故故又又又又称称称称为为为为柯柯柯柯西西西西

25、古莎定理古莎定理古莎定理古莎定理.说明：说明：说明：说明：11根据第二章，函数在单连通区域根据第二章，函数在单连通区域根据第二章，函数在单连通区域根据第二章，函数在单连通区域D D内及闭曲线内及闭曲线内及闭曲线内及闭曲线L L上解析，即为在闭区域上解析，即为在闭区域上解析，即为在闭区域上解析，即为在闭区域 解析，我们应该理解为函数在解析，我们应该理解为函数在解析，我们应该理解为函数在解析，我们应该理解为函数在比边界稍大一些的区域内部也是解析的；比边界稍大一些的区域内部也是解析的；比边界稍大一些的区域内部也是解析的；比边界稍大一些的区域内部也是解析的；2 2边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边

26、界线边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的正方向据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆正方向据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆正方向据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆正方向据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方向而对于有界复连通区域，外边界取逆时针方向为正方向而对于有界复连

27、通区域，外边界取逆时针方向为正方向而对于有界复连通区域，外边界取逆时针方向为正方向而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边界线的正方向）；界线的正方向）；界线的正方向）；界线的正方向）；33格林（格林（格林（格林（G

28、reenGreen）定理）定理）定理）定理（或格林公式：在单连通区域或格林公式：在单连通区域或格林公式：在单连通区域或格林公式：在单连通区域内，若内，若内，若内，若 有连续的偏导数，则有连续的偏导数，则有连续的偏导数，则有连续的偏导数，则 其中其中其中其中L L是区域是区域是区域是区域 的边界；的边界；的边界；的边界；4 4进一步指出，经修改后的柯西古萨积分定理成立进一步指出，经修改后的柯西古萨积分定理成立进一步指出，经修改后的柯西古萨积分定理成立进一步指出，经修改后的柯西古萨积分定理成立的条件可以弱化为在区域的条件可以弱化为在区域的条件可以弱化为在区域的条件可以弱化为在区域 内解析，在边界上

29、连续以内解析，在边界上连续以内解析，在边界上连续以内解析，在边界上连续以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立3.2.2 不定积分：复积分的牛顿莱不定积分：复积分的牛顿莱布尼兹公式布尼兹公式 定理定理定理定理 由定理由定理由定理由定理 3.2.2 3.2.2 知道，解析函数知道，解析函数知道，解析函数知道，解析函数 在单连通域在单连通域在单连通域在单连通域 内的积分只与起点内的积分只与起点内的积分只与起点内的积分只与起点 和终点和终点和终点和终点 有关，假设

30、有关，假设有关，假设有关，假设 是区域是区域是区域是区域 内连接内连接内连接内连接 和和和和 的两条简单曲线，则的两条简单曲线，则的两条简单曲线，则的两条简单曲线，则 和和和和 分别称为积分的上限和下限，当下限分别称为积分的上限和下限，当下限分别称为积分的上限和下限，当下限分别称为积分的上限和下限，当下限 固定，而上限固定，而上限固定，而上限固定，而上限 在在在在 内变动时，积分内变动时，积分内变动时，积分内变动时，积分 可以看作是上限的函数，可以看作是上限的函数，可以看作是上限的函数，可以看作是上限的函数，记为记为记为记为 （）（）（）（）对对对对 ，有以下的定理，有以下的定理，有以下的定理

31、，有以下的定理定理定理 3.2.4 如果如果 在单连通在单连通域域 内处处解析，则内处处解析，则 在在D内也解析，并且内也解析，并且【证明】【证明】【证明】【证明】令令令令 则则则则 因为因为因为因为 和和和和 是与路径无关的，因此是与路径无关的，因此是与路径无关的，因此是与路径无关的，因此 定理定理定理定理 任何两个原函数相差一个常数任何两个原函数相差一个常数任何两个原函数相差一个常数任何两个原函数相差一个常数 【证明】【证明】【证明】【证明】若若若若 均为均为均为均为 的原函数，则的原函数，则的原函数，则的原函数，则 利用原函数这个关系，我们可以得出：利用原函数这个关系，我们可以得出：利用

32、原函数这个关系，我们可以得出：利用原函数这个关系，我们可以得出：定理定理定理定理3.2.6 3.2.6 若函数若函数若函数若函数 在单连通域在单连通域在单连通域在单连通域 内处处解析，内处处解析，内处处解析，内处处解析，为为为为 的一个原函数，那么的一个原函数，那么的一个原函数，那么的一个原函数，那么 其中其中其中其中 ,为为为为 中任意两点上式称为复积分中任意两点上式称为复积分中任意两点上式称为复积分中任意两点上式称为复积分的牛顿莱布尼兹公式：的牛顿莱布尼兹公式：的牛顿莱布尼兹公式：的牛顿莱布尼兹公式：3.2.3 典型应用实例典型应用实例例3.2.2（非闭合环路积分中的换元积分法）计算积分计

33、算积分计算积分计算积分 【解法【解法1】在整个复平面上解析，且在整个复平面上解析，且运用复积分的牛顿莱布尼兹公式复积分的牛顿莱布尼兹公式有【解法解法2】换元积分法 令，则当，有，有；当；当，有，有 所以所以 例例3.2.3 求积分求积分 并判断闭合环路积分并判断闭合环路积分 中换元积分法是否成立中换元积分法是否成立【解法【解法1】作作积积分分变换变换得：得：?例例3.2.4 3.2.4 计算积分计算积分因而积分与路径无关，可用分部积分法得因而积分与路径无关，可用分部积分法得【解】【解】由于由于 在复平面内处处解析，在复平面内处处解析，3.2.4 柯西积分定理的物理意义柯西积分定理的物理意义3.

34、3 复合闭路定理复合闭路定理 不失一般性，取不失一般性，取n1进行证明进行证明.有下述定理：有下述定理：（1）（）（）（2）(3.3.4)定理定理 设设 L和和 为复连通区域内的两条简单闭为复连通区域内的两条简单闭曲线，如图所示，曲线，如图所示，在在L内部且彼此不相交，以内部且彼此不相交，以 和和L为边界所围成的闭区域为边界所围成的闭区域 全含于全含于D则对于则对于区域区域D内的解析函数内的解析函数 有有 总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为：总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为：总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为：总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为：(i)

35、(i)在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域内任一闭合曲线的积分为零；内任一闭合曲线的积分为零；内任一闭合曲线的积分为零；内任一闭合曲线的积分为零；(ii)(ii)在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取

36、顺时针方向）正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）的积分为零；的积分为零；的积分为零；的积分为零；(iii)(iii)在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分之和之和之和之和 关于常用积分符号的说明：为了以后计算环路积分的方便，在关于常用积分符号的说明：为了以后计算环路积分的

37、方便，在关于常用积分符号的说明：为了以后计算环路积分的方便，在关于常用积分符号的说明：为了以后计算环路积分的方便，在有界区域我们规定记号：有界区域我们规定记号：有界区域我们规定记号：有界区域我们规定记号：（i i）C C代表取逆时针方向积分；代表取逆时针方向积分；代表取逆时针方向积分；代表取逆时针方向积分；（ii ii）代表顺时针方向积分；代表顺时针方向积分；代表顺时针方向积分；代表顺时针方向积分；（iiiiii）而且）而且）而且）而且 成立成立成立成立 上述定理还说明在区域上述定理还说明在区域上述定理还说明在区域上述定理还说明在区域 内的一个解析函数沿闭曲线的积内的一个解析函数沿闭曲线的积内

38、的一个解析函数沿闭曲线的积内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值因此可得到闭分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值因此可得到闭分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值因此可得到闭分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值因此可得到闭路变形定理路变形定理路变形定理路变形定理 本定理说明：（本定理说明：（本定理说明：（本定理说明：（1 1）设）设）设）设 为包含奇点为包含奇点为包含奇点为包含奇点 的任意曲的任意曲的任意曲的任意曲线，且线，且线，且线，且 为边界，为边界，为边界，为边界，为边界内的曲线为边界内的曲线为边界内的曲线为边界内的曲线.由图由图由图由图3

39、.6 3.6 容容容容易看出，当积分路径由易看出，当积分路径由易看出，当积分路径由易看出，当积分路径由 变形为变形为变形为变形为 曲线时，考曲线时，考曲线时，考曲线时，考虑一个微小区域虑一个微小区域虑一个微小区域虑一个微小区域 （不含奇点）的情况来分析，根（不含奇点）的情况来分析，根（不含奇点）的情况来分析，根（不含奇点）的情况来分析，根据柯西定理有据柯西定理有据柯西定理有据柯西定理有 当分区无限多时，两条直线当分区无限多时，两条直线当分区无限多时，两条直线当分区无限多时，两条直线 无限接近，且为相反方向。无限接近，且为相反方向。无限接近，且为相反方向。无限接近，且为相反方向。根据积分性质根据

40、积分性质根据积分性质根据积分性质,有有有有 故得到故得到故得到故得到 综合考虑各个小区域，自然得到综合考虑各个小区域，自然得到综合考虑各个小区域，自然得到综合考虑各个小区域，自然得到 (2)(2)例如本章例中，当例如本章例中，当例如本章例中，当例如本章例中，当L L为以为以为以为以 为中心的正向圆周时：为中心的正向圆周时：为中心的正向圆周时：为中心的正向圆周时：，根据闭路变形原理，对于包含，根据闭路变形原理，对于包含，根据闭路变形原理，对于包含，根据闭路变形原理，对于包含 的任何一条简单闭曲线的任何一条简单闭曲线的任何一条简单闭曲线的任何一条简单闭曲线 ,都都都都有有有有 成立成立成立成立例例

41、例例3.3.1 3.3.1 计算计算计算计算 ，其中，其中，其中，其中 为圆周为圆周为圆周为圆周 ，且取正向，且取正向，且取正向，且取正向 【解】【解】【解】【解】要注意要注意要注意要注意 在在在在 内只有一内只有一内只有一内只有一个奇点个奇点个奇点个奇点 ，将，将，将，将 分成为分成为分成为分成为 ，则由闭路变形定理则由闭路变形定理则由闭路变形定理则由闭路变形定理 3.4 柯西积分公式 3.4.1 3.4.1 有界区域的单连通柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式 定理定理定理定理3.4.1 3.4.1（柯西积分公式）（柯西积分公式）

42、（柯西积分公式）（柯西积分公式）如果如果如果如果 在有界区域在有界区域在有界区域在有界区域D D处处解析，处处解析，处处解析，处处解析，L L为为为为D D内的任何一条正向简单闭曲线，内的任何一条正向简单闭曲线，内的任何一条正向简单闭曲线，内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于且其内部全含于且其内部全含于且其内部全含于D,D,为为为为L L内的任一点，那么内的任一点，那么内的任一点，那么内的任一点，那么 (3.4.1)(3.4.1)称为柯西积分公式称为柯西积分公式称为柯西积分公式称为柯西积分公式,简称柯西公式但一定要简称柯西公式但一定要简称柯西公式但一定要简称柯西公式但一定要注意其与柯西定

43、理称谓上的区别注意其与柯西定理称谓上的区别注意其与柯西定理称谓上的区别注意其与柯西定理称谓上的区别由复积分性质知道根据由复积分性质知道根据由复积分性质知道根据由复积分性质知道根据 在在在在 连续，则对任意小的连续，则对任意小的连续，则对任意小的连续，则对任意小的 对应于对应于对应于对应于R R足够小，有足够小，有足够小，有足够小，有 又显见该积分的值与又显见该积分的值与又显见该积分的值与又显见该积分的值与R R无关这就证明了无关这就证明了无关这就证明了无关这就证明了 ，即为柯西积分公式，即为柯西积分公式，即为柯西积分公式，即为柯西积分公式 它表明：对于解析函数，只要知道了它在区对于解析函数，只

44、要知道了它在区对于解析函数，只要知道了它在区对于解析函数，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的值就完全确定了部点上的值就完全确定了部点上的值就完全确定了部点上的值就完全确定了 特别地，从这里我们可以得到这样一个重要从这里我们可以得到这样一个重要从这里我们可以得到这样一个重要从这里我们可以得到这样一个重要的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处的结论：如果两

45、个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等相等，则它们在整个区域上也相等相等，则它们在整个区域上也相等相等，则它们在整个区域上也相等 【解】（【解】（【解】（【解】（1 1）注意到）注意到）注意到）注意到 在复平面内解析，而在复平面内解析，而在复平面内解析，而在复平面内解析，而 在在在在积分环路积分环路积分环路积分环路C C内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得 （2 2）注注注注意意意意到到到到函函函函数数数数 在在在在 内内内内解解解解析析析析，而而而而 在在在在 内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得内，由柯

46、西积分公式得【解解】根据柯西积分公式，得到 故得到故得到 有界区域的复连通柯西积分公式有界区域的复连通柯西积分公式 (3.4.3)3.4.3 无界区域中的柯西积分公式无界区域中的柯西积分公式 上面对柯西积分公式讨论了（上面对柯西积分公式讨论了（上面对柯西积分公式讨论了（上面对柯西积分公式讨论了（1 1）单连通区域）单连通区域）单连通区域）单连通区域;(2);(2)复连通区域复连通区域复连通区域复连通区域.但所涉及的积分区域都是有限的区但所涉及的积分区域都是有限的区但所涉及的积分区域都是有限的区但所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何域，若遇到函数在无界区域求积分

47、的问题又如何域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公式仍然成立式仍然成立式仍然成立式仍然成立 1 1 无界区域柯西积分公式无界区域柯西积分公式无界区域柯西积分公式无界区域柯西积分公式 定理定理定理定理3.4.3 3.4.3 无界区域中的柯西积分公式（当满足无界区域中的柯西积分公式（当满足无界区域中的柯西积分公式（当满足无界区域中的柯西积分公式（当满足 时）：时）：时）：时）：若在若在若

48、在若在 某一闭曲线某一闭曲线某一闭曲线某一闭曲线L L的外部解析，并且当的外部解析，并且当的外部解析，并且当的外部解析，并且当 时，则对于时，则对于时，则对于时，则对于L L外部区域中的外部区域中的外部区域中的外部区域中的 点有点有点有点有 (3.4.4)(3.4.4)这就是无界区域的柯西积分公式这就是无界区域的柯西积分公式这就是无界区域的柯西积分公式这就是无界区域的柯西积分公式 【证明】【证明】【证明】【证明】为了将柯西积分公式推广到这一情况，以原为了将柯西积分公式推广到这一情况，以原为了将柯西积分公式推广到这一情况，以原为了将柯西积分公式推广到这一情况，以原点为中心，作一个半径为点为中心，

49、作一个半径为点为中心，作一个半径为点为中心，作一个半径为 的大圆的大圆的大圆的大圆 ，将，将，将，将L L和点和点和点和点 全部全部全部全部包含在内，则在包含在内，则在包含在内，则在包含在内，则在 与与与与L L之间的区域之间的区域之间的区域之间的区域 解析，如图应解析，如图应解析，如图应解析，如图应用复连通区域的柯西积分公式得到用复连通区域的柯西积分公式得到用复连通区域的柯西积分公式得到用复连通区域的柯西积分公式得到 (3.4.5)(3.4.5)这一式子的左边与这一式子的左边与这一式子的左边与这一式子的左边与 无关，右边第二项也与无关，右边第二项也与无关，右边第二项也与无关，右边第二项也与

50、无关，无关，无关，无关，因而右边第一项也应与因而右边第一项也应与因而右边第一项也应与因而右边第一项也应与 无关可以进一步证明，当无关可以进一步证明，当无关可以进一步证明，当无关可以进一步证明，当 时它趋于零，由此可以肯定它恒等于零时它趋于零，由此可以肯定它恒等于零时它趋于零，由此可以肯定它恒等于零时它趋于零，由此可以肯定它恒等于零 事实上，当事实上，当事实上，当事实上，当 在上在上在上在上 时，时，时，时，因而利用积分不等式性质有因而利用积分不等式性质有因而利用积分不等式性质有因而利用积分不等式性质有 其中其中其中其中 表示表示表示表示 在圆在圆在圆在圆 上的最大值，根据条件上的最大值，根据条