点和直线-画法几何基础.ppt

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1、第1章 点和直线 1.1 1.1 点的投影点的投影 1.2 1.2 两点的相对位置两点的相对位置 1.3 1.3 直线的投影直线的投影 1.4 1.4 线段的实长和对投影面的倾角线段的实长和对投影面的倾角 1.5 1.5 点、直线与直线的相对位置点、直线与直线的相对位置 本章小结本章小结投影法及其分类投影法及其分类 投影法及其分类投影法及其分类一、投影法的基本知识一、投影法的基本知识P投射线投射线投射中心投射中心 投影投影 A S a 投影法的分类投影法的分类：中心中心投影法和投影法和平行平行投影法投影法中心投影法二、中心投影法二、中心投影法 投射线都由一点出发的投影法叫投射线都由一点出发的投

2、影法叫中心投影法，所得的投影叫中心投影。中心投影法，所得的投影叫中心投影。投射线投射线物体物体 投影面投影面投影投影投射中心投射中心 S中心投影法 投投射中心、物体、射中心、物体、投影面三者之间的相对投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影距离对投影的大小有影响。响。度量性度量性较差。差。投投 影影 特特 性性 物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变。小也改变。中心投影法立体感强，常用来绘制建筑物中心投影法立体感强，常用来绘制建筑物或产品的立体图，也称之为或产品的立体图，也称之为透视图透视图。平行投影法三、平行投影法三、平行投影法 投射线都互相平行的投影法叫平行投射线都互相平行的投影

3、法叫平行投影法，所得的投影叫平行投影。投影法，所得的投影叫平行投影。平行投影法：平行投影法：正投影法正投影法斜投影法斜投影法平行投影法投投 影影 特特 性性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。以后将工程图样多数采用正投影法绘制。以后将“正投影正投影”简称为简称为“投影投影”。投影法小结投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法画透视图画透视图 画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图1.1 点的投影 P P b A A P P 采用多面投

4、影采用多面投影 过空间点过空间点A向投影面向投影面P作垂线，交点作垂线，交点a 唯一确定。唯一确定。B B3 3 B B2 2 B B1 1 点在一个投影面上的投点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。影不能确定点的空间位置。一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a 1.1 1.1 点的投影点的投影 反之，已知投影反之，已知投影b，不能确定空间点不能确定空间点B。四个分角四个分角两个互相垂直的平面将空间划分为两个互相垂直的平面将空间划分为四个分角四个分角：第一分角、第二分角、第三分角和第四分角第一分角、第二分角、第三分角和第四分角。XVHO正（立）投影面正（立）投影面水平投影

5、面水平投影面点的三面投影H H W W V V 二、点的三面投影二、点的三面投影 投影面投影面 正立投影面（简称正面正立投影面（简称正面或或V V面）面）水平投影面（简称水平水平投影面（简称水平面或面或H H面）面）侧立投影面（简称侧面侧立投影面（简称侧面或或W W面）面）投影轴投影轴 O OX X Z Z OXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y Y 点的三面投影H H W W V V O OX X Z Z Y Y 空间点空间点A A在三个投影面

6、上的投影在三个投影面上的投影a 点点A A的正面投影的正面投影 a 点点A A的水平投影的水平投影 a 点点A A的侧面投影的侧面投影 a a a A A 注意注意空间点用大写字母表示，空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。点的投影用小写字母表示。点的三面投影 X X Y Y Z Z O O V V H H W W A A a a a xa a za y组成组成了一个长方体了一个长方体aay=a az=x=A Aa（A A到到W W面的距离面的距离）a ax=a ay=z =A Aa （A A到到H H面的距离面的距离）=y =A Aa （A A到到V V面的距离面的距离）aax=a

7、az投影面的展开 X Y Y Z Z O O V V H H W W A A a a a xa a za y不动不动向下翻向下翻向右翻向右翻投影面展开投影面展开 W W V V H H aYW aYHaz a Y YW Z Z X Y Y HO O a ax a 投影面的展开点的投影规律点的投影规律 a a OZ轴轴 a aOX 轴轴 YwZ az a X aYwO O a ax aYH a X Y Y Z Z O O V V H H W W A A a a a xa a za yaay=a az=x =A Aa（A A到到W W面的距离面的距离）a ax=a ay=z =A Aa（A A到到

8、H H面的距离面的距离）=y =A Aa （A A到到V V面的距离面的距离）aax=a azYH投影面和投影轴上点的投影投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。原点上的点原点上的点 （0 0、0 0、0 0）投影轴上点：空间点的坐标值有两个为零。投影轴上点：空间点的坐标值有两个为零。X X 轴上点轴上点 （X X、0 0、0 0）Y Y 轴上点轴上点 （0 0、Y Y、0 0）Z Z 轴上点轴上点 （0 0、0 0、Z Z）一般位置点一般位置点 空间点的三个坐标值空间点的三个坐标值X X、Y Y、Z Z均不为均不为零，称该点为零，称该点为一般位置点一般

9、位置点。特殊位置点特殊位置点投影面和投影轴上点的投影 X X Z Z O O V V H H M Mm k n nNn m m k Kk Y YW W Z Z X X Y YH H O O k k k n n n m m m 投影面和投影轴上点的投影投影面和投影轴上点的投影W W Y Y例例1 1：已知：已知A点的坐标点的坐标(20,15,10),(20,15,10),B点的坐标点的坐标 (30,10,0)(30,10,0)，C点的坐标点的坐标(15,0,0),(15,0,0),作出各作出各 点的三面投影图。点的三面投影图。B B点在点在H H面上，面上，C C点在点在X X轴上轴上 a a

10、a YH Z X Y W20 10 15 b b b c cc 例例2 2：已知点的两个投影，求第三投影。：已知点的两个投影，求第三投影。通过作通过作4545辅助辅助线使线使a a a az z=aa=aax x a b b b a a Y YH H Z Z X X Y Y WO O H H W W V V O OX X Z Z Y Y 两点的相对位置指两点在空间的两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。1.2 1.2 两点的相对位置两点的相对位置上上右右下下左左上上下下后后前前左左前前右右后后一、两点的相对位置的确定一、两点的相对位置的确定Z Z X

11、X Y YH HO O Y YW W上上下下后后前前后后前前左左右右判断方法判断方法 x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上B B点在点在A A点之前、点之前、之右、之下。之右、之下。Z Zb a a a b b X XY YW Wo oY YH H例如图，已知点例如图，已知点A A的三投影，另一点的三投影，另一点B B在点在点A A上方上方8mm8mm，左方，左方12mm12mm，前方，前方10mm10mm处，求点处，求点B B的三个投影。的三个投影。a a a YH Z X Y WO b b b 作图步骤：作图步骤：1)1)在在a 上方上方

12、8mm,8mm,左方左方12mm12mm处确定处确定b ；2)2)作作b bOX,且在且在a 前方前方10mm10mm处确定处确定b；3)3)按投影关系求得按投影关系求得b 点点A A、B B对对H H面的投影重合，面的投影重合，二、重影点的投影二、重影点的投影X X V V H H B a b a d A c(b)c (d )D C点点C C、D D对对V V面的投影重合。面的投影重合。a(b)b a c d c (d )重影点重影点 空间两点在某一投影面空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。此两点为该投影面的重影点。对对水平投影面

13、，水平投影面，对正面投影面，对正面投影面，对侧面投影面，对侧面投影面，前遮后前遮后上遮下上遮下左遮右左遮右X X o o a b b b 两点确定一条直线，将两两点确定一条直线，将两点的点的同面投影同面投影用直线连接，就用直线连接，就得到直线的同面投影。得到直线的同面投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性 B B A A a b 直线直线投影面投影面重合为一点重合为一点积积 聚聚 性性直线直线投影面投影面 反映实长反映实长 ab=ABAB直线直线投影面投影面投影长变短投影长变短 ab=ABAB.cos A A B B a b A A C

14、C B B a(b)(c)直线的投影直线的投影a a Y YH H Z Z X X Y Y WO O 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线正平线(V,H,W)(V,H,W)侧平线侧平线(W,H,V)(W,H,V)水平线水平线(H,V,W)(H,V,W)正垂线正垂线(V,H,W)(V,H,W)侧垂线侧垂线(W,H,V)(W,H,V)铅垂线铅垂线(H,V,W)(H,V,W)统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面取决于直线与三个

15、投影面的相对位置。取决于直线与三个投影面的相对位置。一般位置直线一般位置直线(H,V,W)(H,V,W)与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜H H V V W W 直线与投影面夹角直线与投影面夹角与与H H面的夹角面的夹角:倾角倾角 与与W W面的夹角面的夹角:倾角倾角 a b A B a b 与与V V面的夹角面的夹角:倾角倾角a b W W H H V V 一般位置直线一般位置直线(H,V,W(H,V,W )三个投影都倾斜于投影轴，且都小于实长。三个投影都倾斜于投影轴，且都小于实长。投影特性投影特性 各个投影与投影轴的夹角都不反映直线对各个投影与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。投影

16、面的倾角。a b A B a b a b Z Z Y YH H a O O X X b Y YW W a b a b V V H H W W 投影面平行线投影面平行线水平线水平线(H,V,W)(H,V,W)实长实长 平行于投影面反映实长，并反映直线与平行于投影面反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。另两投影面倾角。另两个投影面上的投影，平行于相应的另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴。投影轴。投影特性投影特性a b A B X X Z Z O O Y YH H Y YW W b a a b a b b a b a 侧平线侧平线正平线正平线实长实长 实长实长 b a a b a b b a

17、a b b a 例例 如图，已知直线如图，已知直线 EF 为水平线为水平线,30,实实长为长为20 mm，试完成直线，试完成直线 EF 的三面投影。的三面投影。本题有几解？本题有几解？实长实长 20 mmfeefXOfeYHYWZ 投影面垂直线投影面垂直线 铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。垂直于投影面垂直于投影面 ，投影积聚为一点，投影积聚为一点。投影特性投影特性a b a b c(d)c d d c e f e fe(f)a(b)特殊位置直线特殊位置直线水平线水平线Oa实长实长ba Xb

18、铅垂线铅垂线c cdXd O实长实长一般位置直线一般位置直线Oe eXff 1.4 1.4 直线段的实长和对投影面的倾角直线段的实长和对投影面的倾角 一般位置直线的投影，既不能一般位置直线的投影，既不能反映该线段的实长，又不能反映对反映该线段的实长，又不能反映对投影面的倾角。本节介绍用投影面的倾角。本节介绍用直角三直角三角形法角形法求一般位置直线段的实长及求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。其对投影面的倾角。H H V V a a A b B b 一、几何分析一、几何分析B1 A1(a)(a)立体图立体图(b)(b)投影图投影图YAYBZBZABa bXa b O直角三角形法直角三角形法

19、在直角三角形在直角三角形AB1B中中，AB1=ab,B1B=Bb-Aa特殊位置直线特殊位置直线水平线水平线Oa实长实长ba Xb 铅垂线铅垂线c cdXd O实长实长一般位置直线一般位置直线Oe eXff 1.4 1.4 直线段的实长和对投影面的倾角直线段的实长和对投影面的倾角 一般位置直线的投影，既不能一般位置直线的投影，既不能反映该线段的实长，又不能反映对反映该线段的实长，又不能反映对投影面的倾角。本节介绍用投影面的倾角。本节介绍用直角三直角三角形法角形法求一般位置直线段的实长及求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。其对投影面的倾角。H H V V a a A b B b 一、几何分析

20、一、几何分析B1 A1(a)(a)立体图立体图(b)(b)投影图投影图YAYBZBZABa bXa b O直角三角形法直角三角形法在直角三角形在直角三角形AB1B中中，AB1=ab,B1B=Bb-Aa二、作图方法二、作图方法有两种作图方式。有两种作图方式。(1)(1)求直线求直线ABAB的实长和倾角的实长和倾角B B0 0ABAB实长实长(c)(c)b b0 0ABAB实长实长abXa b OA A0 0bB0 0=bb0 0b0 0A0 0=ab(2)(2)求直线求直线ABAB的实长和倾角的实长和倾角ABAB实长实长B0(d)(d)a0A0ABAB实长实长abaXb OaA0=aa0a0B0

21、 =ab 三、三个直角三角形的含义三、三个直角三角形的含义Xabb aYwOYHbaZABAB实长实长ABAB实长实长AB实长实长 Z水平投影水平投影实长实长X侧面投影侧面投影实长实长Y正面投影正面投影实长实长例例1：已知线段：已知线段 AB 的实长的实长L和和 ab 及端点及端点 A 的的水平投影水平投影a，求线段求线段AB 的水平投影的水平投影ab。a aXbOABLb2b1A0有两解有两解利用利用Z和和ABL，确，确定定ab的长度，求出的长度，求出b。L Z水平投影水平投影实长实长例例1：已知线段：已知线段 AB 的实长的实长L和和 ab 及端点及端点 A 的水平投影的水平投影a，求线段

22、求线段AB 的水平投影的水平投影ab。a aXbOABLb2b0b1RLA0 利用利用a b 和和ABL，确定，确定A、B两点两点的的Y 坐标差，从而求坐标差，从而求出出b；有两解有两解Y正面投影正面投影实长实长 利用利用e f 和实长，确和实长，确定定E、F两点的两点的Y Y坐标差，从而坐标差，从而求出求出f。或利用或利用Z和实长，确定和实长，确定ef的长的长度，求出度，求出f。例例2：已知线段：已知线段 EF 的的投影投影ef及及e，实长实长35mm，完成它的完成它的投影投影。XOYHYWfeefeZf实长实长35 Z水平投影水平投影实长实长Y正面投影正面投影实长实长 点在直线上点在直线上

23、,则点的投影必在直线的同面投影上。则点的投影必在直线的同面投影上。点分割线段成定比。即：点分割线段成定比。即：AC:CB=ac:cb=a c:c b=a c:c b 定比定理定比定理1.5 1.5 点、直线与直线的相对位置直线与直线的相对位置一、直线上的点一、直线上的点H H c V V A B a b a b C W W a c b c a c X X Y YW W Y YH H b O O Z Z b a c b a c 例例1 1：判断点：判断点C C是否在线段是否在线段ABAB上。上。c a b c a b a b c a b c 在在 不在不在 c a a b c b c 不在不在

24、利用定比定理利用定比定理另一判断法另一判断法?a b ac:cb=a c:c b 例例2 2：已知点：已知点K K在线段在线段ABAB上，求点上，求点K K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（利用第三投影）（利用第三投影）解法二：解法二：（利用定比定理）（利用定比定理）a a b b k a b k k a a b b k k 例例3 3：如图，已知线段：如图，已知线段AB的投影的投影（ab,ab),试在线段试在线段AB上上取一点取一点C，使使AC之长等于给定之长等于给定长度长度L ，求点求点C的投影的投影（c和和c）。）。abXab OB0 0C0c c （1）先用直角三角形）先用直角三角

25、形法求出线段法求出线段AB的实长的实长aB0；作图步骤：（2）在）在aB0上自上自a点点起截取长度为起截取长度为L得得C0点；点；（3）自）自C0点作点作bB0的的平行线，与平行线，与a b 交于点交于点c；（4）自）自c点引投影连点引投影连线，与线，与a b 交于交于c 点，点，c和和c 即为所求。即为所求。LH HV V 二、两直线的相对位置二、两直线的相对位置平行、相交、交叉（异面）平行、相交、交叉（异面）两直线平行两直线平行空间两直线平行，则其空间两直线平行，则其三面投影三面投影必相互平行，必相互平行，反之亦然。反之亦然。b c d a A C D B a c d b c d a b

26、O O X X abcd，a b c d ，a b c d ABCDd a c b 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，则其三面投影必若空间两直线相交，则其三面投影必相交，且交点的投影符合点的投影特性。相交，且交点的投影符合点的投影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点V VX XH HkkKacdbO ODCABac b d cabd b a c d kk d k kd例例1 1：过：过C C点点作水平线作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影 c a b b a c c d a b cd例例2 2：判断直线：判断直线ABAB、CDCD的相对位置。的相对位

27、置。相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？交点不符合点交点不符合点的投影特性。的投影特性。判断方法？判断方法？应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影b a 两直线交叉两直线交叉不相交！不相交！交点不符合点的投影规律！交点不符合点的投影规律！c a b d O O X X a c b d a c A C V V bH H d D B b d a c c a b d b a c d ac c A a C V V b H H d d D B b O O X X 1(2)投影特性投影特性：同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但 “交点交点”不符合不符合点的投影规律点的投影规律。

28、“交点交点”是两直线上的一对是两直线上的一对重影点的投重影点的投影影。2 1 1(2)4 3(4)3 3 4 3(4)12例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同面投影互相只要有两组同面投影互相平行，空间两直线就平行。平行，空间两直线就平行。ABAB与与CDCD平行。平行。ABAB与与CDCD不平行。不平行。对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两组同面投影互相只有两组同面投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。a b c d c b a d d b a c b d c a a b c d c a b d

29、 三、垂直两直线的投影（直角投影定理）三、垂直两直线的投影（直角投影定理）若直角的两边同若直角的两边同时平行于某个投影面，时平行于某个投影面，则此直角在该投影面则此直角在该投影面上的投影仍为直角。上的投影仍为直角。若直角有一边平若直角有一边平行于某个投影面行于某个投影面(另一另一边不垂直于该投影面边不垂直于该投影面)，则此直角在该投影，则此直角在该投影面上的投影仍为直角。面上的投影仍为直角。此投影特性，称为直此投影特性，称为直角投影定理。角投影定理。1.1.垂直相交两直线垂直相交两直线X X O O a bc a c b H H B C A c b a ABH面面c AB BC，且且AB H

30、，则有则有ab bc三、垂直两直线的投影（直角投影定理）三、垂直两直线的投影（直角投影定理）直角投影定理直角投影定理 当相交两直线当相交两直线互相互相垂直垂直（即成直角）（即成直角），且其中一条直线且其中一条直线平行平行于某投影面，则两直线于某投影面，则两直线在在该投影面该投影面上的投影仍上的投影仍互相互相垂直垂直。相交两直线在某一投影面上的投影互相相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直垂直（即成直角）（即成直角）,且其中有一条直线且其中有一条直线平行平行于于该投影面，则这两直线在该投影面，则这两直线在空间空间必互相必互相垂直垂直。注注：该定理也适合空间：该定理也适合空间垂直交叉垂直交叉两直线

31、。两直线。逆定理逆定理二、交叉垂直的两直线的投影二、交叉垂直的两直线的投影AB MN,且且AB H ，则有则有ab mncXOabacdd例例1 判断两直线是否垂直判断两直线是否垂直XObaaabbbaaabbbcccdcdcc相交垂直相交垂直相交垂直相交垂直交叉垂直交叉垂直交叉垂直交叉垂直ab b cAB Vab b cAB Hab b cAB Hab b cAB VO例例2试求试求A点至水平线点至水平线BC的距离。的距离。kk相交垂直相交垂直AK BC BC H cabacXbZAK所求距离所求距离 ak b c分析：分析：1.作投影作投影2.求实长求实长例例 过点过点A作线段作线段EF的

32、垂线的垂线AB，并使，并使AB平行于平行于V 面。面。bbaafeefXO分析：分析：AB EF，AB V则有则有a b e fAB V则有则有a b OX例例 过点过点E作线段作线段AB、CD的公垂线的公垂线EF。cbbacddfeefXOacXOabbacdd例例 求求 AB、CD 两直线的公垂线两直线的公垂线 EF。feef分析：分析：1、AB是铅垂线是铅垂线，水平投影水平投影具有积聚性。具有积聚性。又又EF AB，所以所以EF H 2、EF CD，EF H ，则有则有ef cd例例 已知菱形已知菱形ABCD的一条对角线的一条对角线AC为一正平线，为一正平线，菱形的一边菱形的一边AB 位

33、于直线位于直线AM上，求该菱形的投影。上，求该菱形的投影。XOacmcbakmdkbd分析：分析：AC BD，AC V 则有则有ac bd小结小结ABDCAB CDAD BC菱形菱形正方形正方形等腰三角形等腰三角形CABABDCMAB CDAD BCb 例题例题1010 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bcABab|yA-yB|bc=BCcaa习习P5(3)在在EF 上求一点上求一点P，使，使P点与点与H、V面的距面的距 离之比为离之比为3：2。pfeefXOfeppYHYW习习P8(3)以正平线以正平线 AC 为对角线作一正方形为对角线作一正方形ABCD，B点距离点距离V面为面为45mm。aaXOcbdbcdkkb45YBKBK=AK=akbkBCADAB CDAD BCK