线性代数课件-10线性方程组续.ppt
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1、主要内容主要内容第十讲 线性方程组(续)v齐次线性方程组的基础解系的概念,基础齐次线性方程组的基础解系的概念,基础 解系的求法;解系的求法;v齐次线性方程组的解的结构,即齐次线性齐次线性方程组的解的结构,即齐次线性 方程组的通解表达式;方程组的通解表达式;v齐次线性方程组的解空间的维数与系数矩齐次线性方程组的解空间的维数与系数矩 阵的秩的关系;阵的秩的关系;v非齐次线性方程组的通解表达式非齐次线性方程组的通解表达式.基本要求基本要求v理解齐次线性方程组的基础解系的概念及系理解齐次线性方程组的基础解系的概念及系 数矩阵的秩与全体解向量的秩之间的关系,数矩阵的秩与全体解向量的秩之间的关系,熟悉基础
2、解系的求法;理解非齐次线性方程熟悉基础解系的求法;理解非齐次线性方程 组的通解的构造组的通解的构造.1一、复习一、复习第第四四节节 线线性性方方程程组组的的解解的的结结构构1.系数矩阵是方阵的线性方程组系数矩阵是方阵的线性方程组设设 为方阵,若为方阵,若 ,则线性方程组,则线性方程组 有惟一解有惟一解.2.系数矩阵是一般矩阵的线性方程组系数矩阵是一般矩阵的线性方程组(克莱默法则)(克莱默法则)个未知数的齐次线性方程组个未知数的齐次线性方程组 有非零有非零解的充要条件是系数矩阵的秩解的充要条件是系数矩阵的秩 .个未知数的非齐次线性方程组个未知数的非齐次线性方程组 有解有解的充要条件是系数矩阵的充
3、要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩等于增广矩阵的秩;且当的秩;且当 时方程组有惟一解,时方程组有惟一解,当当 时方程组有无限多个解时方程组有无限多个解.2二、齐次线性方程组的解的构造二、齐次线性方程组的解的构造1.齐次线性方程组的解的性质齐次线性方程组的解的性质性质性质1 若若 为为 的解,的解,则则 也是也是 的解的解.证证因为因为 为为 的解,所以的解,所以因而因而即即 满足方程满足方程 .3性质性质2 若若 为为 的解,的解,为实数,为实数,则则也是也是 的解的解.证证因而因而因为因为 为为 的解,所以的解,所以即即 满足方程满足方程 .42.齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解
4、空间 设齐次线性方程组设齐次线性方程组 的所有解组成的集的所有解组成的集合为合为 ,显然显然 非空,非空,根据性质根据性质1知,知,对于加法封闭,对于加法封闭,根据性质根据性质2知,知,对于数乘封闭,对于数乘封闭,所以所以 是一个向量空间,称为的是一个向量空间,称为的解空间解空间.53.基础解系基础解系定义定义 齐次线性方程组的解空间的基称为该齐齐次线性方程组的解空间的基称为该齐次线性方程组的次线性方程组的基础解系基础解系.换句话说,换句话说,齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系次线性方程组的基础解系.64.齐次线性方程组的解的
5、构造齐次线性方程组的解的构造 根据最大无关组的定义或基的定义知,由齐次根据最大无关组的定义或基的定义知,由齐次线性方程组的基础解系,就可以构造齐次线性方线性方程组的基础解系,就可以构造齐次线性方程组的通解表示式:程组的通解表示式:设齐次线性方程组设齐次线性方程组 的基础解系为的基础解系为则方程组则方程组 的通解为的通解为7三、基础解系的求法三、基础解系的求法 设个未知数的方程组设个未知数的方程组 的系数矩阵的系数矩阵 的秩的秩 ,并不妨设,并不妨设 的前的前 个列向量线性无关,个列向量线性无关,则则 的行最简形矩阵的行最简形矩阵 为为如果非零如果非零首元不在首元不在 前,有前,有类似结论,类似
6、结论,只是非自只是非自由未知数由未知数不同不同8方法一(先求同解再求基础解系):方法一(先求同解再求基础解系):选取选取 作为自由未知数,并令它作为自由未知数,并令它们依次等于们依次等于 ,得,得9即即10写成向量形式为写成向量形式为记作记作11可知解集可知解集 中的任一向量中的任一向量 能由能由 线线又显然可见又显然可见 线性无关,所以线性无关,所以性表示,性表示,是解集的最大无关组,即是解集的最大无关组,即是方程组是方程组 的基础解系的基础解系.方法二(先求基础解系再求通解):方法二(先求基础解系再求通解):选取选取 作为自由未知数,作为自由未知数,令它们分别取下列令它们分别取下列 组数:
7、组数:12依次代入方程组依次代入方程组可以取其可以取其它情形的它情形的数组,只数组,只要所取的要所取的 个数个数组线性无组线性无关即可关即可13于是所求基础解系为:于是所求基础解系为:14四、解空间的维数与系数矩阵的秩的关系四、解空间的维数与系数矩阵的秩的关系 根据上述求基础解系的过程可得,齐次线性方根据上述求基础解系的过程可得,齐次线性方程组的解集的秩与系数矩阵的关系是:程组的解集的秩与系数矩阵的关系是:定理定理7 设设 矩阵矩阵 的秩的秩 ,则,则 元齐次元齐次线性方程组线性方程组 的解集的秩的解集的秩注意:注意:当当 时,则时,则 的解集的秩的解集的秩 ,即方程组只有零解,此时方程组没有
8、基础解系即方程组只有零解,此时方程组没有基础解系.当当 时,则时,则 的基础解系含有的基础解系含有 个向量个向量.15例例1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.解解 析:此例是最基本的求基础解系与求解齐次析:此例是最基本的求基础解系与求解齐次方程的训练题方程的训练题.与前面解决同一问题的方法相比与前面解决同一问题的方法相比较,现在求解此问题时,大致有三个方面的提高:较,现在求解此问题时,大致有三个方面的提高:解题思想更具有理论意义;解题思想更具有理论意义;解题手法更加灵活;解题手法更加灵活;并赋予它的解集以鲜明的集合意义并赋予它的解集以鲜明的集合意义.16对系数
9、矩阵作初等行变换,变为行最简形,对系数矩阵作初等行变换,变为行最简形,于是可得于是可得17选取选取 为自由未知数,令为自由未知数,令及及代入所得同解方程组,对应有代入所得同解方程组,对应有及及所以,所求基础解系为所以,所求基础解系为方程组的通解为方程组的通解为18说明说明v上述的解题过程是一个上述的解题过程是一个“标准程序标准程序”,其中把系,其中把系 数矩阵化为行最简形也是采用数矩阵化为行最简形也是采用“标准程序标准程序”(第(第 一行第一列的元素是非零首元)一行第一列的元素是非零首元).v自由未知数取不同的数组,可以得到不同的基自由未知数取不同的数组,可以得到不同的基 础解系;若础解系;若
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- 线性代数 课件 10 线性方程组
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