线性系统的时域分析.ppt

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1、第三章第三章 线性系统的时域分析线性系统的时域分析本章重点、难点与考点本章重点、难点与考点一、重点：一、重点：1、二阶系统时间响应及其动态性能指标计算二阶系统时间响应及其动态性能指标计算2、线性系统稳定的充要条件及稳定判据、线性系统稳定的充要条件及稳定判据3、稳态误差计算、稳态误差计算二、难点：二、难点：高阶系统的时间响应表达式的求取高阶系统的时间响应表达式的求取三、考点三、考点：1 1、一阶系统单位阶跃响应、典型输出值、一阶系统单位阶跃响应、典型输出值 2 2、二阶系统动态性能分析与性能指标的计算、二阶系统动态性能分析与性能指标的计算 3 3、RouthRouth判据判定系统稳定性判据判定系

2、统稳定性 4 4、计算稳态误差、计算稳态误差31线性系统响应指标线性系统响应指标 动态性能指标动态性能指标:快速性能：快速性能：ts、tp、tr、td系统性能的评价系统性能的评价阻尼性能：阻尼性能：Mp、N稳态性能指标稳态性能指标:稳态误差稳态误差ess1典型输入信号典型输入信号 名名称称 时域表达式时域表达式频域表达式频域表达式单位脉冲函数单位脉冲函数(t),t=01单位阶跃函数单位阶跃函数1（t）,t01/s单位斜坡函数单位斜坡函数t,t01/s2单位加速度函数单位加速度函数t2/2,t01/s3正弦函数正弦函数AsintA/(s/(s2 2+2 2)2时域性能指标时域性能指标 典型时间响

3、应：零初始条件时，典型输入信号作用下系统输出典型时间响应：零初始条件时，典型输入信号作用下系统输出的的过渡过渡过程过程*。后页*过渡过程过渡过程：系统受到外作用时，控制过程不会立即发生，而是有：系统受到外作用时，控制过程不会立即发生，而是有一定的延缓，这就使得被控量恢复到期望值或跟踪输出量有一个一定的延缓，这就使得被控量恢复到期望值或跟踪输出量有一个时间过程。一般认为时间过程。一般认为c(t)c(t)进入进入（误差带）后过渡过程结束。（误差带）后过渡过程结束。例如例如：单位阶跃输入信号作用下，反馈系统的过渡过程为：单位阶跃输入信号作用下，反馈系统的过渡过程为：r(t)10ta 单位阶跃信号单位

4、阶跃信号10tc(t)0.52tdtrtptsb 单位阶跃信号作用下单位阶跃信号作用下反馈系统的过渡过程曲线反馈系统的过渡过程曲线（误差带（误差带一般取一般取0.020.02或或0.050.05）动态性能指标：动态性能指标：延延迟迟时时间间 t td d：指指响响应应从从0 0到到第第一一次次达达到到终终值值（稳稳态态值值）的的一一半半时时所所需需 要的时间；要的时间；上升时间上升时间 t tr r：指响应从指响应从0 0到第一次达到终值（稳态值）时所需要的时间；到第一次达到终值（稳态值）时所需要的时间；前页后页峰值时间峰值时间 t tp p ：指响应从指响应从0 0到达第一次峰值（稳态值）时

5、所需要的时间；到达第一次峰值（稳态值）时所需要的时间；调节时间调节时间ts：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值5%（=0.05）或或2%（）内所需要的最短时间。内所需要的最短时间。超调量超调量 M Mp p ：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。振荡次数振荡次数N N ：指指c(t)c(t)穿越穿越c()c()水平线的次数的一半。水平线的次数的一半。其中其中 M Mp p平稳性；平稳性；NN阻尼性。阻尼性。稳态性能指标：稳态性能指标：稳态误差稳态误差e essss ：指响应的稳态值与期望值之差。系统控制精度（准确

6、性）或抗扰指响应的稳态值与期望值之差。系统控制精度（准确性）或抗扰动能力的一种度量。动能力的一种度量。3 32 2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 1.1.一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型 T c(t)T c(t)c(t)=r(t)c(t)=r(t)或或G(S)=1/(TS+1)-G(S)=1/(TS+1)-惯性环节惯性环节 前页后页 c(tp)c(tp)c()c()M Mp p=100%=100%c()c()2.2.一阶系统的单位阶跃响应：一阶系统的单位阶跃响应：即：即：r(t)=1(t)r(t)=1(t)或或 R R（S S）=1/S =1/S 时的时的 c(t)c(t)。由于由

7、于 G(S)=1/(TS+1)G(S)=1/(TS+1)即有即有 C(S)=1/(TS+1)RC(S)=1/(TS+1)R（S S）=1/(TS+1)S=1/S=1/(TS+1)S=1/S 1/1/（S+1/TS+1/T）故故 c(t)=Lc(t)=L-1-1 C C（S S）=L=L-1-1 1/S 1/1/S 1/（S+1/TS+1/T）=1 =1e e t/Tt/T (t0)(t0)即即 c(t)c(t)是单调上升的。是单调上升的。且且 c(0)=c(t)c(0)=c(t)t=0t=0=0,=0,，c()=c(t)c()=c(t)t=t=1=1 t 0 T2T 3T 4T 5Tc(t)0

8、0.630.86 0.950.980.99 作图如右：作图如右：c(t)10tT2T3T4T5T一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应前页后页从图中可知从图中可知:当当时，时，ts=3T；时，时，ts=4T；由此可见由此可见ts是由是由T决定的。而决定的。而tp=0，Mp=0，N=0,td,tr均可求得。均可求得。结论结论：时间常数时间常数T决定系统的惯性：决定系统的惯性：T越小，即系统惯性越小，过渡过程越快；越小，即系统惯性越小，过渡过程越快；T越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。3一阶系统的：一阶系统的：单位脉冲响应单位脉冲响应单位斜坡响应单位斜坡

9、响应单位加速度响应单位加速度响应教材教材P81-83（分析方法同（分析方法同“单位阶跃响应单位阶跃响应”）33二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 d2uc（t）duc（t）T2+2T+uc（t）=ur(t）dt2dtn2或或(s)=s2+2ns+n2前页后页二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环极点由闭环特征式：由闭环特征式：D（S）=s2+2ns+n2 得：得：系统的闭环特征方程：系统的闭环特征方程：s2+2ns+n2=0 对应于对应于的不同取值，可以得到的不同取值，可以得到S1，S2在在S平面上不同的分布。平面上不同的分布。有：有：S1，2=nn21（S1，

10、S2二阶系统的闭环极点）二阶系统的闭环极点）二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应当当r(t)=1时时或或R(S)=1/S时，时，有：有：n21C(S)=(s)R(S)=s2+2ns+n2S故：故：c(t)=L-1n21s2+2ns+n2Sn n21(SS1)(SS2)S=L-1=L-1C1C2C3(SS1)(SS2)S=C C1 1e e s s1 1t tC C2 2 e e s s1 1t tC C3 3其中：n2C1=;(S1S2)S1n2C2=;(S2S1)S2C3=1前页后页而而S1，S2是是和和n的函数，显然的函数，显然c(t)只与只与，n有关，即有关，即，n决定着决定着c

11、(t)的形式。的形式。1时，（过阻尼）时，（过阻尼）S1，S2为一对不等的负实数根。为一对不等的负实数根。S1 S20j0jt=1时，（临界阻尼）时，（临界阻尼）S1，S2为一对相等的负实数根。为一对相等的负实数根。01时，（欠阻尼）时，（欠阻尼）S1，S2为一对具有负实部的共轭复根。为一对具有负实部的共轭复根。前页后页当当=0时，（无阻尼，零阻尼）时，（无阻尼，零阻尼）S1，S2为一对幅值相等的虚根。为一对幅值相等的虚根。当当0时，（负阻尼）时，（负阻尼）S1，S2为一对不等的负实数根。为一对不等的负实数根。小结小结：）二阶系统正常工作的基本条件是二阶系统正常工作的基本条件是 0 0；而而0

12、 0系统不稳定；系统不稳定；）当当 1 1时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；）当当0 01 1时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。前页后页（3）欠阻尼即）欠阻尼即01时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析设设r(t)=1，即即R（S）=1/S 则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：C(S)=(s)R(S)=n21s2+2ns+n2S1 S+2n-S（s+n）2+n2（1-2）=令：令：n=（衰减系数）衰减系数）n1

13、-2=d（阻尼振荡频率）阻尼振荡频率）则则S1,2=+jd,此时此时:C(S)=1 S+S（s+）2+d2 （s+）2+d2所以所以c(t)=1etcosdt(/d)etsindt=1(et/1-2)sin(dt+)其中其中cos=即即=arccos(称为阻尼角称为阻尼角)前页后页分析分析：1）e(t)=r(t)c(t)=(et/1-2)sin(dt+)为一振荡衰减过为一振荡衰减过 程程（指数衰减），振荡频率为（指数衰减），振荡频率为d。图示如下：图示如下：e(t)10tc(t)10t2）e(t)及及c(t)的衰减速度取决于的衰减速度取决于n的大小；的大小；3）t时，时，e()=0则则c()=

14、1；4）Mp0,N0即存在超调和振荡；即存在超调和振荡；5）=n（衰减系数）：衰减系数）：即即S1，S2的实部。亦即闭环极点到虚轴的实部。亦即闭环极点到虚轴的距离；的距离；d=n1-2（阻尼振荡频率）：即阻尼振荡频率）：即S1，S2的虚部。亦即闭环极的虚部。亦即闭环极点到实轴的距离；点到实轴的距离；n（自然振荡频率）：自然振荡频率）：闭环极点到原点的距离闭环极点到原点的距离;=cos（为阻尼角）：为阻尼角）：n与负实轴夹角的余弦与负实轴夹角的余弦;前页后页 6)性能指标分析性能指标分析上升时间上升时间tr：指响应从指响应从0到第一次达到终值（稳态值）时所需要的时间；到第一次达到终值（稳态值）时

15、所需要的时间；即：令即：令c(tr)=1或或(et/1-2)sin(dt+)=0即由：即由：sin(dt+)=0得得tr=（）/d 峰值时间峰值时间tp：指响应从指响应从0到达第一次峰值（稳态值）时到达第一次峰值（稳态值）时所所需要的时间；需要的时间；由求由求c(t)极值的方法，即由极值的方法，即由c(t)=0求得：求得：tp=/d=/（n1-2）、d、n、及及、的关系图示如右的关系图示如右:jdnS1S20前页后页调节时间调节时间ts：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值5%（=0.05）或）或2%（=0.02）内所需要的最短时间。）内所需要的最短时间

16、。具体求法参见教材具体求法参见教材P107。在工程上，一般采用下列公式进行估算：在工程上，一般采用下列公式进行估算：当时：当时：ts=（4.751.7）/n当当0时：时：ts=3/(n)(=0.05)或或ts=4/(n)(=0.02)延迟时间延迟时间td：指响应从指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需要的时间；要的时间；在工程上，一般采用下列公式进行估算：在工程上，一般采用下列公式进行估算：td=（0.71）/n前页后页超调量超调量Mp：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。即 Mp=c(tp)1 100%将

17、 tp=/d=/（n1-2）代入后简化得：/(1-2)Mp=e 100%根据定义，并因为根据定义，并因为c()=1，故有故有c(tp)c()Mp=100%c()前页后页(4)当当1时，系统有两个不相等的负实根，时，系统有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。称为过阻尼状态。两个不相等的负实根为单位阶跃响应当 时，当 时，系统的过渡过程时间可近似为系统的超调量 图3-15 过阻尼二阶系统单位阶跃响应(5)当阻尼比当阻尼比=1时，系统的特征根为两相时，系统的特征根为两相等的负实根，称为临界阻尼状态。等的负实根，称为临界阻尼状态。此时系统在单位阶跃函数作用下，系统的超调量Mp=0，调节时间(对应误差带

18、为5%)图3-18 临界阻尼系统阶跃响应(6).当阻尼比当阻尼比=0时，系统特征根为一对时，系统特征根为一对纯虚根，称为无阻尼状态。纯虚根，称为无阻尼状态。系统特征根 单位阶跃响应为 实际设计中，一般取实际设计中，一般取=0.40.8。其中以时为最佳阻尼。其中以时为最佳阻尼。3欠阻尼情况下，二阶系统的单位脉冲、斜坡及加速度响应的动欠阻尼情况下，二阶系统的单位脉冲、斜坡及加速度响应的动态性能分析态性能分析4例题分析例题分析例题例题1教材：教材：P101例题例题3-1、P102例题例题3-2；3-3例题例题2教材二、教材二、P108例题例题3-1、P109例题例题3-2；P132例题例题3-12。

19、前页后页6二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善1)改善的目的改善的目的：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的控制效果。：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的控制效果。2)改善的办法：（改善的办法：（P104107）引入零点。即在前向通路中串入一个引入零点。即在前向通路中串入一个PD控制环节；控制环节；采用测速反馈控制。采用测速反馈控制。3)PD控制与测速反馈控制两种方案比较控制与测速反馈控制两种方案比较（见下页（见下页附表附表）4)例题分析例题分析5)、教材：教材：P107例题例题3-4；6)、教材二：、教材二：P113例题例题3-3，P131-134例题例题3-9、11、13、14前页后页

20、性能指标性能指标 方方 案案 PD控制控制 测速反馈控制测速反馈控制 阻尼比阻尼比 增大增大 自然频率自然频率 不影响不影响 开环增益开环增益 不影响不影响 降低降低 稳态误差稳态误差 不影响不影响 影响影响 超调量超调量 影响程度不同（大）影响程度不同（大）（小）（小）性能性能都能改善，但改善程度不同都能改善，但改善程度不同 适用场合适用场合由由于于其其放放大大作作用用，在在输输入入端端 存在严重噪声时，不宜采用存在严重噪声时，不宜采用对噪声有滤波作用，使对噪声有滤波作用，使用广泛用广泛附表：附表：PD控制与测速反馈控制两种方案比较控制与测速反馈控制两种方案比较前页后页3 34 4 高阶系统

21、的时域分析高阶系统的时域分析 1 1、定义：能用三阶或三阶以上的微分方程描述的控制系统。、定义：能用三阶或三阶以上的微分方程描述的控制系统。2 2、分析方法：分析方法：1 1）定性分析；）定性分析；2 2）主导极点法；）主导极点法；3 3）计算机分析）计算机分析3 3 主导极点与偶极子问题主导极点与偶极子问题 主主导导极极点点：在在所所有有的的闭闭环环极极点点中中，那那些些离离虚虚轴轴最最近近、且且附附近近又又没没有有其其它它零零、极极点点，对对系系统统动动态态性性能能影影响响起起主主导导的的决决定定性性作作用用的闭环极点，称之为主导极点。的闭环极点，称之为主导极点。主主导导极极点点法法：利利

22、用用主主导导极极点点代代替替系系统统全全部部闭闭环环极极点点来来估估算算系统性能的方法，称为主导极点法。系统性能的方法，称为主导极点法。一般要求：一般要求：5*5*ReRe主导极点主导极点 Re Re 非主导极点或零点非主导极点或零点 。前页后页偶偶极极子子：当当一一对对闭闭环环零零、极极点点重重合合或或它它们们之之间间的的距距离离比比较较小小（它它们们之之间间的的距距离离比比其其本本身身的的模模值值小小一一个个数数量量级级以以上上）时时便便构构成成偶偶极子。极子。4、利用主导极点法系统性能指标、利用主导极点法系统性能指标利用主导极点法可以将高阶系统化成低阶（一阶或二阶系统来利用主导极点法可以

23、将高阶系统化成低阶（一阶或二阶系统来近似地对高阶系统进行等效分析。近似地对高阶系统进行等效分析。35线性系统的稳定性线性系统的稳定性1、稳稳定定的的定定义义：若若线线性性系系统统在在初初始始扰扰动动影影响响下下，其其动动态态过过程程能能够够逐逐渐渐衰衰减减并并趋趋于于零零，即即系系统统能能回回到到原原来来的的平平衡衡工工作作点点，则则称称系系统统渐渐近近稳定，简称稳定。否则为不稳定。稳定，简称稳定。否则为不稳定。2、系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件（P111中中）：系系统统的的所所有有闭闭环环特特征征根根都都具具有有负负实实部部；或或者者系系统统闭闭环环传传递递函函数数的的极极点点均均严严

24、格格位位于于左左半半S平平面面。（0）前页后页系统稳定的系统稳定的“充要条件充要条件”的的两点说明两点说明：1）若若有有部部分分闭闭环环极极点点位位于于虚虚轴轴上上，而而其其余余极极点点分分布布在在左左半半S平平面时，系统将处于临界稳定状态（面时，系统将处于临界稳定状态（=0）。）。2）若若有有一一个个或或一一个个以以上上的的闭闭环环极极点点位位于于右右半半S平平面面时时，则则系系统统将处于不稳定状态（将处于不稳定状态（0）。）。3、稳定性的判定、稳定性的判定1）三个稳定判据三个稳定判据劳斯（劳斯（Routh）判据判据;赫（胡）尔维茨（赫（胡）尔维茨（Hurwith）判据判据;林纳德林纳德-奇

25、帕特（奇帕特（Lienard-Chipard）判据判据a前提：稳定的充分必要条件（特征方程的根）；前提：稳定的充分必要条件（特征方程的根）；b依据：根与系数的关系；依据：根与系数的关系；c方法：列（劳斯）表计算。方法：列（劳斯）表计算。前页后页2)Routh判据判定方法：根据劳斯表中第一列元素的判据判定方法：根据劳斯表中第一列元素的符号来判定：符号来判定：若劳斯表中第一列元素的符号均严格为正，则系统稳定；若劳斯表中第一列元素的符号均严格为正，则系统稳定；若劳斯表中第一列元素的符号出现负号，则系统不稳定；若劳斯表中第一列元素的符号出现负号，则系统不稳定；3）劳斯表的列写劳斯表的列写首先，将首先，

26、将D（S）=a0sn+a1sn-1+an-1s+an=0的系数排的系数排成两行：成两行：sna0a2a4a6sn-1a1a3a5a7其次，分步计算（空位置零），列写劳斯表。见下页其次，分步计算（空位置零），列写劳斯表。见下页最后，根据劳斯表中第一列元素的符号来判定稳定性。最后，根据劳斯表中第一列元素的符号来判定稳定性。前页后页sn a0 a2 a4 sn-1 a1 a3 a5 sn-2b1=(a1 a2-a0 a3)/a1 b2=(a1 a4-a0 a5)/a1 b3=(a1 a6-a0 a7)/a1 sn-3c1=(b1 a3-a1 b2)/b1 c2=(b1 a5-a1 b3)/b1 c3

27、=(b1 a7-a1 b4)/b1 ：0S1 x1 x2 0 0S0 an 0 0 0劳斯表劳斯表 若若a a0 0、a a1 1、b b1 1、c c1 1、x xn n、a an n都严格为正，则系统稳定；都严格为正，则系统稳定；若若a a0 0、a a1 1、b b1 1、c c1 1、x xn n、a an n中出现负值，则系统不稳定；中出现负值，则系统不稳定；此时，元素号改变的次数，恰好是具有正实部的闭环特征根个数。此时，元素号改变的次数，恰好是具有正实部的闭环特征根个数。前页后页4）劳斯表特殊情况处理劳斯表特殊情况处理第一列元素出现第一列元素出现“0”项（下面一项为项（下面一项为）

28、：）：在原特征方程在原特征方程D（S）=0中乘以一个任意的（中乘以一个任意的（S+a）因子，因子，（a0），），然后对新的特征方程然后对新的特征方程D（S）（）（S+a）=0重新列重新列写劳斯表。写劳斯表。劳斯表中出现全劳斯表中出现全0行：行：以全以全0行上面那一行的系数建立一个辅助方程行上面那一行的系数建立一个辅助方程F（S）=0，并对其求导一次，再用并对其求导一次，再用F（S）=0的系数代替全的系数代替全0行各元素，行各元素，继续列劳斯表。继续列劳斯表。若系统存在正实部根，则可以由辅助方程若系统存在正实部根，则可以由辅助方程F（S）=0求出求出一部分，其余的正实部根可以由一部分，其余的正实

29、部根可以由D（S）/F（S）=0求得。求得。前页后页4应用举例应用举例例题例题1教材：教材：P113例例3-7、例例3-8、例例3-9,P114例例3-10例题例题2教材二：教材二：P121例题例题3-4；P123例题例题3-5；P124例题例题3-6P133-134例题例题3-153-16；例例题题2：已已知知系系统统结结构构图图如如下下，试试用用劳劳斯斯稳稳定定性性判判据据确确定定能能使使系系统统稳稳定的反馈参数定的反馈参数的取值范围的取值范围。解解：系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为R（S）1+1/S1/S（S+1）SSC（S）S+1（S）=S3+（1+）S2+S+1前页后页闭环

30、特征方程为：闭环特征方程为：S3+（1+）S2+S+1=0劳斯表为劳斯表为：根据表中第一列元素大于零的要求，可知根据表中第一列元素大于零的要求，可知0 S 3 1 1 S 2 1+1 S 1 /（1+）0 S 0 1 0例例题题3：单单位位反反馈馈系系统统的的开开环环传传递递函函数数如如下下，试试确确定定能能使使系系统统稳稳定的定的K的取值范围。的取值范围。KG（S）=S（0.1S+1 1）(0.25S+1)前页后页解：系统的闭环特征方程为：解：系统的闭环特征方程为：S（0.1S+1）(0.25S+1)+K=0即：即：0.025S3+0.35S2+S+K=0S30.0251S20.35KS1(

31、0.35-0.025K)/0.350S0K列写劳斯表如下：列写劳斯表如下：K0及及K0故有故有0K14前页后页例题例题4：某控制系统的特征方程为某控制系统的特征方程为:S3+（+1）S2+(+-1)S+-1=0式中式中、为待定参数为待定参数,试确定能使系统稳定的参数试确定能使系统稳定的参数、的取值范围的取值范围。解解：（提提示示：用用劳劳斯斯稳稳定定性性判判据据可可确确定定。参参数数、的的取取值值范范围围是是 0 0及及1 1）小结小结：系系统统的的稳稳定定性性只只与与本本身身结结构构参参数数有有关关，而而与与初初始始条条件件、外外作作用无关；用无关；系统的稳定性只取决于系统的闭环特征根（极点

32、），而与零系统的稳定性只取决于系统的闭环特征根（极点），而与零点无关。点无关。前页后页3.3.6 3.3.6 相对稳定性和稳定裕量相对稳定性和稳定裕量 相对稳定性即系统的特征根在s平面的左半平面且与虚轴有一定的距离，称之为稳定裕量。为了能应用上述的代数判据，通常将s平面的虚轴左移一个距离，得新的复平面s1，即令s1=s+或s=s1-得到以s1为变量的新特征方程式D(s1)=0，再利用代数判据判别新特征方程式的稳定性，若新特征方程式的所有根均在s1平面的左半平面，则说明原系统不但稳定，而且所有特征根均位于-的左侧，称为系统的稳定裕量 例 3-5 检验特征方程式 是否有根在s右半平面，以及有几个根

33、在s=-1垂线的右边。解 列劳斯表：由劳斯判据知，系统稳定，所有特征根均在s的左半平面。令s=s1-1代入D(s)得s1的特征方程式列劳斯表：劳斯表中第一列元素符号改变一次，表示系统有一个根在s1右半平面，也就是有一个根在s=-1垂线的右边(虚轴的左边)，系统的稳定裕量不到1。返回36误差分析与计算误差分析与计算1、误差的概念：在外作用下，系统的实际输出与期望输出之间的、误差的概念：在外作用下，系统的实际输出与期望输出之间的偏差。偏差。有两种描述方式，即误差有两种描述方式，即误差E（S）与稳态误差与稳态误差ess（1）误差误差E（S）G（S）H（S）R(S)E(S)C(S)B(S)系统的误差又

34、有两种定义方法，分述如下：系统的误差又有两种定义方法，分述如下：一种是，从输出端定义：一种是，从输出端定义：E（S）=希望值希望值-实际值实际值特点：不容易测量。故不便于理论分析。特点：不容易测量。故不便于理论分析。前页后页另一种，是从输入端定义：另一种，是从输入端定义：E（S）=R（S）B（S）这种的特点是：容易测量，但便于理论分析。（教材以第二种为主）这种的特点是：容易测量，但便于理论分析。（教材以第二种为主）（2）稳态误差）稳态误差ess只有稳定系统才讨论稳态误差只有稳定系统才讨论稳态误差ess，并可应用极限或终值定理求得。并可应用极限或终值定理求得。R(S)ess=lim SE(S)=

35、lim S 或ess=lim e(t)s0 s0 1+G(S)H(S)t2系统的类型及稳态误差的计算系统的类型及稳态误差的计算（1）系统的类型）系统的类型设某高阶系统具有开环传递函数设某高阶系统具有开环传递函数前页后页nK（is+1）i=1G（S）H（S）=n-SV（Tis+1）j=1其中：其中：KK开环增益开环增益 i i，TjTj时间常数时间常数 开环系统开环系统S S平面坐标原平面坐标原 点上的极点的重数。点上的极点的重数。并定义系统：并定义系统：当当=0时时-为为0型系统；型系统；当当=时时-为为型系统；型系统；当当=时时-为为型系统；型系统；当当=n时时-为为n型系统型系统.前页后页

36、（2）给定输入下稳态误差的计算）给定输入下稳态误差的计算阶跃信号输入下稳态误差阶跃信号输入下稳态误差essr与静态位置误差系数与静态位置误差系数KP的计算的计算设设r（t）=A1（t）即即R（S）=A/S则有则有:R(S)A A essr=lim SE(S)=lim S =s0 s0 1+G(S)H(S)1+lim G(S)H(S)1+KP s0其中其中KP=limG(S)H(S)-静态位置误差系数静态位置误差系数s0KP=K=0相应地，相应地，essr=A/（1+K）=0101前页后页R(S)BBessr=limSE(S)=limS=s0s01+G(S)H(S)limSG(S)H(S)KVs

37、0其中其中KV=limSG(S)H(S)-静态速度误差系数静态速度误差系数s0KV=0=0相应地，相应地，essr=0K=1B/K=1202斜坡信号输入下稳态误差斜坡信号输入下稳态误差essr与静态速度误差系数与静态速度误差系数Kv的计算的计算设设r（t）=Bt即即R（S）=B/S2则有则有:前页后页加速度信号输入下稳态误差加速度信号输入下稳态误差essr与静态加速度误差系数与静态加速度误差系数Ka 的计算的计算设设r（t）=Ct2/2即即R（S）=C/S3则有则有:R(S)C C essr=lim SE(S)=lim S =s0 s0 1+G(S)H(S)lim S2G(S)H(S)Ka s

38、0 其中其中Ka=limS2G(S)H(S)-静态加速度误差系数静态加速度误差系数s0Ka=0=0，1相应地，相应地，essr=0，1K=2C/K=2303前页后页小结小结：见：见P124附表附表3-5输入信号作用下的稳态误差输入信号作用下的稳态误差（3）多个给定输入下稳态误差的计算）多个给定输入下稳态误差的计算方方法法：利利用用线线性性系系统统的的可可叠叠加加性性，进进行行误误差差叠叠加加，即即各各个个给给定定信信号号单独作用时所产生的稳态误差之代数和。单独作用时所产生的稳态误差之代数和。(参见参见P129例题例题3-7)（4）扰动作用下稳态误差的计算扰动作用下稳态误差的计算 G1 HG2R

39、（S）E（S）B（S）N（S）C（S）前页后页G2（S）H（S）由于由于En（S）=N（S）1+G1（S）G2（S）H（S）G2（S）H（S）essr=limSEn(S)=limSN（S）s0s01+G1(S)G2(S)H(S)例题例题：教材教材P120，例题例题3-133系统精度的提高问题系统精度的提高问题减小或消除系统稳态误差的一些措施：减小或消除系统稳态误差的一些措施：（1）增大系统的开环增益增大系统的开环增益K或增大扰动作用点以前系统前向通道的增益；或增大扰动作用点以前系统前向通道的增益；（2）在系统前向通道或反向通道中引入积分环节；在系统前向通道或反向通道中引入积分环节；（3）采用复

40、合控制进行校正。（如教材采用复合控制进行校正。（如教材P258265内容及例题内容及例题6-11、12等）等）前页ENDEND例3-6 原控制系统如图3-23(a)所示，引入速度反馈后的控制系统如图3-23(b)所示，已知在图3-23(b)中，系统单位阶跃响应的超调量Mp%=16.4%，峰值时间tp=，试确定参数K和Kt，并计算系统在(a)和(b)的单位阶跃响应h(t)。图3-23 例3-15图解 对于系统(b)，其闭环传递函数为与典型二阶系统相比较，有 （3-55）而已知Mp=16.4%tps根据 求得 求得 将 代入(3-55)得 其单位阶跃响应为 对于系统(a)，其闭环传递函数为与典型二

41、阶系统比较有 系统的最大超调量 峰值时间其单位阶跃响应为 返回3.8 3.8 用用MATLABMATLAB和和SIMULINKSIMULINK进行瞬态响应分析进行瞬态响应分析 3.8.1 单位脉冲响应 当输入信号为单位脉冲函数(t)时，系统输出为单位脉冲响应，MATLAB中求取脉冲响应的函数为impulse()，其调用格式为 y，x，t=impulse(num，den，t)或 impulse(num，den)式中G(s)=num/den；t为仿真时间；y为时间t的输出响应；x为时间t的状态响应。例3-7 试求下列系统的单位脉冲响应MATLAB命令为：t=0：0.1：40；num=1；den=1

42、，0.3，1；impulse(num，den，t)；grid；title(Unit-impulse Response of G(s)=1/(s2+0.3s+1)其响应结果如图所示。例3-8 系统传递函数为求取其单位脉冲响应的MATLAB命令为t=0：0.1：10；num=1；den=1，1，1；y，x，t=impulse(num，den，t)plot(t，y)；grid xlabel(t)；ylable(y)；其响应结果如图所示。3.8.2 单位阶跃响应单位阶跃响应 当输入为单位阶跃信号时，系统的输出为单位阶跃响应，在MATLAB中可用step()函数实现，其调用格式为y，x，t=step(n

43、um，den，t)或step(num，den)例3-9 求系统传递函数为num=1；den=1，1；t=0：10；y，x，t=step(num，den，t)；plot(t，y)；grid；xlabel(Time sec t)；ylabel(y)响应曲线如图3-26所示 图3-26 单位阶跃响应3.8.3 3.8.3 斜坡响应斜坡响应 在MATLABA中没有斜坡响应命令，因此，需要利用阶跃响应命令来求斜坡响应。根据单位斜坡响应输入是单位阶跃输入的积分。当求传递函数为的斜坡响应时，可先用除得，再利用阶跃响应命令即可求得斜坡响应。例3-10 已知闭环系统传递函数 对单位斜坡输入 则 系统单位斜坡响应

44、的MATLAB命令：num=1；den=1，0.3，1，0；t=0：0.1：10；c=step(num，den，t)；plot(t，c)；grid；xlabel(t sec)；ylabel(Input and Output)其响应结果如图所示。3.8.4 3.8.4 任意函数作用下系统的响应任意函数作用下系统的响应 用线性仿真函数lsim来实现，其调用格式为 y，x=lsim(num，den，u，t)式中 ；y(t)为系统输出响应；x(t)为系统状态响应；u为系统输入信号；t为 仿真时间。例3-11 反馈系统如图3-28(a)所示，系统输入信号为图3-28(b)所示的三角波，求取系统输出响应。

45、图3-28反馈系统及输入信号（a）（b）MATLAB实现指令numg=10，20；deng=1，10，0；num，den=cloop(numg，deng，-1)；v1=0：2；：-2；：0；t=0：8；u=v1，v2，v3；y，x=lsim(num，den，u，t)；plot(t，y，t，u)；xlabel(Time sec)；ylabel(theta rad)；grid其响应曲线如图3-29所示。图3-29 系统响应曲线3.8.5 Simulink3.8.5 Simulink中的时域响应举例中的时域响应举例 例3-12图3-30的Simulink的仿真框图可演示系统对典型信号的时间响应曲线，

46、图中给出阶跃响应曲线。返回例 3-12 系统特征方程为各项系数均大于零。列劳斯表：劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统不稳定。第一列元素符号改变两次，因此系统有两个右半平面的根。例 3-23系统特征方程 列劳斯表 劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统没有右半平面的根，但由P(s)=0求得 即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，从工程角度来看，临界稳定属于不稳定系统。例 3-13 系统结构图如图3-3所示，试分析参数K1，K2，K3和T对系统稳定性的影响。解 系统的闭环传递函数特征方程为 由于特征方程缺项，由劳斯判据知，不论K1，K2，K3和T取何值系统总是不稳定的，称为结构不稳定系统。欲

47、使系统稳定，必须改变系统的结构。如在原系统的前向通道中引入一比例微分环节，如图3-4所示。变结构后系统的闭环传递函数为特征方程为 列劳斯阵列：系统稳定的充分必要条件为 即对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适当选配参数就可使系统稳定。例3-14 系统结构如图3-9所示，求当输入信号r(t)=2t+t2时，系统的稳态误差ess。首先判别系统的稳定性。由开环传递函数知，闭环特征方程为根据劳斯判据知闭环系统稳定。第二步，求稳态误差ess，因为系统为型系统，根据线性系统的奇次性和叠加性，有 故系统的稳态误差ess=ess1+ess2=0.1。2-2（1）2-6 2-7 2-10（b）2-13（a）