高等数学之多元函数积分学.ppt

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1、第六节第六节一、格林公式一、格林公式 二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式、平面曲线积分与 路径无关的条件 第九章 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD一、格林公式一、格林公式1.1.单连通域与复连通域单连通域与复连通域定理定理1 12、格林公式、格林公式边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区

2、域区域 D 总在他的左边总在他的左边.例例1.计算计算解解:令令故故L 为以为以和和 为边的三角形的正向闭曲线为边的三角形的正向闭曲线.例2.计算计算其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解解:令,则利用格林公式,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)计算平面面积计算平面面积例如例如,椭圆所围面积GyxoBA如果在区域如果在区域G内有内有二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件1、曲线积分与路径无关的定义、曲线积分与路径无关的定义二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与

3、路径无关的条件定理定理2.设设D 是单连通域是单连通域,在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1)沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L,有有(2)对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L,曲线积分曲线积分(3)(4)在在 D 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关,只与起止点有关只与起止点有关.函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 说明说明:根据定理根据定理2,若在某区域内若在某区域内则则2)求曲线积分时求曲线积分时,可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求可用积分法求d

4、 u=P dx+Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:及动点及动点或则原函数为则原函数为若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线,可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1)计算曲线积分时计算曲线积分时,可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.计算计算其中其中解解:由于由于因此所给曲线积分与路径无关，由图形可知因此所给曲线积分与路径无关，由图形可知为圆周为圆周 在第一在第一象限内的弧段象限内的弧段.因为在因为在 上，上，因为在因为在 上，上，例例5.计算计算其中其中L 为上半为上半从 O(0,0)到到 A(4,0).解解:为了使用格林公式为了使用格林公式,添加辅助线段添加辅助线段它与它与L 所围所围原式原式圆周圆周区域为区域为D,则则例例6.验证验证是某个函数的全微分是某个函数的全微分,并求并求出这个函数出这个函数.证证:设设则则由定理由定理2 可知可知,存在函数存在函数 u(x,y)使使。机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.格林公式格林公式2.等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.在在 D 内有内有对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有在在 D 内有内有设设 P,Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则有则有作业作业P156：2；3；5（1）.