随机变量及其概率分布未.ppt

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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布uu本章要求本章要求本章要求本章要求uu离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量uu随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数uu连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量及其概率密度及其概率密度及其概率密度及其概率密度uu随机变随机变随机变随机变量函数的量函数的量函数的量函数的概率概率概率概率分布分布分布分布 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的

2、观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量2.1 2.1 离散型随机变量离散型随机变量2.1.1 2.1.1 随机变量的概念随机变量的概念定义定义.设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z 或、等表示。随机变量的特点随机变量的特点:1、X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2、X X的部分可能

3、取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类随机变量的分类：随机变量2.1.2 2.1.2 2.1.2 2.1.2 离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量定义定义 若随机变量X取值x1,x2,xn,且取这些值的概率依次为p1,p2,pn,则称X为离散型随机变量，而称 PX=xk=pk,(k=1,2,)为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk,(k=1,2,)，或(1)pk 0,k1,2,;(2)2.1.3 2.1.3(0-1)0-1)0-1)0-1)分布分布分布分布与二项分布与二项分布与二项分布与二项分布1.(0-1)分布分布 若以X表示进行一次试验事

4、件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布)XPXkpk(1p)1k,(0p0 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记作记作XP().据得:泊松泊松(Poisson)分布满足分布律的基本性质分布满足分布律的基本性质泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布解解:由题意,例例 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以的泊松分布来描述，为了以95

5、%以上的把握保证不以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？某种商品多少件？解解:设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为X,已知已知X服从参数服从参数=5的泊松分布的泊松分布.设商店在月底应进设商店在月底应进某种商品某种商品m件件,求满足求满足P X m 0.95 的最小的的最小的m.进货数进货数销售数销售数此题特注求满足求满足P X m 0.95 的最小的的最小的m.查泊松分布表得查泊松分布表得PXm也即也即于是得于是得 m+1=10,m=9件件或或注意:P34 例2-9;2-10,比上述例题容易2.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义

6、定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件X x的概率PX x称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)P X x.易知，对任意实数a,b(ab),P aX bPX bPX a F(b)F(a).分布函数的概念分布函数的概念分布函数的概念分布函数的概念.当当 x0 时时，X x =，故故 F(x)=0例例 设设 随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为当当 0 x 1 时时，F(x)=PX x=P(X=0)=X求求 X 的分布函数的分布函数 F(x).解解F(x)=P(X x)当当 1 x 2 时时，F(x)=PX=0+PX=1=+=当当 x 2 时时，F(x)=PX=0+PX=1+

7、PX=2=1故故注意右连续注意右连续下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.的分布函数图的分布函数图分布函数的性质分布函数的性质分布函数的性质分布函数的性质 1、单调不减性：单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2、归一归一 性：性：对任意实数x，0F(x)1，且 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为 解解X X0 01 12 2P P0.0.1 10.0.6 60.0.3 3试求出X的分布函数。例例

8、 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：F(x)=PXx 当x1时,F(x)=1当0 x1时,特别,F(1)=P0 x1=k1=1 连续型随机变量及其概率密度 1.定义定义 对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X f(x),(-x+)连续型随机变量及其概率密度密度函数的几何意义为2.密度函数的性质(1)非负性非负性 f(x)0，(-x)；(2)归一性归一性性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；例

9、 设随机变量X的概率密度为求常数a.答:?(3)若x是f(x)的连续点，则例例 设随机变量X的分布函数为 ,求f(x)（4 4）对任意实数b，若X f(x)，(-x0的指数分布。其分布函数为指数分布在可靠性理论与排队论中有广泛应用解本问题属于条件概率解当t 0时，当t 0时，=1-在t时刻之前无汽车过桥于是PXk次数有何发现？概率密度就是指数分布，F（t）就是其分布函数请欣赏请欣赏其中 为实数，0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(,2)，可表为XN(,2).若随机变量.正态分布正态分布正态分布正态分布(1)单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称；f()maxf(x).正

10、态分布有两个特性：4.标准正态分布 参数 0，21的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0,1)。分布函数表示为其密度函数表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P195附表1)如，若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,注注：(1)(x)1(x)；(2)若XN(,2)，则标准化P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)例例 设随机变量XN(-1,22),P-2.45X3的值.如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.利用例例 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某

11、仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故则 YB(3,p)其中解解P(X h或或 P(X h)，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h.看一个应用正态分布的例子看一个应用正态分布的例子:例例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在碰头机会在 0.01 以下来设计的以下来设计的.设男子身高设男子身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求因为因为 X

12、N(170,62),),故故 P(X0.99即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过.所以所以 .P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.因而因而 =2.33,标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点设设则称点则称点 为为标准正态分布的标准正态分布的上上 分位点分位点.若数若数 满足条件满足条件 2.4 2.4 随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布设X一个随机变量，分布律为 XPXxkpk,k1,2,-1 0 1例例 已知 XPk求：Y=X2的分布律YPk1 0 若

13、yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.解：解：当当 X 取值取值 1，2，5 时时，Y 取对应值取对应值 5，7，13，例例 设设X求求 Y=2X+3 的概率函数的概率函数.而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率两者具有相同的概率.故故或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）。）一般地XPkY=g(X)注意：P51 例2-25，2-262.4.2 连续型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布 1 1、一般方法 若Xf(x),-Xf(

14、x),-x+x+,Y=g(X),Y=g(X)为随机变量X 的函数，然后再求Y的密度函数此法也叫“分布函数法”则可先求Y的分布函数 FY(y)PY yP g(X)y 当y0时当0y1时当y1时2、公式法：一般地 若XfX(x),y=g(x)是单调可导函数，则 注注：1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。2、注意定义域的选择其中h(y)为yg(x)的反函数.的概率密度关于x严单,反函数为故解解例例 设随机变量设随机变量 服从正态分布，证明服从正态分布，证明 也服从正态分布也服从正态分布.本例与上例结论要牢记例例 设XU(0,1),XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a0)解:Y=ax+b关于x严单,反函数为故而故