《工程力学》超静定结构.ppt

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1、.141 超静定结构超静定结构概述概述概述概述142 变形比较法变形比较法第十四章：超静定结构第十四章：超静定结构143 力法正则方程力法正则方程144 对称与反对称性质的利用对称与反对称性质的利用141 超静定结构超静定结构概述概述1 静定结构或系统静定结构或系统无多余约束的几何不变的承载系统无多余约束的几何不变的承载系统;其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出。其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出。PP未知力的数目未知力的数目多于多于该系系统能列出的能列出的独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目；2 超静定结构超静定结构仅仅利用平衡方程不能解出全部未知力。利用平衡方程不能解出全部未

2、知力。未知力的数目与独立平衡方程数目之差。未知力的数目与独立平衡方程数目之差。3 超静定次数超静定次数PP4 多余约束多余约束静不定结构中，静不定结构中，超过超过维持静力平衡所必须的约束；维持静力平衡所必须的约束；与多余约束相对应的反力；与多余约束相对应的反力；5 多余约束反力多余约束反力、提高构件的、提高构件的强度和度和刚度。度。6 超静定系统的特点：超静定系统的特点：PP、各部分的、各部分的内力分配内力分配与其各部分的与其各部分的刚度比度比相关。相关。、可以、可以产生装配生装配应力和温度力和温度应力。力。7 超静定问题分类超静定问题分类结构外部和内部均存在多余约束，即支反结构外部和内部均存

3、在多余约束，即支反 力和内力是超力和内力是超静定的。静定的。在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的;仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的;第一类：第一类：外力超静定系统。外力超静定系统。第二类：第二类：内力超静定系统。内力超静定系统。第三类：第三类：混合超静定系统；混合超静定系统；判断下列结构属于哪类超静定判断下列结构属于哪类超静定外力超静定外力超静定内力超静定内力超静定混合超静定混合超静定外力超静定外力超静定内力超静定内力超静定混合超静定混合超静定判断下列结构属于哪类超静定判断下列结构属于哪类超静定

4、静定静定结构，称构，称为三三铰拱。拱。外力静不定，且外力静不定，且为一次静不定一次静不定RABCPPPABCDE判断下列结构属于哪类超静定判断下列结构属于哪类超静定静定静定结构。构。内力超静定，内力超静定，一次超静定一次超静定判断下列结构属于哪类超静定判断下列结构属于哪类超静定PPABABCDP8、基本静定基、基本静定基解除超静定结构的某些约束后得到的静定结构；解除超静定结构的某些约束后得到的静定结构；静定基可根据需要方便选取，同一超静定结构可有不同选择。静定基可根据需要方便选取，同一超静定结构可有不同选择。可取尾顶针处为多余约束，得到静定基；可取尾顶针处为多余约束，得到静定基；也可以把卡盘处

5、视为多余约束而解除，得到静定基。也可以把卡盘处视为多余约束而解除，得到静定基。9 相当系统相当系统在外载和多余约束作用下的在外载和多余约束作用下的静定基静定基称为相当系统。称为相当系统。PPPRM10 超静定问题的分析方法超静定问题的分析方法以未知位移为基本未知量。以未知位移为基本未知量。2.力法：力法：以未知力为基本未知量。以未知力为基本未知量。1.位移法：位移法：列出用位移表示的力的平衡方程列出用位移表示的力的平衡方程 变形比较法变形比较法 力法正则方程力法正则方程 三弯矩方程三弯矩方程142 变形比较法变形比较法原理：原理：比较原结构与其比较原结构与其相当系统相当系统在在多余约束处的变形

6、多余约束处的变形，相当系统应满足原结构的相当系统应满足原结构的位移边界条件位移边界条件。变形协调关系。变形协调关系。4.利用利用莫尔积分莫尔积分如何用变形比较法求解超静定问题？如何用变形比较法求解超静定问题？1.判定超静定次数判定超静定次数2.释放多余约束释放多余约束,构造构造相当系统相当系统3.列写列写变形协调变形协调方程方程变形协调关系变形协调关系未知力的方程未知力的方程解除解除 多余约束多余约束1 结构静定化结构静定化相当系统相当系统（以方便为准）（以方便为准）超静定超静定结构的求解思想：构的求解思想：建立建立2 在未知力处在未知力处变形协调条件变形协调条件莫尔积分莫尔积分3 变形条件变

7、形条件关于力的补充方程关于力的补充方程例例1：如图超静定梁，梁的抗弯刚度为：如图超静定梁，梁的抗弯刚度为EI，跨度为，跨度为L，受力如图，求受力如图，求B处的支反力。处的支反力。ABq1 1、确定静不定次数；、确定静不定次数；2 2、确定多余、确定多余约束；束；qAB4 4、列出、列出变形形协调条件。条件。3 3、去掉多余、去掉多余约束，得到相当系束，得到相当系统5 5、莫、莫尔积分分计算多余算多余约束束处的相的相应位移；位移；RB55、用能量法、用能量法计算梁的弯曲算梁的弯曲变形。形。莫莫尔积分法分法单位力作用下弯矩方程位力作用下弯矩方程为：梁的弯矩方程梁的弯矩方程：在在B B处加一加一单位

8、力位力1.0qRBx进行莫尔积分66、回代到、回代到协调方程中去，求解。方程中去，求解。ADBCEF例例2、图示悬臂梁、图示悬臂梁AD和和BE的抗弯刚度同为的抗弯刚度同为CD杆的长杆的长 BE=2AD=2米，由钢杆米，由钢杆CD连接。连接。试求悬臂梁试求悬臂梁AD在在D点的挠度。点的挠度。横截面面积横截面面积（1）、判定超静定次数）、判定超静定次数以以CD杆的轴力为多余约束力；杆的轴力为多余约束力；ADFNBCEFFNFNFNADBCEF一次内力超静定问题。一次内力超静定问题。（2）、确定多余约束）、确定多余约束，得到相当系统。，得到相当系统。（3）、去掉多余约束代之以反力）、去掉多余约束代之

9、以反力（4）、设两梁的挠度以向下为正，则变形协调方程为）、设两梁的挠度以向下为正，则变形协调方程为（5）、用能量法求）、用能量法求FFNxxADBCEF1.0 x单位力作用下的内力方程：单位力作用下的内力方程：积分得到：积分得到：ADBCEF（6）、回代到协调方程中，得到：）、回代到协调方程中，得到：求解得到：求解得到：故：故：（4）、变形协调方程）、变形协调方程;（5）、利用能量法求多余约束处的位移或转角）、利用能量法求多余约束处的位移或转角;变形比较法计算超静定的步骤变形比较法计算超静定的步骤（1）、判定超静定次数）、判定超静定次数;（2）、确定多余约束；）、确定多余约束；（3）、去掉多余

10、约束代之以反力，得到相当系统）、去掉多余约束代之以反力，得到相当系统;此时多余约束反力作常量处理此时多余约束反力作常量处理;一般情况下，多余约束反力为一般情况下，多余约束反力为力力的用能量法求的用能量法求线位移；线位移；多余约束反力为多余约束反力为力偶力偶的求的求角位移角位移。即：将多余约束处的即：将多余约束处的表示为多余约束反力的函数表示为多余约束反力的函数（6）、回代到协调方程中，求解多余约束反力。）、回代到协调方程中，求解多余约束反力。一旦多余约束得到，系统称为静定，一旦多余约束得到，系统称为静定，用能量法求挠度用能量法求挠度用能量法求转角用能量法求转角可进行强度、刚度等方面的计算。可进

11、行强度、刚度等方面的计算。1、“所有支座反力均可由静力平衡方程确定的结构所有支座反力均可由静力平衡方程确定的结构均为静定结构。均为静定结构。”2、“用能量法求解超静定问题时，只需考虑变形用能量法求解超静定问题时，只需考虑变形几何条件。几何条件。”讨论讨论1直梁的静不定直梁的静不定1、EI已知，求轴承反力已知，求轴承反力PLLL2、三支座的等截面轴由于制造误差，轴承有、三支座的等截面轴由于制造误差，轴承有高低，使高低，使C支座偏离轴线支座偏离轴线。梁的抗弯刚度。梁的抗弯刚度为为EI，求梁内的最大弯矩。，求梁内的最大弯矩。LLC3、两个横梁的抗弯刚度均为、两个横梁的抗弯刚度均为EI24106N2，

12、拉，拉杆的横截面面积为杆的横截面面积为A3104。横梁与拉杆采。横梁与拉杆采用同种材料用同种材料E200GP。P50KN，L=2m,求求D点的铅垂挠度。点的铅垂挠度。LLL2.5LDBCP4、两个简支梁的长均为、两个简支梁的长均为2L，抗弯刚度相等同为，抗弯刚度相等同为EI。在梁的中点用一抗拉压刚度为。在梁的中点用一抗拉压刚度为EA拉杆连拉杆连接。求下面梁的中点的挠度。接。求下面梁的中点的挠度。LLLLEAq5、求拉杆、求拉杆BC内的应力。内的应力。EA LEI aPBC6、直梁的抗弯刚度为、直梁的抗弯刚度为EI，梁长为，梁长为2，梁的右端，梁的右端用一刚度用一刚度K=3EI/a3的弹簧支撑。

13、求弹簧的变的弹簧支撑。求弹簧的变形。形。aaq7、悬臂梁的抗弯刚度为、悬臂梁的抗弯刚度为EI，长为，长为2，用二根长均为，用二根长均为的拉杆的拉杆BC、CD支撑。已知拉杆的抗拉压刚度相支撑。已知拉杆的抗拉压刚度相等同为等同为EA。求。求C点的铅垂挠度。点的铅垂挠度。2aaaBCD8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为WZ=AL/16，惯性矩为，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：。其中：A为杆为杆的横截面面积；的横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。为梁的长度。求拉杆

14、内的应力。L/2L/2LLP9、L1/L2=2/3，EI1/EI2=4/5。中间夹一刚珠。中间夹一刚珠。求梁内的最大弯矩。求梁内的最大弯矩。EI1EI2L1L2P10、平面直角拐与、平面直角拐与CD杆均为圆截面，材料相同。直杆均为圆截面，材料相同。直角拐的抗扭刚度角拐的抗扭刚度GI4 EI/5，拉杆，拉杆CD 的抗拉压的抗拉压刚度相等刚度相等EA2EI/(5L2)，其中，其中EI为直角拐的抗弯为直角拐的抗弯刚度。求刚度。求CD杆的内力。杆的内力。ABCD2LLPLH11、直角拐的抗拉压刚度相等为、直角拐的抗拉压刚度相等为EI，拉杆，拉杆DG的横截面面积为的横截面面积为A，且，且IA。求。求C截

15、面截面处的弯矩。处的弯矩。2aaaaqDGC12、求图示中二个悬臂梁的最大弯矩。、求图示中二个悬臂梁的最大弯矩。EI,aEI,aEA,aP13、图示结构由梁、图示结构由梁AB与杆与杆CD组成，组成，AC=CB，材，材料相同。梁截面的惯性矩为料相同。梁截面的惯性矩为I，拉杆的横截面的面，拉杆的横截面的面积为积为A。求拉杆。求拉杆CD 的轴力。的轴力。qABCD14、AB、CD两梁的长度相等均为两梁的长度相等均为L，并有相同的，并有相同的抗弯刚度抗弯刚度EI。两梁水平放置、垂直相交。两梁水平放置、垂直相交。CD为简为简支梁，支梁，AB的的A端固定，端固定，B端自由。加载前两梁在中端自由。加载前两梁

16、在中点接触，不计梁的自重。求在力点接触，不计梁的自重。求在力P的作用下的作用下B端沿作端沿作用力方向的位移。用力方向的位移。PABCD15 水平刚性横梁水平刚性横梁AB上部由杆上部由杆1和杆和杆2悬挂，下部由悬挂，下部由铰支座铰支座C支承，如图所示。由于制造误差，使杆支承，如图所示。由于制造误差，使杆1的的长度做短了长度做短了。已知两杆的材料和横截面面积均相。已知两杆的材料和横截面面积均相同，且同，且E1=E2=E=200GPa，A1=A2=A。试求装配后。试求装配后两杆的应力。两杆的应力。16 两端固定的阶梯装杆如图所示。已知两端固定的阶梯装杆如图所示。已知AC段和段和BD段的横截面面积为段

17、的横截面面积为A，CD段的横截面面积为段的横截面面积为2A；该；该杆材料的弹性模量为杆材料的弹性模量为E=210GPa，线膨胀系数，线膨胀系数 。试求当温度升高。试求当温度升高30后，该杆各部分产生的应力。后，该杆各部分产生的应力。17 两根长度各为两根长度各为L1和和L2的梁交叉放置如图所示，的梁交叉放置如图所示，在两梁交叉点处作用有集中荷载在两梁交叉点处作用有集中荷载P。两梁横截面。两梁横截面的惯性矩分别为的惯性矩分别为I1及及I2，梁的材料相同。试问在，梁的材料相同。试问在两梁间荷载是怎样分配的。两梁间荷载是怎样分配的。二、刚架的静不定（各刚架的抗弯刚度二、刚架的静不定（各刚架的抗弯刚度

18、EI为常量）为常量）1、直角拐的抗弯刚度为、直角拐的抗弯刚度为EI，CD杆的变形杆的变形不计。求不计。求CD杆的受力。杆的受力。aC2aPD2、直角拐直径为、直角拐直径为D，弹性模量，弹性模量E是剪变模量是剪变模量G的的倍。倍。C处弹簧刚度为处弹簧刚度为K，求弹簧受力。，求弹簧受力。aPaCK3、求、求B处支反力处支反力PaaB4、求、求B支反力支反力2a2aM=PaPBqM=2qa22aa2aBa5、求、求B支反力支反力6、作刚架的弯矩图、作刚架的弯矩图 2qa2q2a2aB2aaaq8、作刚架的弯矩图、作刚架的弯矩图 10、求、求C截面的挠度截面的挠度2aaaaaPPC11、C支座抬高支座

19、抬高qa4/3EI，作刚架的弯矩图，作刚架的弯矩图aaqC12、求、求C截面的转角截面的转角 M=2qa22aaC13、直角拐在支座、直角拐在支座A处有一沉陷处有一沉陷，求在载荷的作用，求在载荷的作用下，下，A处的约束反力。设处的约束反力。设GIP4EI/5,=qL4/6EILqLABC14、直角拐的抗弯刚度为、直角拐的抗弯刚度为EI，拉杆，拉杆CD的抗拉压刚的抗拉压刚度相等为度相等为EA，各段的长度均为，各段的长度均为L，且，且IAL2，求，求CD杆的内力并作刚架的弯矩图。杆的内力并作刚架的弯矩图。PLLCD1、求、求C截面的铅垂位移截面的铅垂位移 aaaqC三、二次超静定问题（刚架抗弯刚度

20、三、二次超静定问题（刚架抗弯刚度EI为常量）为常量）2、作刚架的弯矩图、作刚架的弯矩图2a2aaaP=qaq3、作刚架的弯矩图、作刚架的弯矩图 2a2aaaP4m4mq=4KN/mBC4、作刚架的弯矩图、作刚架的弯矩图 四、静不定综合四、静不定综合1、两根长为、两根长为L2米的竖直简支梁，在跨中用一根拉紧的金属丝米的竖直简支梁，在跨中用一根拉紧的金属丝相连。左边梁的抗弯刚度为相连。左边梁的抗弯刚度为EI150KNm2，右边梁的抗弯刚度，右边梁的抗弯刚度为为EI2150KNm2。金属丝的横截面面积为。金属丝的横截面面积为65毫米毫米2，E70GPa，求在两梁的跨中施加两个，求在两梁的跨中施加两个

21、2KN的力后，金属丝内的应力。的力后，金属丝内的应力。2KN2KN0.5m2、GH平行于平行于EF，并且，并且GH、EF垂直于圆轴的轴线。垂直于圆轴的轴线。圆轴、圆轴、GH、EF处于水平。已知：圆轴的直径为处于水平。已知：圆轴的直径为D1100毫米，毫米，GH、EF的直径为的直径为D220毫米，材料毫米，材料相同。相同。G，M7KN。求轴内的最大剪应力。求轴内的最大剪应力。1m1m2m2mMGHEF3、直角拐、直角拐ABC的直径为的直径为D20毫米，毫米，CD杆的横截面杆的横截面面积为面积为A6.52，二者采用同种材料制成。弹性，二者采用同种材料制成。弹性模量模量E200GP，剪变模量，剪变模

22、量G80 GP。CD杆杆的线胀系数的线胀系数=12.510-6，温度下降，温度下降50。求出直角。求出直角拐的危险点的应力状态。拐的危险点的应力状态。ABCD0.3m4、图示中梁为工字型截面，梁的跨度为、图示中梁为工字型截面，梁的跨度为L4米，米，力力P40KN作用在梁的中央。对本身形心轴的惯性作用在梁的中央。对本身形心轴的惯性矩为矩为IZ18.5106mm4，求该梁的最大剪力和弯矩，求该梁的最大剪力和弯矩，并求并求C截面的挠度。截面的挠度。P90C5、图示中的钢制直角曲拐、图示中的钢制直角曲拐ABC的截面为圆型，直径为的截面为圆型，直径为d100毫米，位于水平面内，毫米，位于水平面内，A端固

23、定，端固定，C处铰接钢制直杆处铰接钢制直杆CD。已知。已知CD杆的横截面面积为杆的横截面面积为A40毫米毫米2，钢材的弹性模量为，钢材的弹性模量为E200GPa，剪变模量为，剪变模量为G80GPa，线胀系数，线胀系数12.5106(1/oC)。试用能量法求在。试用能量法求在K截面处作用有扭转力偶截面处作用有扭转力偶M5KNm，且，且CD的温度下降的温度下降40 oC，CD杆的内力。，杆的内力。，CD=0.3m AKBCDM6、图示中的悬臂梁、图示中的悬臂梁AB1与刚架与刚架B2CD需要在需要在B1和和B2处铰接，但处铰接，但在铅垂方向存在装配误差在铅垂方向存在装配误差。已知各杆均为直径。已知各

24、杆均为直径d=20毫米的钢毫米的钢杆，长为杆，长为L1000毫米，材料的弹性模量为毫米，材料的弹性模量为E200GPa，剪变，剪变模量模量G，许用应力为，许用应力为=100Mpa,且不考虑剪力的影响。试且不考虑剪力的影响。试根据强度条件确定最大允许的装配误差根据强度条件确定最大允许的装配误差，以及，以及B1和和B2间的相间的相互作用力。互作用力。AB1B2CDLLL7、水平曲拐、水平曲拐ABC为圆截面折杆，在为圆截面折杆，在C端的上方有一铅垂杆端的上方有一铅垂杆DK。制造时。制造时DK做短了做短了。曲拐。曲拐AB段和段和BC段的抗扭刚度和抗段的抗扭刚度和抗弯刚度皆为弯刚度皆为EI、GIP。且。

25、且GIP4 EI/5。杆。杆DK的抗拉刚度为的抗拉刚度为EA，且，且EA2EI/(5a2)。求。求:在在AB段的段的B端加多大的扭矩，端加多大的扭矩，才可使才可使C点刚好与点刚好与D点接触。点接触。若若C、D两点接触后，用铰链两点接触后，用铰链将将C、D两点连接在一起，再逐渐撤出所加扭矩，求此时两点连接在一起，再逐渐撤出所加扭矩，求此时DK杆的轴力和固定端杆的轴力和固定端A截面的内力。截面的内力。ABDKC2aaa8 直梁直梁ABC在承受荷载前搁置在支座在承受荷载前搁置在支座A、C上，梁与上，梁与支座支座B间有一间隙间有一间隙。当加上均布荷载后，梁就发生。当加上均布荷载后，梁就发生变形而在中点

26、处与支座变形而在中点处与支座B接触，因而三个支座都产接触，因而三个支座都产生约束反力。如要使这三个约束反力相等，则生约束反力。如要使这三个约束反力相等，则值值应为多大？应为多大？143 用力法正则方程解超静定结构用力法正则方程解超静定结构一、力法的基本概念一、力法的基本概念1、多余约束、多余约束如果该处约束反力已知，则力系便成为静定如果该处约束反力已知，则力系便成为静定系统；且该约束对体系的几何不变无影响。系统；且该约束对体系的几何不变无影响。2、相当系统、相当系统解除多余约束，代之以相应的约束反力，此时在外解除多余约束，代之以相应的约束反力，此时在外力与多余约束反力的作用下成为静定结构。力与

27、多余约束反力的作用下成为静定结构。X1PB3、解的唯一性、解的唯一性既满足力系平衡，又满足变形协调。既满足力系平衡，又满足变形协调。4、正则方程、正则方程利用利用B处竖向位移处竖向位移 ，可求出，可求出X1。PBX1、设、设为为B处沿处沿X1方向作用单位力方向作用单位力时时B点沿点沿方向的位移；方向的位移；B1.0、此时、此时B点的变形协调方程可写为：点的变形协调方程可写为：，系数项计算系数项计算5B1.0为只考虑单位力作用下的内力方程为只考虑单位力作用下的内力方程PBX1MP(x)为去掉多余约束力，只为去掉多余约束力，只考虑外载作用下的内力方程。考虑外载作用下的内力方程。PPBX16 回代到

28、正则方程回代到正则方程求解得到求解得到注意：注意：1、写外载作用下内力方程时，多余约束、写外载作用下内力方程时，多余约束0，其余支座不动；其余支座不动；2、写单位载荷作用下的内力方程时，外载、写单位载荷作用下的内力方程时，外载=0，支座不动。，支座不动。二、静不定次数的确定二、静不定次数的确定1、用力法计算超静定时，应先确定多余约束的数目；、用力法计算超静定时，应先确定多余约束的数目；2、在超静定结构上去掉多余约束的基本方式有：、在超静定结构上去掉多余约束的基本方式有：判定系统为几次静不定，从而确定补充方程的个数。判定系统为几次静不定，从而确定补充方程的个数。一般情况下，多余约束力的个数，就是

29、静不定的次数。一般情况下，多余约束力的个数，就是静不定的次数。、去掉一个链杆，相当于去掉一个联系；、去掉一个链杆，相当于去掉一个联系；X1X1、去掉一个单铰，相当于去掉两个联系；、去掉一个单铰，相当于去掉两个联系；X1X1X2X2、切断一根梁式杆，相当于去掉三个联系；、切断一根梁式杆，相当于去掉三个联系；X1X1X2X2X3X3、钢接处改为单铰，相当于去掉一个联系。、钢接处改为单铰，相当于去掉一个联系。X1X1三、力法的典型方程三、力法的典型方程力法的思想力法的思想力法以多余力作为未知量，通过位移条件求解多力法以多余力作为未知量，通过位移条件求解多余约束力，再由静定系统求其他的未知反力。余约束

30、力，再由静定系统求其他的未知反力。例、图示中刚架的抗弯刚例、图示中刚架的抗弯刚度度EI为常量。求约束反力。为常量。求约束反力。P1P2ABP1P2AX1X2X31、取支座、取支座B处为多余约束拆除，处为多余约束拆除，暴露出三个约束反力暴露出三个约束反力X1、X2、X3P1P2AB2、在、在B处，由于约束的限制处，由于约束的限制不可能有任何的线位移和角不可能有任何的线位移和角位移。位移。故其约束条件为：故其约束条件为：（沿（沿X1方向的线位移为零）方向的线位移为零）（沿（沿X2方向的线位移为零）方向的线位移为零）（沿（沿X3方向的角位移为零）。方向的角位移为零）。P1P21.01.01.0 3、

31、设：和外载分别作用于静定基和外载分别作用于静定基点点B沿沿方向的位移分别为：方向的位移分别为：点点B沿沿方向的位移分别为：方向的位移分别为：点点B沿沿方向的位移分方向的位移分别为别为：分别引起分别引起P1P2AX1X2X3应用叠加原理得到点应用叠加原理得到点B的总位移为：的总位移为：正则方程正则方程P1P2AX1X2X3n次超静定时的正则方程为：为主系数，为主系数，为副系数；为副系数；表示表示引起引起处沿处沿方向的位移；方向的位移；表示结构所有已知载荷产生的在表示结构所有已知载荷产生的在处沿处沿方向的位移。方向的位移。由位移互等知：由位移互等知：、写外载引起的内力方程时，多余力去掉；、写外载引

32、起的内力方程时，多余力去掉；中将含有中将含有项，即：项，即：注意事项注意事项、单位力分别施加，一次只能施加一个单位力；、单位力分别施加，一次只能施加一个单位力；、切断一根梁时，、切断一根梁时，、折掉一根二力杆时，、折掉一根二力杆时，且积分遍布于整个结构上；且积分遍布于整个结构上；多余约束力成对出现，施加单位力多余约束力成对出现，施加单位力 时也应成对施加，相当于相对位移等于零。时也应成对施加，相当于相对位移等于零。、求出多余力后，欲求某点位移时，莫尔积分应遍布整个结构；、求出多余力后，欲求某点位移时，莫尔积分应遍布整个结构；、写外载作用下的内力方程时，多余力去掉，支座不动；、写外载作用下的内力

33、方程时，多余力去掉，支座不动；写单位力作用下的内力方程时，外载卸掉，支座不动。写单位力作用下的内力方程时，外载卸掉，支座不动。注意事项注意事项力法的力法的计计算步算步骤骤、解正则方程，求多余约束反力；、解正则方程，求多余约束反力；、判定超静定次数，确定多余约束；、判定超静定次数，确定多余约束；、去掉多余约束，并用约束反力代换得到相当系统；、去掉多余约束，并用约束反力代换得到相当系统；、建立正则方程；、建立正则方程；写外载作用下的内力方程写外载作用下的内力方程MP(x)时，和单位载时，和单位载荷作用下的内力方程，并计算系数项。荷作用下的内力方程，并计算系数项。系数项的计算系数项的计算主系数：主系

34、数：副系数：副系数：常数项：常数项：静不定系统的内力静不定系统的内力例例1、刚架如图所示，抗弯刚度为、刚架如图所示，抗弯刚度为EI，求刚架的约束反力，求刚架的约束反力。Pa/2a/2aABCD（1）、取固定铰处为多余约束卸）、取固定铰处为多余约束卸掉，得到相当系统；掉，得到相当系统；a/2a/2aX1X2P（2）、此系统为次超静定，）、此系统为次超静定，写出正则方程如下：写出正则方程如下：xxxP（3）、分别施加单位力，写单位力作用下的内力方程）、分别施加单位力，写单位力作用下的内力方程和外载作用下的内力方程。和外载作用下的内力方程。外载作用下各段的内力方程外载作用下各段的内力方程CD段：段：

35、BC段：段：BA段段 Pa/2a/2aABCD1.01.0Pa/2a/2aABCD单位力单位力X1=1.0作用下对应段的内力方程作用下对应段的内力方程单位力单位力X=1.0作用下对应段的内力方程作用下对应段的内力方程；（4）、计算各系数项）、计算各系数项(5)代入正则方程：代入正则方程：求解得到：求解得到：1 判定多余约束反力的数目；C 例例3 如图所示，梁EI为常数。试求支座反力，作弯矩图，并求梁中点的挠度。PAB(a)PABCX1(b)选取并去除多余约束，代 以多余约束反力，列出变形 协调方程。变形协调方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程用能量法计算 和PABC(c)x(d)xABX1

36、AB1x(e)由莫尔定理可得(图c、d、e)求多余约束反力将上述结果代入变形协调方程得求其它约束反力 由平衡方程可求得A端反力，其大小和方向见图(f)。CPAB(f)作弯矩图，见图(g)。(g)+求梁中点的挠度选取基本静定系(见图(b)作为计算对象。单位载荷如图(h)。PABCX1(b)x1ABC(h)用莫尔定理可得注意注意：对于同一超静定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图(i)所示的简支梁。CPAB(i)X1例例4 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。qaABa解：刚架有两个多余约束。选取并去除多余约束，代以多 余

37、约束反力。qABX1X2建立力法正则方程计算系数dij和自由项DiPqABx1x2ABx1x211ABx1x2求多余约束反力将上述结果代入力法正则方程可得求其它支反力 由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中。qAB144 对称及对称性质的应用对称及对称性质的应用一、对称结构的对称变形与反对称变形一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为轴，则称此结构为对称结构对称结构。当对称结构受力也对称于结构对。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生称轴，则此结构将产生对称变形对称变形。若

38、外力反对称于结构对称轴，。若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生则结构将产生反对称变形反对称变形。E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴对称结构上作用有对称载荷对称结构上作用有对称载荷对称结构上作用有反对称载荷对称结构上作用有反对称载荷对称结构上作用有反对称载荷对称结构上作用有反对称载荷 正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为零或大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。对称轴X1X2X2X3PX1X3例如：例如：X1X3PX1X3PX2X2PP例例1 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。ABCPPaa解：图示刚架有三个多余未知力。但由于结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解。PPX1X1用莫尔定理求D1P和d11。Px1x2x1x21则由平衡方程求得：ABPPMBRByBMARAyA返回到本章目录返回到本章目录