结构力学第四章位移计算.ppt

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1、第四章 结构位移计算4.1 4.1 概述概述一一 结构的位移结构的位移在荷载、温度改变、支座移动等外因作用下，结构上各点在荷载、温度改变、支座移动等外因作用下，结构上各点各截面发生移动、转动，这些移动和转动统称为结构位移各截面发生移动、转动，这些移动和转动统称为结构位移以上位移统称位移以上位移统称位移，为广义位移为广义位移为广义位移为广义位移 A BABABAB ABAAAAA AAxAy二二 位移计算的目的位移计算的目的1验算结构的刚度验算结构的刚度结构变形不得超过容许值结构变形不得超过容许值 2结构设计、制作、养护过程中，常需预先知道结构变形后结构设计、制作、养护过程中，常需预先知道结构变

2、形后的位置，以便采取相应的施工措施的位置，以便采取相应的施工措施3位移计算是超静定结构计算的基础位移计算是超静定结构计算的基础超静定结构计算要同时满足平衡条件和变形连续条件超静定结构计算要同时满足平衡条件和变形连续条件三三 位移计算中的基本假定位移计算中的基本假定材料处于弹性阶段，应力与应变之间成正比（物理线性）材料处于弹性阶段，应力与应变之间成正比（物理线性）结构变形微小，不影响力的作用（几何线性）结构变形微小，不影响力的作用（几何线性）可用结构原尺寸计算力的作用与位移可用结构原尺寸计算力的作用与位移体系所有约束为理想约束，即位移过程中体系约束力不体系所有约束为理想约束，即位移过程中体系约束

3、力不作功作功即本章讨论的是即本章讨论的是线性变形体系线性变形体系的位移计算问题，体系位移与的位移计算问题，体系位移与荷载呈线性关系，位移计算可以应用叠加原理荷载呈线性关系，位移计算可以应用叠加原理FP4.2 刚体体系虚功原理及应用一一 实功与虚功实功与虚功1 1 实功实功在常力在常力F FP P作用下，物体沿力的方向发生位移作用下，物体沿力的方向发生位移，则常力，则常力F FP P 在位移过程中作的功为在位移过程中作的功为:W=FP力偶力偶MM在物体转动在物体转动 过程中作的功为过程中作的功为:W=M广义力广义力P P：作功的可以是一个集中力、一个力偶、一组集中：作功的可以是一个集中力、一个力

4、偶、一组集中力、一组集中力偶，统称为广义力力、一组集中力偶，统称为广义力P P广义力广义力P P由于相应广义位移由于相应广义位移作功：作功：W=P力在其本身引起位移中作的功力在其本身引起位移中作的功(real work)FP力在其它因素引起位移上作的功叫虚功力在其它因素引起位移上作的功叫虚功称虚功是为了强调作功的力与产生位移的原因无关这一称虚功是为了强调作功的力与产生位移的原因无关这一特点特点实功恒为正值实功恒为正值，虚功可为正也可为负值虚功可为正也可为负值虚功中的力、位移两个要素互不相关，它们分别属于同虚功中的力、位移两个要素互不相关，它们分别属于同一体系的两种独立无关的状态一体系的两种独立

5、无关的状态W12=P力状态力状态位移状态位移状态+t1+t2+t1+t2二二 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理任意平衡力系作用下的刚体体系，设体系发生任一符合约束任意平衡力系作用下的刚体体系，设体系发生任一符合约束条件的无限小的刚体位移，则体系上所有外力在位移上作的条件的无限小的刚体位移，则体系上所有外力在位移上作的虚功总和恒等于零虚功总和恒等于零W12=1 1 虚设位移状态，求未知力虚设位移状态，求未知力应用于实际力状态与虚设位移状态间的虚功原理，称虚位应用于实际力状态与虚设位移状态间的虚功原理，称虚位移原理移原理力状态力状态位移状态位移状态X=1P=b/aFX1-FPb/a=FX=b/

6、aFPFXFPab虚设力状态，求未知位移虚设力状态，求未知位移1位移状态位移状态力状态力状态C C应用于实际位移状态与虚设力状态间的虚功原理，称虚力应用于实际位移状态与虚设力状态间的虚功原理，称虚力原理原理二二 支座移动时静定结构的位移计算支座移动时静定结构的位移计算1 1 单位荷载法单位荷载法用虚设单位荷载求结构位移的方法用虚设单位荷载求结构位移的方法单位荷载应与拟求位移对应单位荷载应与拟求位移对应1-b/a C=b/aCab 计算步骤计算步骤KKiiKii位移状态位移状态力状态力状态FP=1C1C2C3虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按刚体体系虚功原理虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按

7、刚体体系虚功原理在点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位在点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位荷载作用下的支座反力荷载作用下的支座反力式中为支座反力在相应支座位移式中为支座反力在相应支座位移上所作虚功，上所作虚功，当两者方向一致时为正当两者方向一致时为正DBCA6m6mDBCA例例例例4-14-1图示刚架支座发生图示位移，求点位移图示刚架支座发生图示位移，求点位移图示刚架支座发生图示位移，求点位移图示刚架支座发生图示位移，求点位移1.5cm1cmDBCA解解 一一 求求CXCX1取虚力状态如图，求支座反力取虚力状态如图，求支座反力求求CXCXFP=1FP=1二二 求求CyCy12

8、 2 求求CyCy三三 求求C C114.3 变形体系虚功原理一一 变形体虚功原理变形体虚功原理+t2+t1C任意平衡力系作用下的变形体系，给其以几何可能的变形和任意平衡力系作用下的变形体系，给其以几何可能的变形和位移，则体系上外力所作虚功恒等于体系内力虚功位移，则体系上外力所作虚功恒等于体系内力虚功W12=Wi12外力虚功内力虚功d=dsFNFNFQFQdsdsdsd=dsd=0ds0ds微段微段dwi12=FN ds+FQ 0ds+M ds 整根杆整根杆wi12=(FN ds+FQ 0ds+M ds)变形体系变形体系wi12=(FN ds+FQ 0ds+M ds)MMKii该式即为结构位移

9、计算的一般公式该式即为结构位移计算的一般公式二二 位移计算的一般公式位移计算的一般公式+t2+t1CKKiiFP=1在点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位荷在点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位荷载作用下的支座反力载作用下的支座反力及结构内力及结构内力、虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按变形体虚功原理虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按变形体虚功原理1适用范围：适用范围：静定结构和超静定结构；静定结构和超静定结构；弹性体系和非弹性体系；弹性体系和非弹性体系；各种因素产生的位移计算各种因素产生的位移计算2单位荷载单位荷载AA AFP=1AM=1求某点线位移求某点线位移求某截面角

10、位移求某截面角位移若求结构上某截面角位移若求结构上某截面角位移在截面处加一单位力偶在截面处加一单位力偶ABABAB求结构上两点水平求结构上两点水平(竖向竖向或连线方向或连线方向)相对线位移相对线位移FP=1FP=1A BFP=1FP=1求结构上两点水平(竖向或连线方向)相对线位移，在两点沿水平(竖向或连线方向)加上两个方向相反的单位力若求结构两个截面的相对角位移在两个截面上加两个方向相反单位力偶若求桁架中AB杆的角位移，应加一单位力偶，构成这一力偶的两个集中力取 1/d，垂直作用于杆端CM=1M=1BdAC求结构两个截面的相对角位移求结构两个截面的相对角位移求求AB杆的角位移杆的角位移式中式中

11、 虚设单位荷载引起的内力虚设单位荷载引起的内力4.荷载作用下的位移计算一一 计算公式计算公式荷载作用下，微段变形由内力引起，当材料荷载作用下，微段变形由内力引起，当材料处于弹性工作阶段，其拉伸、剪切应变和弯曲曲率：处于弹性工作阶段，其拉伸、剪切应变和弯曲曲率：式中式中kk考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，与截面形状有关与截面形状有关 实际荷载引起的内力实际荷载引起的内力一一 计算公式计算公式梁、刚架梁、刚架桁架桁架组合结构组合结构拱拱拱轴线与合理轴线较接近或扁平拱计算水平位移时，拱轴线与合理轴线较接近或扁平拱计算水平位移时，考虑轴向变形对位移的影响考虑

12、轴向变形对位移的影响荷载作用下，结构弹性位移计算公式荷载作用下，结构弹性位移计算公式例例例例4-24-2求图示悬臂梁求图示悬臂梁求图示悬臂梁求图示悬臂梁A A端的竖向位移，矩形截面梁端的竖向位移，矩形截面梁端的竖向位移，矩形截面梁端的竖向位移，矩形截面梁B BA AL Lq q解解 一一取虚力状态如图取虚力状态如图A AB BF FP P=1=1二二求单位荷载及实际荷载作用下的内力求单位荷载及实际荷载作用下的内力x xx x三三求求A A端的竖向位移端的竖向位移剪切变形对深梁剪切变形对深梁位移的影响不容忽视，但对一般梁可以忽位移的影响不容忽视，但对一般梁可以忽略不计略不计当当 时时当当 时时B

13、 BA AL Lq q解解 一一 取虚力状态如图取虚力状态如图二二 求求FPFPFPFP-FP00FP=11/21/21/2-1三三 求求结点结点结点结点CC竖向位移竖向位移竖向位移竖向位移dFPddddFPC例例例例4-54-5计算图示桁架结点计算图示桁架结点计算图示桁架结点计算图示桁架结点CC竖向位移，设各杆竖向位移，设各杆竖向位移，设各杆竖向位移，设各杆EAEA相同相同相同相同一一 图乘法应用条件与计算公式图乘法应用条件与计算公式梁和刚架在荷载作用下的位移计算式梁和刚架在荷载作用下的位移计算式（1）杆轴为直线；）杆轴为直线；（2）各段）各段EI常数；常数；（3）两个弯矩图中至少有一个是直

14、线图形）两个弯矩图中至少有一个是直线图形则可用下述图乘法来代替积分运算，从而简化计算工作则可用下述图乘法来代替积分运算，从而简化计算工作4.4.图乘法图乘法 Graphic Multiplication Method 当结构的各杆段符合下列条件时：当结构的各杆段符合下列条件时：x以杆轴为以杆轴为 x 轴，以直线弯矩图的轴，以直线弯矩图的延长线与延长线与 x 轴交点轴交点O为坐标原点为坐标原点ABBAMKMiyx xMiMkdxdx式中式中 为微面积对为微面积对 y轴的面积矩轴的面积矩 即为整个即为整个 图的面积对图的面积对 y 轴的面积矩轴的面积矩x xc cCOEI常数常数为常数为常数根根据

15、据合合力力矩矩定定理理，它它应应等等于于 图图的的面面积积 乘乘以以其其形形心心c到到y轴轴的距离的距离 ，即，即x以杆轴为以杆轴为 x 轴，以直线弯矩图的轴，以直线弯矩图的延长线与延长线与 x 轴交点轴交点O为坐标原点为坐标原点ABBAMKMiyx xx xc cCOEI常数常数为常数为常数xCtan=y0ABBAMKMiCO y0由由此此可可见见，上上述述积积分分式式等等于于一一个个弯弯矩矩图图的的面面积积 乘乘以以其其形形心心处处所所对对应应的的另另一一个个直直线线弯弯矩矩图图上上的的纵纵距距 ，再再除除以以EI。这这就就是是图图形相乘法的计算位移的方法，简称为图乘法形相乘法的计算位移的

16、方法，简称为图乘法根据上面的推证过程，可知在使用图乘法时应注意下列各点：根据上面的推证过程，可知在使用图乘法时应注意下列各点：（2）纵距）纵距 只能取自直线图形只能取自直线图形（3）与与 若在杆件的同侧则乘积取正号，否则取负号若在杆件的同侧则乘积取正号，否则取负号（1）必须符合上述三个条件）必须符合上述三个条件顶点顶点lhl/2A常用的几种图形的面积和形心二次抛物线二次抛物线lh2l/3l/3形心形心Alhab（l+a)/3(l+b)/3形心形心AAAlh3l/4l/43l/85l/8A1A2顶点顶点二次抛物线二次抛物线A例例例例4-64-6用图乘法求例用图乘法求例用图乘法求例用图乘法求例4-

17、24-2悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁A A端的竖向位移端的竖向位移端的竖向位移端的竖向位移B BA AL Lq q解解 一一 取虚力状态如图取虚力状态如图A AB BF FP P=1=1二二 作单位弯矩图及荷载弯矩图作单位弯矩图及荷载弯矩图B BA AL Lq qA AB BF FP P=1=1三三 求求A A端的竖向位移端的竖向位移y2I1I2y1二二 图乘分段和叠加图乘分段和叠加当各杆段的截面不相等时，应分段图乘再进行叠加当各杆段的截面不相等时，应分段图乘再进行叠加当当y所属图形不是一段直线而是若干段直线组成时，应所属图形不是一段直线而是若干段直线组成时，应分段图乘，再进行叠加分段图乘，再进行

18、叠加y1y2y31 图乘分段图乘分段例例例例4-74-7用图乘法求图示简支梁用图乘法求图示简支梁用图乘法求图示简支梁用图乘法求图示简支梁C C点竖向位移点竖向位移点竖向位移点竖向位移解解 一一 取虚力状态如图取虚力状态如图F FP P=1=1二二 作单位弯矩图及荷载弯矩图作单位弯矩图及荷载弯矩图CEIl/2l/2q三三 求求C C点竖向位移点竖向位移竖标不是取自直线弯矩图形y1复杂的图形分解成几个简单的图形，然后将分解得简单图复杂的图形分解成几个简单的图形，然后将分解得简单图形分别与另一图形相乘再叠加形分别与另一图形相乘再叠加cdy2cdy1y22 图乘叠加图乘叠加均布荷载作用下的任何直杆段均

19、布荷载作用下的任何直杆段AB，其弯矩图均可看成，其弯矩图均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加 y0y0例例例例4-84-8用图乘法求图示梁用图乘法求图示梁用图乘法求图示梁用图乘法求图示梁C C点竖向位移点竖向位移点竖向位移点竖向位移解解 一一 取虚力状态如图取虚力状态如图qll/2ABCCF FP P=1=1二二 作单位弯矩图及荷载弯矩图作单位弯矩图及荷载弯矩图l/2三三 求求C C点竖向位移点竖向位移例例例例4-94-9用图乘法求图示刚架用图乘法求图示刚架用图乘法求图示刚架用图乘法求图示刚架C C点竖向位移点竖向位移点竖向位移点竖向位移EI/2qll/

20、2EIEIAl/2BC解解 一一 取虚力状态如图取虚力状态如图ABCF FP P=1=1二二 作单位弯矩图及荷载弯矩图作单位弯矩图及荷载弯矩图ABCDABCF FP P=1=1D三三 求求C C点竖向位移点竖向位移ABCDABCF FP P=1=1DABCDABCF FP P=1=1Dhh1h2+t1+t2+t0ds假定温度沿截面高度按直线规律变化假定温度沿截面高度按直线规律变化d由于温度变化，微段由于温度变化，微段ds变形为：变形为：d按变形体虚功原理按变形体虚功原理4.6 4.6 温度变化时静定结构位移计算温度变化时静定结构位移计算一一 计算公式计算公式hh1h2+t1+t2+t0dsdd

21、4.6 4.6 温度变化时静定结构位移计算温度变化时静定结构位移计算一一 计算公式计算公式一般情况下一般情况下,各杆均为等截面，各杆均为等截面，t、t0、h沿每一杆为常量沿每一杆为常量式中 t0杆轴线温度变化值t杆上下边缘温度变化差值单位力与温度变化引起的杆件变形方向相同时 取正号例例例例4-104-10图示刚架内侧温度升高图示刚架内侧温度升高图示刚架内侧温度升高图示刚架内侧温度升高10100 0C C，求，求，求，求C C端竖向位移端竖向位移端竖向位移端竖向位移（各杆截面为矩形，截面高度为（各杆截面为矩形，截面高度为（各杆截面为矩形，截面高度为（各杆截面为矩形，截面高度为h=600mmh=6

22、00mm，），），），）解解 一一 取虚力状态如图取虚力状态如图+100C+100CFP=1FP=1二二 作作 、图图-116m6m三三 求求cycy6m6mCFN4.7 线性变形体系的互等定理一一 功的互等定理功的互等定理F1状态状态F2状态状态在线性变形体系中，第一种状态的外力在第二种状态的位移在线性变形体系中，第一种状态的外力在第二种状态的位移上所作虚功，等于第二种状态的外力在第一种状态的位移上上所作虚功，等于第二种状态的外力在第一种状态的位移上所作虚功所作虚功1212二二 位移互等定理位移互等定理在线性变形体系中，由第二个单位力引起的第一个单位力作在线性变形体系中，由第二个单位力引起的

23、第一个单位力作用点沿其作用方向上的相应位移，等于由第一个单位力引起用点沿其作用方向上的相应位移，等于由第一个单位力引起的第二个单位力作用点沿其作用方向上的相应位移的第二个单位力作用点沿其作用方向上的相应位移FP1=1FP2=121211 这里荷载是广义荷载，位移是相应的广义位移这里荷载是广义荷载，位移是相应的广义位移2 12与与21不仅数值相等，量纲也相同不仅数值相等，量纲也相同在线性变形体系中，支座在线性变形体系中，支座2由于支座由于支座1发生单位位移发生单位位移C1=1所引所引起的反力，等于支座起的反力，等于支座1由于支座由于支座2沿沿r21方向发生单位位移方向发生单位位移C2=1所引起的反力所引起的反力三三 反力互等定理反力互等定理C1=1C2=1r11r21r22r12四四 反力位移互等定理反力位移互等定理FP1=1r21C2=112在线性变形体系中，由单位力在线性变形体系中，由单位力FP1=1引起的支座引起的支座2的反力的反力r21等于支座等于支座2沿沿r21方向发生相应单位位移方向发生相应单位位移C2=1时单位力时单位力FP1=1作用点沿其作用方向上的位移作用点沿其作用方向上的位移，但符号相反，但符号相反