贾俊平统计学第五版第11章一元线性回归.ppt

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1、11-1作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)第第11章章 一元线性回归一元线性回归作者：中国人民大学统计学院作者：中国人民大学统计学院贾俊平贾俊平统计学11-2作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)第第11章章 一元线性回归一元线性回归 变量间关系的度量变量间关系的度量 11.2 一元线性回归一元线性回归11.3 利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测11.4 残差分析残差分析11-3作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)学习目标学习目标1.相关关

2、系的分析方法相关关系的分析方法2.一元线性回归的基本原理和参数的最小一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计二乘估计3.回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度4.回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验5.利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测6.用用 Excel 进行回归进行回归11-4作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)11.1 变量间关系的度量变量间关系的度量11.1.1 变量间的关系变量间的关系11.1.2 相关关系的描述与测度相关关系的描述与测度11.1.3 相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验11-5作者：贾俊平，中国

3、人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)变量间的关系变量间的关系11-6作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)函数关系函数关系1.是一一是一一对应的确定关系对应的确定关系2.设设有有两两个个变变量量 x x 和和 y y，变变量量 y y 随随变变量量 x x 一一起起变变化化，并并完完全全依依赖赖于于 x x ，当当变变量量 x x 取取某某个个数数值值时时，y y 依依确确定定的的关关系系取取相相应应的的值值，则则称称 y y 是是 x x 的的函函数数，记记为为 y y =f f(x x)，其其中中 x x 称称为为自自

4、变变量量，y y 称称为为因因变变量量3.各各观测点落在一条线上观测点落在一条线上 x xy y11-7作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)函数关系函数关系(几个例子几个例子)n n某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为 y=px(p 为单价)n n圆的面积S与半径R之间的关系可表示为S=R2 n n企业的原材料消耗额y与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3之间的关系可表示为 y=x1 x2 x3 11-8作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)相关关系相关关系(correlation)1.变

5、量间关系不能用函数关系精确表达2.一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定3.当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个4.各观测点分布在直线周围 x xy y11-9作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)相关关系相关关系(几个例子几个例子)n n父亲身高y与子女身高x之间的关系n n收入水平y与受教育程度x之间的关系n n粮食单位面积产量y与施肥量x1、降雨量x2、温度x3之间的关系n n商品的消费量y与居民收入x之间的关系n n商品销售额y与广告费支出x之间的关系11-10作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(

6、第五版第五版)相关关系相关关系(类型类型)11-11作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)相关关系的描述与测度相关关系的描述与测度(散点图散点图)11-12作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)相关分析及其假定相关分析及其假定1.相关分析要解决的问题相关分析要解决的问题n n变量之间是否存在关系？变量之间是否存在关系？n n如果存在关系，它们之间是什么样的关系？如果存在关系，它们之间是什么样的关系？n n变量之间的关系强度如何？变量之间的关系强度如何？n n样样本本所所反反映映的的变变量量之之间间的的关关系

7、系能能否否代代表表总总体体变变量量之之间的关系？间的关系？2.为为解解决决这这些些问问题题，在在进进行行相相关关分分析析时时，对对总总体体有有以下两个主要假定以下两个主要假定n n两个变量之间是线性关系两个变量之间是线性关系n n两个变量都是随机变量两个变量都是随机变量11-13作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)散点图散点图(scatter diagram)不相关不相关不相关不相关不相关不相关 负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关 正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关 非线性相关非线性相关非线性相关

8、非线性相关非线性相关非线性相关 完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关 11-14作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)散点图散点图(例题分析例题分析)【例例例例】一一家家大大型型商商业业银银行行在在多多个个地地区区设设有有分分行行，其其业业务务主主要要是是进进行行基基础础设设施施建建设设、国国家家重重点点项项目目建建设设、固固定定资资产产投投资资等等项项目目的的贷贷款款。近近年年来来，该该银银行行的的贷贷款款额额平平稳稳

9、增增长长，但但不不良良贷贷款款额额也也有有较较大大比比例例的的增增长长，这这给给银银行行业业务务的的发发展展带带来来较较大大压压力力。为为弄弄清清楚楚不不良良贷贷款款形形成成的的原原因因，管管理理者者希希望望利利用用银银行行业业务务的的有有关关数数据据做做些些定定量量分分析析，以以便便找找出出控控制制不不良良贷贷款款的的办办法法。下下面面是是该该银银行行所属的所属的2525家分行家分行20022002年的有关业务数据年的有关业务数据 11-15作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)散点图散点图(例题分析例题分析)11-16作者：贾俊平，中国人民大学统

10、计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)散点图散点图(不良贷款对其他变量的散点图不良贷款对其他变量的散点图)11-17作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)相关关系的描述与测度相关关系的描述与测度(相关系数相关系数)11-18作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)相关系数相关系数(correlation coefficient)1.度量变量之间关系强度的一个统计量度量变量之间关系强度的一个统计量2.对对两两个个变变量量之之间间线线性性相相关关强强度度的的度度量量称称为为简简单单相相关系数关系数

11、3.若若相相关关系系数数是是根根据据总总体体全全部部数数据据计计算算的的，称称为为总总体相关系数，记为体相关系数，记为 4.若若是是根根据据样样本本数数据据计计算算的的，则则称称为为样样本本相相关关系系数数，简称为相关系数，记为简称为相关系数，记为 r rn n也称为线性相关系数也称为线性相关系数(linear correlation coefficient)(linear correlation coefficient)n n或或称称为为PearsonPearson相相关关系系数数 (Pearsons(Pearsons correlation correlation coefficient)

12、coefficient)11-19作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)相关系数相关系数 (计算公式计算公式)样本相关系数的计算公式或化简为11-20作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)相关系数的性质相关系数的性质性质性质1：r 的取值范围是-1,1n n|r r|=|=1 1，为完全相关为完全相关l lr r=1 1，为完全正相关，为完全正相关l lr r=-1-1，为完全负正相关，为完全负正相关n n r r=0=0，不存在不存在线性线性线性线性相关相关关系关系n n-1-1 r r 0 0，为负相关

13、为负相关n n0 0 t t，拒绝拒绝H H0 0 若若 t t =7.5344t t，拒拒绝绝H H0 0，不不良良贷贷款款与与贷贷款款余余额额之间存在着显著的正线性相关关系之间存在着显著的正线性相关关系 11-27作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验(例题分析例题分析)各相关系数检验的统计量各相关系数检验的统计量11-28作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)11.2 一元线性回归一元线性回归11.2.1 一元线性回归模型一元线性回归模型11.2.2 参数的最小

14、二乘估计参数的最小二乘估计11.2.3 回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度11.2.4 显著性检验显著性检验11-29作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)什么是回归分析？什么是回归分析？(Regression)1.从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式2.对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著3.利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度11-30作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTIC

15、S(第五版第五版)回归模型的类型回归模型的类型11-31作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)一元线性回归模型一元线性回归模型11-32作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)一元线性回归一元线性回归1.涉及一个自变量的回归2.因变量y与自变量x之间为线性关系n n被被 预预 测测 或或 被被 解解 释释 的的 变变 量量 称称 为为 因因 变变 量量(dependent variable)(dependent variable)，用，用y y表示表示n n用用来来预预测测或或用用来来解解释释因因变变量量的的

16、一一个个或或多多个个变变量量称称为为自自变变量量(independent(independent variable)variable)，用用x x表示表示 3.因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示11-33作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)回归模型回归模型(regression model)1.回答“变量之间是什么样的关系？”2.方程中运用n n1 1 个数值型因变量个数值型因变量(响应变量响应变量)l l被预测的变量被预测的变量n n1 1 个或多个数值型或分类型自变量个或多个数值型或分类型自变量 (解释变量解释变量)l l用于预测的变

17、量用于预测的变量3.主要用于预测和估计11-34作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)一元线性回归模型一元线性回归模型1.描描述述因因变变量量 y y 如如何何依依赖赖于于自自变变量量 x x 和和误误差差项项 的的方程称为方程称为回归模型回归模型回归模型回归模型2.一元线性一元线性回归模型可表示为回归模型可表示为 y y=0 0 0 0+1 1 1 1 x x +e e e en ny y 是是 x x 的线性函数的线性函数(部分部分)加上误差项加上误差项n n线性部分反映了由于线性部分反映了由于 x x 的变化而引起的的变化而引起的 y y 的变

18、化的变化n n误差项误差项 是随机变量是随机变量l l反反映映了了除除 x x 和和 y y 之之间间的的线线性性关关系系之之外外的的随随机机因因素素对对 y y 的的影响影响l l是不能由是不能由 x x 和和 y y 之间的线性关系所解释的变异性之间的线性关系所解释的变异性n n 0 0 和和 1 1 称为模型的参数称为模型的参数11-35作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)一元线性回归模型一元线性回归模型(基本假定基本假定)1.1.因变量因变量x x与自变量与自变量y y之间具有线性关系之间具有线性关系2.2.在重复抽样中，自变量在重复抽样中

19、，自变量x x的取值是固定的，即假定的取值是固定的，即假定x x是是非随机的非随机的3.3.误差误差项项 是一个期望值为是一个期望值为0 0的随机变量，即的随机变量，即E E()=0)=0。对对于一个给定的于一个给定的 x x 值，值，y y 的期望值为的期望值为E E(y y)=)=0 0+1 1 x x4.4.对对于所有的于所有的 x x 值，值，的方差的方差 2 2 都相同都相同5.5.误误差差项项 是是一一个个服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量，且且相相互互独独立立。即即 N N(0,(0,2 2)n n独独立立性性意意味味着着对对于于一一个个特特定定的的 x x 值值，它它

20、所所对对应应的的 与与其其他他 x x 值所对应的值所对应的 不相关不相关n n对对于于一一个个特特定定的的 x x 值值，它它所所对对应应的的 y y 值值与与其其他他 x x 所所对对应应的的 y y 值也不相关值也不相关11-36作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)一元线性回归模型一元线性回归模型(基本假定基本假定)x x=x x3 3时的时的E E(y y)x x=x x2 2时时y y的分布的分布x x=x x1 1时时y y的分布的分布x x=x x2 2时的时的E E(y y)x x3 3x x2 2x x1 1x x=x x1 1时

21、的时的E E(y y)0 0 xyx x=x x3 3时时y y的分布的分布 0 0+1 1x x11-37作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)回归方程回归方程(regression equation)1.描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程回归方程2.一元线性回归方程的形式如下3.E(y)=0+1 x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程 0 0是是回回归归直直线线在在 y y 轴轴上上的的截截距距，是是当当 x x=0=0 时时 y y 的的期期望值望值 1 1是是直直线线的的斜

22、斜率率，称称为为回回归归系系数数，表表示示当当 x x 每每变变动动一个单位时，一个单位时，y y 的平均变动值的平均变动值11-38作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)估计的回归方程估计的回归方程(estimated regression equation)3.一元线性回归中估计的回归方程为一元线性回归中估计的回归方程为2.用用样样本本统统计计量量 和和 代代替替回回归归方方程程中中的的未未知知参参数数 和和 ，就得到了，就得到了估计的回归方程估计的回归方程估计的回归方程估计的回归方程1.总总体体回回归归参参数数 和和 是是未未知知的的，必必须须

23、利利用用样样本本数数据去估计据去估计其其中中：是是估估计计的的回回归归直直线线在在 y y 轴轴上上的的截截距距，是是直直线线的的斜斜率率，它它表表示示对对于于一一个个给给定定的的 x x 的的值值，是是 y y 的的估估计计值，也表示值，也表示 x x 每变动一个单位时，每变动一个单位时，y y 的平均变动值的平均变动值 11-39作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)参数的最小二乘估计参数的最小二乘估计11-40作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)最小二乘估计最小二乘估计(method of leas

24、t squares)1.德国科学家Karl Gauss(17771855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数 2.使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得 和 的方法。即3.用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小11-41作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)Karl Gauss的最小化图x xy y(x xn n,y yn n)(x x1 1,y y1 1)(x x2 2,y y2 2)(x xi i,y yi i)e ei i=y yi i-y yi i11-42作者：贾俊平，中国

25、人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)最小二乘法最小二乘法(和和 的计算公式的计算公式)根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下11-43作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)估计方程的求法估计方程的求法(例题分析例题分析)【例】【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程回归方程为：回归方程为：y=-+x回回归归系系数数 =0.037895=0.037895 表表示示，贷贷款款余余额额每每增增加加1 1亿元，不良贷款平均增加亿元亿元，不良贷款平均增加亿元 11-44作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS

26、(第五版第五版)估计方程的求法估计方程的求法(例题分析例题分析)不良贷款对贷款余额回归方程的图示11-45作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)用用Excel进行回归分析进行回归分析第第第第1 1步：步：步：步：选择【选择【工具工具工具工具】下拉菜单】下拉菜单第第第第2 2步：步：步：步：选择【选择【数据分析数据分析数据分析数据分析】选项】选项第第第第3 3步：步：步：步：在分析工具中选择【在分析工具中选择【回归回归回归回归】，选择【，选择【确定确定确定确定】第第第第4 4步：步：步：步：当对话框出现时当对话框出现时 在在【Y Y值输入区域值输入区域

27、值输入区域值输入区域】设置框内键入设置框内键入Y Y的数据区域的数据区域 在在【X X值输入区域值输入区域值输入区域值输入区域】设置框内键入设置框内键入X X的数据区域的数据区域 在在【置信度置信度置信度置信度】选项中给出所需的数值选项中给出所需的数值 在【在【输出选项输出选项输出选项输出选项】中选择输出区域】中选择输出区域 在【在【残差残差残差残差】分析选项中选择所需的选项】分析选项中选择所需的选项11-46作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度11-47作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATIS

28、TICS(第五版第五版)变差变差1.因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面n n由于自变量由于自变量 x x 的取值不同造成的的取值不同造成的n n除除 x x 以以外外的的其其他他因因素素(如如x x对对y y的的非非线线性性影影响响、测量误差等测量误差等)的影响的影响2.对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示11-48作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)误差的分解误差的分解(图示图示)x xy yy y11-49作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTI

29、CS(第五版第五版)误差平方和的分解误差平方和的分解(三个平方和的关系三个平方和的关系)SST=SSR+SSE总平方和总平方和总平方和总平方和(SSTSST)回归平方和回归平方和回归平方和回归平方和(SSRSSR)残差平方和残差平方和残差平方和残差平方和(SSESSE)11-50作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)误差平方和的分解误差平方和的分解(三个平方和的意义三个平方和的意义)1.总平方和总平方和总平方和总平方和(SSTSSTtotal sum of squarestotal sum of squares)n n反映因变量的反映因变量的 n n

30、 个观察值与其均值的总误差个观察值与其均值的总误差2.回回回回 归归归归 平平平平 方方方方 和和和和(SSRSSRsum sum of of squares squares of of regressionregression)n n反反映映自自变变量量 x x 的的变变化化对对因因变变量量 y y 取取值值变变化化的的影影响响，或或者者说说，是是由由于于 x x 与与 y y 之之间间的的线线性性关关系系引引起起的的 y y 的的取值变化，也称为可解释的平方和取值变化，也称为可解释的平方和3.残差平方和残差平方和残差平方和残差平方和(SSESSEsum of squares of erro

31、r)sum of squares of error)n n反反映映除除 x x 以以外外的的其其他他因因素素对对 y y 取取值值的的影影响响，也也称称为为不可解释的平方和或剩余平方和不可解释的平方和或剩余平方和11-51作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)判定系数判定系数R2 (coefficient of determination)1.回归平方和占总误差平方和的比例2.反映回归直线的拟合程度3.取值范围在 0,1 之间4.R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差5.判定系数等于相关系数的平方，即R2r211-52作者：

32、贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)判定系数判定系数 (例例题题分析分析)【例例例例】计计算算不不良良贷贷款款对对贷贷款款余余额额回回归归的的判判定定系系数数，并并解解释释其意义其意义 判判判判定定定定系系系系数数数数的的的的实实实实际际际际意意意意义义义义是是是是：在在不不良良贷贷款款取取值值的的变变差差中中，有有71.16%71.16%可可以以由由不不良良贷贷款款与与贷贷款款余余额额之之间间的的线线性性关关系系来来解解释释，或或者者说说，在在不不良良贷贷款款取取值值的的变变动动中中，有有71.16%71.16%是是由由贷贷款款余余额额所所决决定定的的

33、。也也就就是是说说，不不良良贷贷款款取取值值的的差差异异有有2/32/3以以上上是是由由贷贷款款余余额额决决定定的的。可可见见不不良良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系贷款与贷款余额之间有较强的线性关系 11-53作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)估计标准误差估计标准误差(standard error of estimate)1.实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根2.反映实际观察值在回归直线周围的分散状况反映实际观察值在回归直线周围的分散状况3.对对误误差差项项 的的标标准准差差 的的估估计计，是是在

34、在排排除除了了x x对对y y的的线性影响后，线性影响后，y y随机波动大小的一个估计量随机波动大小的一个估计量4.反反映用估计的回归方程预测映用估计的回归方程预测y y时预测误差的大小时预测误差的大小 5.计算公式为计算公式为注：例题的计算结果为注：例题的计算结果为11-54作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)显著性检验显著性检验11-55作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)线性关系的检验线性关系的检验1.检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著2.将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应

35、用F检验来分析二者之间的差别是否显著回回归归均均方方：回回归归平平方方和和SSRSSR除除以以相相应应的的自自由由度度(自自变变量的个数量的个数k k)残残差差均均方方：残残差差平平方方和和SSESSE除除以以相相应应的的自自由由度度(n n-k k-1)-1)11-56作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)线性关系的检验线性关系的检验(检验的步骤检验的步骤)1.提出假设n nH H0 0：1 1=0 =0 线性关系不显著线性关系不显著2.计算检验统计量F3.确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 4.作出决策：若FF,拒绝

36、H0；若FF,拒绝H0，线性关系显著11-58作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)线性关系的检验线性关系的检验(方差分析表方差分析表)Excel 输出的方差分析表输出的方差分析表11-59作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)回归系数的检验回归系数的检验3.在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验4.采用t检验1.检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著2.理论基础是回归系数 的抽样分布11-60作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STAT

37、ISTICS(第五版第五版)回归系数的检验回归系数的检验(检验步骤检验步骤)1.提出假设提出假设n nH H0 0:1 1=0(=0(没有线性关系没有线性关系)n nH H1 1:1 1 0(0(有线性关系有线性关系)2.计算检验的统计量计算检验的统计量3.确定显著性水平确定显著性水平，并进行决策，并进行决策 t t t t，拒绝拒绝H H0 0；t t =7.533515t t，拒拒绝绝H H0 0，表表明明不不良良贷贷款款与与贷贷款款余额之间有显著的线性关系余额之间有显著的线性关系11-62作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)回归系数的检验回归

38、系数的检验(例题分析例题分析)P 值的应用值的应用P P=0.000000=0.000000，拒绝原假设，拒绝原假设，不良贷款与贷不良贷款与贷款余额之间有显著的线性关系款余额之间有显著的线性关系11-63作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)回归分析结果的评价回归分析结果的评价l l建建立立的的模模型型是是否否合合适适？或或者者说说，这这个个拟拟合合的的模模型型有有多多“好好”？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手1.1.所所估估计计的的回回归归系系数数 的的符符号号是是否否与与理理论论或或事事先先预预期期相

39、相一致一致n n在在不不良良贷贷款款与与贷贷款款余余额额的的回回归归中中，可可以以预预期期贷贷款款余余额额越越多多，不不良良贷贷款款也也可可能能会会越越多多，也也就就是是说说，回回归归系系数数的的值值应应该该是是正正 的的，在在 上上 面面 建建 立立 的的 回回 归归 方方 程程 中中，我我 们们 得得 到到 的的 回回 归归 系系 数数 为正值，为正值，2.2.如如果果理理论论上上认认为为x x与与y y之之间间的的关关系系不不仅仅是是正正的的，而而且且是是统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此n n在在不不良良贷贷款款与与贷贷款款余余额额

40、的的回回归归中中，二二者者之之间间为为正正的的线线性性关关系系，而而且且，对对回回归归系系数数的的t t检检验验结结果果表表明明而而这这之之间间的的线线性性关系是统计上显著的关系是统计上显著的11-64作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)3.回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题n n在在不不良良贷贷款款与与贷贷款款余余额额的的回回归归中中，得得到到的的R R2 2=71.16%=71.16%，解解释释了了不不良良贷贷款款变变差差的的2/32/3以以上上，说明拟合的效果还算不错说明拟合的效果还算不错4.考察关

41、于误差项的正态性假定是否成立。因为我们在对线性关系进行F检验和回归系数进行t检验时，都要求误差项服从正态分布，否则，我们所用的检验程序将是无效的。正态性的简单方法是画出残差的直方图或正态概率图回归分析结果的评价回归分析结果的评价11-65作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)Excel输出的部分回归结果输出的部分回归结果名称名称名称名称计算公式计算公式计算公式计算公式Adjusted R SquareAdjusted R SquareInterceptIntercept的抽样标准误差的抽样标准误差Intercept95%Intercept95%的置信

42、区间的置信区间斜率斜率95%95%的置信区间的置信区间11-66作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)11.3 利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测11.3.1 点估计点估计11.3.2 区间估计区间估计11-67作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测1.根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值2.估计或预测的类型n n点估计点估计l ly y 的平均值的点估计的平均值的点估计l ly y 的个别值的点估计的个别值的点估计n n区间

43、估计区间估计l ly y 的平均值的的平均值的置信区间置信区间置信区间置信区间估计估计l ly y 的个别值的的个别值的预测区间预测区间预测区间预测区间估计估计11-68作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)点估计点估计11-69作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)点估计点估计2.点估计值有n ny y 的的平均值平均值平均值平均值的点估计的点估计n ny y 的的个别值个别值个别值个别值的点估计的点估计3.在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同1.对于自变量 x

44、的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值11-70作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)y 的平均值的点估计的平均值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0，求出因变量 y 的平均值的一个估计值E(y0)，就是平均值的点估计n n在在前前面面的的例例子子中中，假假如如我我们们要要估估计计贷贷款款余余额额为为100100亿亿元元时时，所所有有分分行行不不良良贷贷款款的的平平均均值值，就就是是平平均均值值的的点点估估计计 。根根据据估估计计的的回回归归方方程程得得11-71作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统

45、计学STATISTICS(第五版第五版)y 的个别值的点估计的个别值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0，求出因变量 y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估计n n例例如如，如如果果我我们们只只是是想想知知道道贷贷款款余余额额为为亿亿元元的的那那个个分分行行(这这里里是是编编号号为为1010的的那那个个分分行行)的的不不良良贷贷款款是是多多少少，则则属属于于个个别别值值的的点点估估计计 。根据估计的回归方程得根据估计的回归方程得11-72作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)区间估计区间估计11-73作者：贾俊平，中国

46、人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)区间估计区间估计1.点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计2.对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间3.区间估计有两种类型n n置信区间估计置信区间估计(confidence interval estimateconfidence interval estimate)n n预测区间估计预测区间估计(prediction(prediction interval estimate interval estimate)11-74作者：贾俊平，中国人民大学统计

47、学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)置信区间估计置信区间估计1.利用利用估计的回归方程，对于自变量估计的回归方程，对于自变量 x x 的一个给定的一个给定值值 x x0 0 ，求出因变量求出因变量 y y 的的平均值的估计区间平均值的估计区间 ，这，这一估计区间称为一估计区间称为置信区间置信区间置信区间置信区间(confidence intervalconfidence interval)2.E E(y y0 0)在在1-1-置信置信水平下的置信区间为水平下的置信区间为式中：式中：s se e为估计标准误差为估计标准误差11-75作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学S

48、TATISTICS(第五版第五版)置信区间估计置信区间估计(例题分析例题分析)【例例例例】求求出出贷贷款款余余额额为为100100亿亿元元时时，不不良良贷贷款款95%95%置置信水平下的置信区间信水平下的置信区间 解：解：根据前面的计算结果，已知根据前面的计算结果，已知n n=25=25，s se e=，t t 置信区间为置信区间为当当贷贷款款余余额额为为100100亿亿元元时时，不不良良贷贷款款的的平平均均值值在亿元到亿元之间在亿元到亿元之间 11-76作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)预测区间估计预测区间估计1.利用估计利用估计的回归方程，对

49、于自变量的回归方程，对于自变量 x x 的一个给的一个给定值定值 x x0 0 ，求出因变量求出因变量 y y 的的一个个别值的估计区一个个别值的估计区间，这一区间称为间，这一区间称为预测区间预测区间预测区间预测区间(prediction(prediction intervalinterval)2.y y0 0在在1-1-置信水平下的预测区间为置信水平下的预测区间为注意！注意！11-77作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)预测区间估计预测区间估计(例题分析例题分析)【例例例例】求求出出贷贷款款余余额额为为亿亿元元的的那那个个分分行行，不不良良贷贷款

50、款95%95%的预测区间的预测区间 解：解：根据前面的计算结果，已知根据前面的计算结果，已知n n=25=25，s se e=，t t 预测区间为预测区间为贷贷款款余余额额为为亿亿元元的的那那个个分分行行，其其不不良良贷贷款款的的预预测区间在亿元到亿元之间测区间在亿元到亿元之间 11-78作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)置信区间和预测区间置信区间和预测区间(例题分析例题分析)11-79作者：贾俊平，中国人民大学统计学院统计学统计学STATISTICS(第五版第五版)置信区间置信区间、预测区间预测区间、回归方程回归方程xp pyx x预测上限置信