自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动.ppt

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1、11-4单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动 在振动过程中有动力荷载作用的振动称为强迫振动。分析强迫振动的目的在振动过程中有动力荷载作用的振动称为强迫振动。分析强迫振动的目的是求结构最大的动位移和动内力。是求结构最大的动位移和动内力。的建立和求解的建立和求解运动方程运动方程 为为或或 运动方程式是非齐次二阶常微分方程，其运动方程式是非齐次二阶常微分方程，其通解包括两部分，一部分为相应齐次方程通解包括两部分，一部分为相应齐次方程的通解，即：的通解，即：一般解一般解特解特解 ，设为，设为 代入方程，则得代入方程，则得 即即 要要使使上上式式在在t为为任任意意

2、值值时时均均能能成成立立，则则必必须须是是等等式式两两边边括括号号中中的的系系数数分分别别等等于于零零，即即由此可解出由此可解出 通解为通解为 式中式中C1、C2取决于初始条件。设当取决于初始条件。设当 时，时，代入上式，可，代入上式，可求得求得 通解为通解为 由此式可知，振动由三部分组成：第一部分是由初始条件决定的自由振动；第二由此式可知，振动由三部分组成：第一部分是由初始条件决定的自由振动；第二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其频率与体系的自振部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其频率与体系的自振频率频率 一致，称为伴生自由振动。由于这两部分振动都含有因

3、子一致，称为伴生自由振动。由于这两部分振动都含有因子 ，故它们将，故它们将很快衰减而消失，最后只剩下按干扰力频率很快衰减而消失，最后只剩下按干扰力频率 而振动的第三部分，称为纯强迫而振动的第三部分，称为纯强迫振动或稳态强迫振动。我们把振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段称振动或稳态强迫振动。我们把振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段称为过渡阶段，而把后面只剩下纯强迫振动的阶段称为平稳阶段。通常过渡阶段比为过渡阶段，而把后面只剩下纯强迫振动的阶段称为平稳阶段。通常过渡阶段比较短，因而对实际问题一般只讨论纯强迫振动较短，因而对实际问题一般只讨论纯强迫振动 稳态强迫振动稳态强迫振动下面分

4、别就考虑和不考虑阻尼两种情况来讨论。下面分别就考虑和不考虑阻尼两种情况来讨论。二二不考虑阻尼的纯强迫振动不考虑阻尼的纯强迫振动 1.运动方程运动方程 及及方程的解方程的解令令 ，质点，质点m的运动方程为的运动方程为 由式由式(11-28)的第三项可知纯强迫振动质点的位移为的第三项可知纯强迫振动质点的位移为 质点的最大动位移质点的最大动位移(即振幅即振幅)为为 由于由于 ，故，故 ，代入上式得，代入上式得 式中式中 代表将简谐荷载的幅值代表将简谐荷载的幅值P作为静力荷载作用于结构上时所作为静力荷载作用于结构上时所引起质点的静力位移；而引起质点的静力位移；而 为质点的振幅与静力位移之比值，称为位移

5、动力系数。为质点的振幅与静力位移之比值，称为位移动力系数。若干扰力若干扰力 ，则类似地可得纯强迫振动质点的位移为，则类似地可得纯强迫振动质点的位移为 由上可知，根据由上可知，根据 与与 的比值求得动力系数的比值求得动力系数 后，只要将简谐荷载的幅后，只要将简谐荷载的幅值值P当作静力荷载而求出质点的位移，然后再乘以当作静力荷载而求出质点的位移，然后再乘以 ，即可求得质点的振，即可求得质点的振幅幅A。由由上上式式可可知知，值值与与 值值越越接接近近，|越越大大。为为了了减减小小质质点点的的振振幅幅，应应使使 值值尽尽量量远远离离 值值。当当 时时，应应设设法法增增大大结结构构的的自自振振频频率率

6、(增增大大结结构构刚刚度度或或减减小小质质量量)；当当 时时，应应设设法法减减小小结结构构的的自自振振频频率率 (减减小小结结构构刚刚度度或或增大质量增大质量)。值得指出，对于干扰力作用在质点上的单自由度体系，它所承受的干扰值得指出，对于干扰力作用在质点上的单自由度体系，它所承受的干扰力和惯性力的作用线重合，可以合并为一个外力，所以各截面的内力和力和惯性力的作用线重合，可以合并为一个外力，所以各截面的内力和位移均与质点的位移成正比，位移均与质点的位移成正比，不仅是质点位移的动力系数，同时也是不仅是质点位移的动力系数，同时也是各截面内力和位移的动力系数。各截面内力和位移的动力系数。可以看出，当可

7、以看出，当 时，时，为正值。又从右式可为正值。又从右式可知，此时知，此时y(t)与与P(t)的方向恒相同的方向恒相同(称为同相位称为同相位)，质点运动到最下质点运动到最下(或上或上)端与干扰力向下端与干扰力向下(或上或上)达达到最大值是同时发生的。而当到最大值是同时发生的。而当 时，时，则为则为负值，根据右式有负值，根据右式有 与干扰力与干扰力P(t)=Psin 比较可以看出，强迫振动的相位比较可以看出，强迫振动的相位()与干扰力的相与干扰力的相 位位 正好相差正好相差 。即。即y(t)与与P(t)的方向恒相反，当干扰力向下的方向恒相反，当干扰力向下(或上或上)达到最达到最大值时则质点正好运动

8、到最上大值时则质点正好运动到最上(或下或下)端。端。由于振动时质点是上下往返运动，值的正负对动力反应的计算无实际意义，由于振动时质点是上下往返运动，值的正负对动力反应的计算无实际意义，需要的是它的需要的是它的绝对值绝对值。3.讨论讨论 与与 的变化曲线的变化曲线(1)时,.当当 时时 ,这表明当简谐荷载这表明当简谐荷载的周期的周期T=为结构自振周期的五倍以上时，为结构自振周期的五倍以上时，可将其视为静力荷载。可将其视为静力荷载。(2)0 1时，时，值随值随 的增大而增大，动的增大而增大，动 力系数力系数 1。(3)=1时，时，=。这表明当干扰力的频率。这表明当干扰力的频率与自振频率相等时，动位

9、移和动内力都将无限与自振频率相等时，动位移和动内力都将无限增大，这种现象称为增大，这种现象称为共振共振。虽然实际上由于阻。虽然实际上由于阻尼的存在，共振时不会出现动力反应无限大的尼的存在，共振时不会出现动力反应无限大的情况，但共振时结构各种反应都比相应的静力情况，但共振时结构各种反应都比相应的静力反应大很多倍，在设计中应尽量避免共振。反应大很多倍，在设计中应尽量避免共振。(4)(4)1时，时，|值随值随 的增大而减小。当的增大而减小。当 时，时，|，即干扰力的频率很大时，质点只在静平衡位置附近作极微，即干扰力的频率很大时，质点只在静平衡位置附近作极微小的振动。小的振动。三三.考虑阻尼的纯强迫振

10、动考虑阻尼的纯强迫振动 回顾式回顾式取第三项，并令取第三项，并令 则有则有 式中式中A为有阻尼的纯强迫振动的振幅；为有阻尼的纯强迫振动的振幅；是位移与荷载之间的相位差，表明是位移与荷载之间的相位差，表明质点位移质点位移y(t)与荷载与荷载 不同步，它们之间相差一个角不同步，它们之间相差一个角 ，当干扰力为，当干扰力为最大时，质点的位移并不是最大值。不同步的原因是阻尼力，它不与位移成最大时，质点的位移并不是最大值。不同步的原因是阻尼力，它不与位移成比例。由式比例。由式(g)得得 振幅振幅相位差相位差以以 代入上式，则振幅代入上式，则振幅A可写为可写为 振幅振幅动力系数动力系数 可见动力系数不仅与

11、可见动力系数不仅与 和和 比值有比值有关，而且与阻尼比关，而且与阻尼比 有关。对于不有关。对于不同的同的 值，可绘出相应的值，可绘出相应的 与与 之之间的关系曲线，如图所示。从该图间的关系曲线，如图所示。从该图可以看出，阻尼比对动力系数的影可以看出，阻尼比对动力系数的影响，与频率比值有关。工程中一般响，与频率比值有关。工程中一般将将 的区域称为共振区的区域称为共振区，在共在共振区内，阻尼比对动力系数的影响振区内，阻尼比对动力系数的影响明显，阻尼力大大减小了强迫振动明显，阻尼力大大减小了强迫振动的位移，应考虑阻尼的影响。但在的位移，应考虑阻尼的影响。但在共振区外，共振区外，对对 的影响很小，可按

12、的影响很小，可按无阻尼计算。无阻尼计算。当当 =1 时的动力系数时的动力系数 为为但但 的最大值并不发生在的最大值并不发生在 =1处。利用式处。利用式(11-36)，由，由 可可知，知，发生在发生在 =处处,即即 但通常但通常 值很小，故计算时可近似地将值很小，故计算时可近似地将 =1时的时的 值作为最大值。值作为最大值。下面由相位差下面由相位差 的变化来分析振动时诸力的平衡关系。由下式的变化来分析振动时诸力的平衡关系。由下式可知：可知：(1)(1)当当 时时，由由式式(11-32)(11-32)可可知知，位位移移y(t)y(t)与与P(t)P(t)同同步步。此此时时体体系系振振动动很很慢慢，

13、惯惯性性力力和和阻阻尼尼力力都都很很小小，故故动动荷荷载载主主要要由由弹弹性性力力与之平衡。与之平衡。(2)(2)当当 时时，。此此时时体体系系振振动动很很快快，惯惯性性力力很很大大，弹弹性性力力和阻尼力相对比较小，动荷载主要与惯性力平衡。和阻尼力相对比较小，动荷载主要与惯性力平衡。(3)(3)当当 时，时，。说明位移落后于荷载。说明位移落后于荷载P(t)P(t)约约9090，即荷，即荷载为最大时，位移和加速度都接近于零，因而弹性力和惯性力都接载为最大时，位移和加速度都接近于零，因而弹性力和惯性力都接近于零，动荷载主要由阻尼力平衡。而在无阻尼振动中没有阻尼力近于零，动荷载主要由阻尼力平衡。而在

14、无阻尼振动中没有阻尼力去平衡动荷载，故出现位移无限增大情况。可见阻尼对共振时的动去平衡动荷载，故出现位移无限增大情况。可见阻尼对共振时的动力反应有重要作用。力反应有重要作用。例例11-7 图图11-27所示简支梁的中所示简支梁的中点装有一台电动机，已知电动机点装有一台电动机，已知电动机的重量的重量W=20kN,转动时偏心质量转动时偏心质量产生的离心力产生的离心力P=10kN，梁的弹性，梁的弹性模量模量E104N/mm2，惯性矩，惯性矩105cm4，忽略梁的质量和阻尼，忽略梁的质量和阻尼，试求当电动机每分钟的转数为试求当电动机每分钟的转数为n=600r/min时，梁的最大挠度和时，梁的最大挠度和

15、弯矩。弯矩。解：解：(1)计算梁的自振频率计算梁的自振频率 质点质量质点质量 柔度系数柔度系数 自振频率自振频率(2)计算简谐荷载的频率计算简谐荷载的频率(3)计算动力系计算动力系数数(4)计算最大挠度和最大弯矩计算最大挠度和最大弯矩 梁中点的最大挠度等于自重引起的静位移与动力位移幅值之和，即梁中点的最大挠度等于自重引起的静位移与动力位移幅值之和，即 梁中点的最大弯矩等于自重引起的静弯矩与动力弯矩幅值之和，即梁中点的最大弯矩等于自重引起的静弯矩与动力弯矩幅值之和，即 kNm 以上的分析是干扰力以上的分析是干扰力P(t)直接作用在质点直接作用在质点m上的情形。在实际问上的情形。在实际问题中，干扰

16、力题中，干扰力P(t)也可能不作用在质点上。例如图也可能不作用在质点上。例如图11-28a所示简所示简支梁，质点支梁，质点m在点在点1处，而干扰力处，而干扰力P(t)则作用在点则作用在点2处，现用柔度处，现用柔度法建立体系的运动方程。法建立体系的运动方程。若不考虑阻尼，质点若不考虑阻尼，质点m在振动的任一时刻在振动的任一时刻t的位移的位移y(t)是惯性力是惯性力I(t)和干扰力和干扰力P(t)共同作用的结果共同作用的结果(图图11-28d)，即，即 将以上两式比较可知，对于这种情况，本节前面导出的各个计算公式都是适用的，将以上两式比较可知，对于这种情况，本节前面导出的各个计算公式都是适用的，但

17、须将公式中的但须将公式中的P(t)用用 来代替。由式来代替。由式(11-29)和和(11-30)知方程式知方程式(11-38)纯强迫振动的解为纯强迫振动的解为 其中振幅A为例例11-8 图图11-29a所示简支梁跨中有一质点所示简支梁跨中有一质点m，梁右端作用一个动力偶，梁右端作用一个动力偶 P(t)=Msint，且荷载频率与体系自振频率之比，且荷载频率与体系自振频率之比 ，不考虑梁的质量，不考虑梁的质量 和阻尼，试求质点动位移和支座截面和阻尼，试求质点动位移和支座截面B动转角的幅值动转角的幅值.解：解：设惯性力和动力荷载分别取单位力和单位力偶作用在体系上，绘出相应设惯性力和动力荷载分别取单位

18、力和单位力偶作用在体系上，绘出相应的弯矩图分别如图的弯矩图分别如图11-29b、c所示。用图乘法可求得柔度系数所示。用图乘法可求得柔度系数 质点动位移的幅值质点动位移的幅值 支支座座截截面面B动动转转角角的的幅幅值值是是由由惯惯性性力力幅幅值值和和动动力力荷荷载载幅幅值值共共同同作作用用下产生的。由式下产生的。由式(11-39)得质点的惯性力为得质点的惯性力为因此，动力荷载、质点动位移和惯性力都按因此，动力荷载、质点动位移和惯性力都按 规律变化，三规律变化，三者同时达到各自的最大值。这时，截面者同时达到各自的最大值。这时，截面B的动转角也达到最大值。的动转角也达到最大值。将惯性力幅值将惯性力幅

19、值 和动力荷载幅值和动力荷载幅值M同时作用在体系上同时作用在体系上(图图11-29d)，根据叠加原理得截面，根据叠加原理得截面B动转角的幅值动转角的幅值 讨论：讨论：质质点点振振幅幅A=1.5625 =。其其中中 为为动动力力荷荷载载幅幅值值M所所引引起的质点静位移起的质点静位移 ，=1.5625为质点振幅的动力系数。为质点振幅的动力系数。截面截面B动转角幅值动转角幅值 。其中。其中 为动力荷载幅值为动力荷载幅值M所引起的截面所引起的截面B的静转角，的静转角，为截面为截面B动转角幅值的动力系数。动转角幅值的动力系数。上述计算表明，上述计算表明，,即简谐荷载不作用在质点上时，结构各截即简谐荷载不作用在质点上时，结构各截面的位移没有一个统一的动力系数。面的位移没有一个统一的动力系数。